Eddington-Finkelsteinovy souřadnice

Eddington-Finkelsteinovy souřadnice jsou dvojice souřadnicových systémů pro Schwarzschildovu metriku (sféricky symetrická černá díra ), která je přizpůsobena pro nulovou geodetiku . Nulová geodesika je světová čára pro fotony ; radiální geodesics jsou ty podél kterého fotony cestují přímo k nebo pryč od centrální hmoty. Tento pár je pojmenován po Arthuru Stanley Eddingtonovi [1] a Davidu Finkelsteinovi [2] . Předpokládá se, že tento nápad navrhli, ale žádný z nich tyto souřadnice nebo metriky nikdy výslovně nezapsal. Ačkoli Roger Penrose [3] byl první, kdo to napsal, Finkelstein ve výše citovaném článku a Eddington a Finkelstein ve své eseji pro Adamsovu cenu jsou připisováni objevu souřadnic později toho roku. Nejvlivnější Charles Misner , Kip Thorne a John Wheeler odkazují na tyto souřadnice pod tímto jménem ve své knize Gravitace [4] .

V těchto souřadnicových systémech definují radiální paprsky světla, z nichž každý sleduje nulovou geodetiku, jak se pohybují od nebo ke středu, povrchy konstantního „času“, zatímco radiální souřadnice je obvyklá souřadnice prostoru, takže povrchy jsou příčné k radiální souřadnici, mají rotační symetrii o ploše 4π r 2 . Jednou z výhod tohoto souřadnicového systému je, že ukazuje, že zdánlivým rysem na Schwarzschildově poloměru je pouze souřadnicová singularita , nikoli skutečná fyzická singularita. Ačkoli tuto skutečnost uznal Finkelstein, neuznal ji (nebo alespoň nekomentoval) Eddington, jehož hlavním cílem bylo porovnat a postavit do kontrastu sféricky symetrická řešení ve Whiteheadově teorii gravitace a Einsteinově verzi relativity.

Schwarzschildova metrika

Schwarzschildovy souřadnice se nazývají souřadnicetak, že v těchto souřadnicích je Schwarzschildova metrika zapsána jako: $(t,r,\theta ,\varphi )$

ds^{2}=-\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)\,dt^{2}+\left(1-{\frac {2GM}{r} }\right)^{-1}\,dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}

kde

{\displaystyle d\Omega ^{2}\equiv d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2))

standardní Riemannovská metrika dvourozměrné koule.

Jsou zde použity následující konvence: metrický podpis (− + + +) a přirozené jednotky , kde c = 1 je bezrozměrná rychlost světla, G je gravitační konstanta a M je charakteristická hmotnost Schwarzschildovy geometrie.

Želví souřadnice

Eddington-Finkelsteinovy souřadnice jsou založeny na souřadnici želvy [4] , která pochází z jednoho ze Zenónových paradoxů o imaginárním závodě mezi „rychlonohým“ Achillem a želvou .

Souřadnice želvy je definována následovně [4] : $r^{*}$

r^{*}=r+2GM\ln \left|{\frac {r}{2GM}}-1\right|\,,

který splňuje:

{\frac {dr^{*}}{dr}}=\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)^{-1}\,.

Souřadnice želvy se přibližuje k Schwarzschildově poloměru . $r^{*}$ $-\infty$ $r$ $2GM$

Když se jakákoli sonda (například světelný paprsek nebo pozorovatel) přiblíží k horizontu událostí černé díry, její Schwarzschildova časová souřadnice vzroste do nekonečna. Nulové geodetické čáry jdoucí do nekonečna v tomto souřadnicovém systému mají nekonečnou změnu v t , když jdou za horizont. Souřadnice želvy roste nekonečně vhodnou rychlostí a eliminuje singulární chování v souřadnicových systémech vybudovaných na jejím základě.

Zvyšování časové souřadnice do nekonečna, když se přibližujete k horizontu událostí, je důvodem, proč nelze vrátit informace z jakékoli sondy odeslané přes takový horizont událostí. A to i přesto, že samotná sonda se však může pohybovat za horizont. To je také důvod, proč se časoprostorová metrika černé díry, vyjádřená ve Schwarzschildových souřadnicích, na horizontu stává singulární – a nelze ji tak použít pro kompletní (přes celou oblast prostoru) snímek trajektorie padající sondy.

Metrické

Zmenšující se Eddingtonův-Finkelsteinův souřadnicový systém se získá nahrazením souřadnice t novou souřadnicí . V těchto souřadnicích lze Schwarzschildovu metriku zapsat jako [5] $v=t+r^{*}$

ds^{2}=-\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)dv^{2}+2\,dv\,dr+r^{2}d\Omega ^{2}\,,

kde se předpokládá, že

{\displaystyle d\Omega ^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2))

standardní Riemannova metrika na dvourozměrné sféře o poloměru jednotky.

Podobně expandující Eddington-Finkelsteinův souřadnicový systém se získá nahrazením t novou souřadnicí . Potom je metrika dána výrazem [6] $u=tr^{*}$

ds^{2}=-\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)du^{2}-2\,du\,dr+r^{2}d\Omega ^{2}\,.

