Kolo (algebra)

Wheel (z anglického Wheel theory - „theory of wheels“, někdy „roller“ [1] ) je druh algebry , kde je operace dělení vždy definována. Zejména dělení nulou v nich dává smysl. Reálná čísla lze rozšířit na kolo, stejně jako jakýkoli komutativní prsten .

Riemannovu kouli lze také rozšířit na kolo přidáním prvku kde . Riemannova koule je rozšířením komplexní roviny o prvek , kde pro jakýkoli komplex . Není však definována v Riemannově sféře, ale je definována v jejím prodloužení na kolo. $\bot$ $0/0=\bot$ $\infty$ $z/0=\infty$ $z\neq 0$ $0/0$

Termín kolo je inspirován topologickým piktogramem představujícím projektivní čáru spolu s tečkou navíc . [2] $\odot$ $\bot =0/0$

Definice

Kolo je algebraická struktura (kde operace / je unární ) splňující: $(W,0,1,+,\cdot ,/)$

Sčítání a násobení jsou komutativní i asociativní a oba jsou jejich neutrálními prvky . $0$ $jeden$
$//x=x$
$/(xy)=/x/y$
$xz+yz=(x+y)z+0z$
$(x+yz)/y=x/y+z+0y$
$0\cdot 0=0$
$(x+0y)z=xz+0y$
$/(x+0y)=/x+0y$
$0/0+x=0/0$

Algebra kol

Kolečka nahrazují tradiční dělení ( binární operátor , inverzní k násobení ) unárním operátorem , aplikovaným na jediný argument: " ". To je podobné , ale ne totožné s definicí recipročního . In Wheels se stává zkratkou pro a mění pravidla algebry tak, že $/x$ $x^{{-1}}$ $a/b$ $a\cdot /b=/b\cdot a$

$0x\neq 0$ obecně
$xx\neq 0$ obecně
$x/x\neq 1$ v obecném případě, protože se neshoduje s multiplikativně převrácenou hodnotou . $/x$ $X$

Pokud existuje prvek takový , že , pak je možné definovat negaci ( opačné číslo ) a odečítání . $A$ $1+a=0$ $-x=ax$ $xy=x+(-y)$

Některé důsledky:

$0x+0y=0xy$
${\displaystyle xx=0x^{2))$
$x/x=1+0x/x$

Potom pro a získáme obvyklé $X$ $0x=0$ $0/x=0$

$xx=0$
$x/x=1$

Je-li negace definována, jak je navrženo výše, pak podmnožina kola je komutativní prstenec a navíc jakýkoli komutativní prstenec je takovou podmnožinou nějakého kola. Jestliže je invertibilní prvek komutativního kruhu, pak . Pokud to tedy dává smysl (jako normální inverzní ) , rovná se , ale operace je vždy definována, dokonce i pro . $\{x\mid 0x=0\}$ $X$ $x^{-1}=/x$ $x^{{-1}}$ $/x$ $/x$ $x=0$

Poznámky

↑ S. L. BLUMIN. VÝVOJ KONCEPCE O „ČÍSLE“. NĚKTERÉ MODERNÍ KONCEPCE Archivní kopie ze dne 31. března 2020 ve Wayback Machine , Lipetsk: 2005 — str. 13-17 „VÝVOJ KONCEPCE ČÍSLA“ PŘED DĚLENÍM NULY A PROBLÉMY DISTRIBUCE“ (New Technologies in Education: International Electronic Electronics in Education: International Scientific Conf. Sborník vědeckých prací - Voroněž: VSPU, 2001. - S.52-54.) (ruština)
↑ Carlström, 2004 .

Odkazy

Setzer, Anton (1997), Wheels , < http://www.cs.swan.ac.uk/~csetzer/articles/wheel.pdf > (návrh)
Carlström, Jesper (2004), Wheels – On Division by Zero , Mathematical Structures in Computer Science ( Cambridge University Press ). — V. 14 (1): 143–184 , DOI 10.1017/S0960129503004110 (rovněž online verze ).
Evžen Kapinos. Dělení nulou je normou. Část 1 , Část 2 , 2015 (ruština)