V obou těchto souřadnicových systémech metrika zjevně nemá žádnou singularitu na Schwarzschildově poloměru (i když jedna složka na tomto poloměru zmizí, determinant metriky stále nezmizí a inverzní metrika také nemá v tomto bodě žádné divergující členy) . Rozpínající se souřadnicový systém popisuje vyhazování částic ze středu mimo gravitační poloměr, ale při pokusu o jeho využití pro padající částice uvnitř gravitačního poloměru vzniká singularita podobná Schwarzschildově. Pro smršťující se souřadnicový systém nemají přicházející částice uvnitř gravitačního poloměru singularitu, ale k singularitě dochází, když se pokoušíte popsat odcházející částice mimo gravitační poloměr. K popisu gravitačního kolapsu se používá zmenšující se souřadnicový systém [7] .

Pro nulové povrchy v=const nebo =const nebo ekvivalentně =const nebo u=const se ukazuje, že dv/dr a du/dr se při velkém r blíží 0 a ± 2 spíše než ± 1, jak by se dalo očekávat, pokud považujeme u nebo v za „čas“. Při konstrukci Eddington-Finkelsteinových diagramů se plochy s konstantním u nebo v obvykle kreslí jako kužely a čáry konstantní u nebo v se kreslí jako 45stupňové šikmé, nikoli jako roviny [8] . Některé zdroje místo toho používají nahrazení , které odpovídá rovinám v takových diagramech. V těchto souřadnicích (pro ) se metrika změní na $v-2r^{*}$ $u+2r^{*}$ $t'=t\pm (r^{*}-r)\,$ $t'$

{\displaystyle ds^{2}=-\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)dt'^{2}\pm {\frac {4GM}{r}}\,dt' \,dr+\left(1+{\frac {2GM}{r}}\right)\,dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}=(-dt'^{2} +dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2})+{\frac {2GM}{r))(dt'\pm dr)^{2))

který se stává Minkowski pro velké r . Tyto časové souřadnice a metriky představili Eddington a Finkelstein ve svých dokumentech.

Eddington-Finkelsteinovy souřadnice jsou stále neúplné a lze je rozšířit. Například pohyb do nekonečna je geodetická geodetika podobná času, definovaná (s řádným časem ) $\tau$

r(\tau )={\sqrt {2GM\tau }}

{\begin{aligned}v(\tau )&=\int {\frac {r(\tau )}{r(\tau )-2GM}}\,d\tau \\&=C+\tau +2{\sqrt {2GM\tau }}+4GM\ln \left({\sqrt {\frac {\tau }{2GM}}}-1\right)\end{aligned}}

mít v ( τ ) → −∞ jako τ → 2 GM . To znamená, že tato geodetická geodetika má konečnou správnou délku do minulosti, kde opouští horizont ( r = 2 GM ), když se v přibližuje . Oblasti pro konečné var < 2 GM se liší od oblastí pro konečné u a r < 2 GM . Horizont s r = 2 GM a konečným v ( horizont černých děr ) se liší od horizontu s r = 2 GM a konečným u ( horizont bílých děr ). $-\infty$

Metrika v Kruskal-Szekeresových souřadnicích pokrývá celý prodloužený Schwarzschildův časoprostor v jediném souřadnicovém systému. Jeho hlavní nevýhodou je, že v těchto souřadnicích metrika závisí na souřadnicích časových i prostorových. V Eddington-Finkelsteinově souřadnicovém systému, stejně jako v Schwarzschildových souřadnicích, metrika nezávisí na „čase“ (buď t ve Schwarzschildově souřadnicovém systému nebo u nebo v v různých Eddington-Finkelsteinových souřadnicích), ale žádná z nich nepokrývá celý prostor. -čas [7] .

Souřadnice Eddington-Finkelstein mají určité podobnosti s souřadnicemi Gullstrand-Painlevého v tom, že jsou obě nezávislé na čase a pronikají (pravidelně) buď do budoucích (černá díra) nebo minulých (bílá díra) horizontů. Obě metriky nejsou diagonální (hyperplochy konstantního „času“ nejsou ortogonální k hyperplochám konstanty r ). Posledně jmenované mají plochou prostorovou metriku, zatímco prostorové ("časová" konstanta) hyperplochy prvního jsou nulové a mají stejnou metriku jako světelný kužel v Minkowského prostoru ( v plochém časoprostoru). $t=\pm r$

Poznámky

↑ Eddington A. S. (únor 1924). „ Srovnání Whiteheadových a Einsteinových vzorců “ (PDF) . Příroda . 113 (2832): 192. Bibcode : 1924Natur.113..192E . DOI : 10.1038/113192a0 . Archivováno (PDF) z originálu dne 22. 11. 2021 . Získáno 26. 6. 2021 . Použitý zastaralý parametr |deadlink=( nápověda )
↑ David Finkelstein (1958). " Asymetrie gravitačního pole bodové částice v minulosti a budoucnosti " . Fyzický přehled . 110 : 965-967. Bibcode : 1958PhRv..110..965F . DOI : 10.1103/PhysRev.110.965 .
↑ Roger Penrose (1965). „ Gravitační kolaps a časoprostorové singularity “ . Fyzické kontrolní dopisy . 14 (3): 57-59. Bibcode : 1965PhRvL..14...57P . DOI : 10.1103/PhysRevLett.14.57 .
↑ 1 2 3 Misner, Thorne & Wheeler, 1977 , str. 24.
↑ Mizner, Thorne & Wheeler 1977 , str. 25.
↑ Mizner, Thorne & Wheeler 1977 , str. 26.
↑ 1 2 Misner, Thorne a Wheeler, 1977 , str. 27.
↑ Viz například box 31.2 v Gravitaci.

Literatura

Mizner C. , Thorn K. , Wheeler J. Gravitace. - M .: Mir, 1977. - T. 3. - 510 s.

Eddington-Finkelsteinovy ​​souřadnice