Aporia Zeno

Aporia Zeno (ze starořeckého ἀπορία „obtížnost“) – navenek paradoxní úvaha na téma pohybu a mnohosti starověkého řeckého filozofa Zena z Eley (5. století př. n. l.).

Současníci zmínili více než 40 Zenónových aporií, 9 se k nám dostalo, diskutovaných ve „Fyzice“ a v jiných Aristotelových dílech , jakož i v komentářích Simplicia , Philopona a Themistia k Aristotelovi [1] ; jednu z těchto 9 aporií uvádí také Diogenes Laertes [2] , o aporiích o množství pojednává Platónův dialog „ Parmenides “. Aristotelův komentátor Elius Alexandrijský (6. století) uvádí, že Zeno učinil 40 úvah ( epicheirem ) o množství a pět o pohybu [3] :

Sestavil pro svého učitele Parmenida , který tvrdil, že bytosti jsou jedno vzhledem, ale podle důkazů množné číslo, {argument} ze čtyřiceti epicheirem ve prospěch skutečnosti, že bytosti jsou jedno, protože věřil, že být spojencem učitele je dobré. . Nějak, obhajující stejného učitele, který tvrdil, že jsoucno je nehybné, předložil pět epicheirem ve prospěch skutečnosti, že jsoucno je nehybné. Antisthenes - cynik , který proti nim nemohl nic namítat, vstal a začal chodit, protože věřil, že důkaz skutkem je silnější než jakákoli námitka slovem.

Nejznámější jsou paradox „ Achilles a želva “ a další Zenonovy aporie o pohybu, o kterých se mluví více než dvě tisíciletí, byly jim věnovány stovky studií. Platón se o nich v „Parmenidovi nezmiňuje“, proto V. Ja. Komarova předpokládá, že paradoxy pohybu napsal Zeno později než ostatní [4] .

Je chybou vnímat tyto argumenty jako sofismy nebo se domnívat, že s příchodem vyšší matematiky jsou všechny aporie vyřešeny [5] . Bertrand Russell napsal, že Zenoovy aporie „v té či oné formě ovlivňují základy téměř všech teorií prostoru , času a nekonečna , které byly navrženy od jeho doby do současnosti“ [6] . „Problematika Zenónových argumentů daleko přesahuje konkrétní historickou situaci, která vedla k jejich objevení. Rozboru Zenónových aporií je věnována kolosální literatura; zvláště velká pozornost jim byla věnována v posledních sto letech, kdy v nich matematici začali vidět předjímání paradoxů moderní teorie množin “ [7] . Vědecké diskuse vyvolané Zenónovým uvažováním významně prohloubily pochopení takových základních pojmů, jako je role spojité a diskrétní (nespojité) v přírodě, přiměřenost fyzického pohybu a jeho matematický model atd. Tyto diskuse pokračují i ​​v současnosti (viz odkazy ), vědecké komunitě se zatím nepodařilo dosáhnout jednotného názoru na podstatu paradoxů [8] .

Filosofie Eleatiků

Elejská filozofická škola ( Eleates ) existovala od konce 6. století před naším letopočtem do konce 6. století před naším letopočtem. E. do první poloviny 5. století př. Kr. e., jeho předek je považován za Parmenida , učitele Zeno. Škola vyvinula zvláštní doktrínu bytí. Parmenides vyložil své filozofické názory v básni, z níž se k nám dostaly samostatné fragmenty [9] [10] [11] .

Eleatici hájili jednotu bytí a věřili, že představa o pluralitě věcí ve vesmíru je chybná [12] . Bytí Eleatiků je úplné, skutečné a poznatelné, ale zároveň je neoddělitelné, neměnné a věčné, nemá minulost ani budoucnost, ani zrození, ani smrt. Myšlení, jak bylo řečeno v básni Parmenides, je svým obsahem totožné s předmětem myšlení („jedna a tatáž věc je myšlení a o čem myšlenka je“). Parmenides dále logicky vyvozuje charakteristiky skutečně existujícího: „nevzniklo, není zničeno, je celistvé [nemá části] [11] , je jedinečné, nehybné a nekonečné [v čase].

Poznání tohoto integrálního světa je možné pouze rozumným (logickým) uvažováním a smyslový obraz světa včetně pozorovaných pohybů je klamný a rozporuplný [13] . Ze stejných pozic vznesli Eleatici poprvé ve vědě otázku přípustnosti vědeckých konceptů souvisejících s nekonečnem [14] .

Jak poznamenal V. F. Asmus a řada dalších historiků, Eleatici nepopírali možnost vnímat pohyb a pluralitu světa, ale jejich myslitelnost , tedy slučitelnost s logikou. Eleatici identifikovali z jejich pohledu nevyhnutelné rozpory, které vznikají při aplikaci tehdejších vědeckých konceptů na přírodu, což potvrzuje pozici Parmenida, jehož racionálně-logický přístup umožnil těmto rozporům se vyhnout [15] [16]. . Při obhajobě svých názorů ve filozofických sporech používali Zeno a další Eleatici sofistikovanou logickou argumentaci a její důležitou součástí byly Zenónovy aporie, které dokazovaly nelogičnost a nekonzistentnost názorů oponentů.

Aporie o pohybu

Toto jsou nejznámější (a soudě podle bibliografie nejrelevantnější) Zenónovy paradoxy.

Modely pohybu ve starověké přírodní filozofii

Aporie a názory Zenóna obecně jsou nám známy pouze ve stručném převyprávění jiných starověkých filozofů, kteří žili o staletí později a Zenóna si sice velmi vážili jako „zakladatele dialektiky “, ale nejčastěji byli jeho ideologickými odpůrci. Proto je obtížné spolehlivě zjistit, jak Zenón sám aporie formuloval, co chtěl ukázat nebo vyvrátit [17] . Podle nejběžnějšího hlediska, pocházejícího od Platóna, byly aporie zaměřeny na obranu monismu Parmenidovy filozofie před běžnými představami o pohybu a pluralitě věcí; odpůrci Zena by mohli být zastánci zdravého rozumu. Někteří učenci se domnívají, že Zenoovy argumenty souvisely s úvahami o raných matematických učeních Pythagorejců , protože aporie ve skutečnosti zpochybňovaly použití kvantitativních přístupů k fyzickým tělům a prostorovému rozšíření [8] [18] [5] . Tento názor potvrzuje i fakt, že ve starověku byli Eleatici nazýváni fyziky , tedy odpůrci přírodní vědy [17] .

V 5. století př. Kr E. starověká řecká matematika dosáhla vysokého stupně rozvoje a pythagorejská škola vyjádřila přesvědčení, že matematické zákony jsou základem všech přírodních zákonů. Zejména matematický model pohybu v přírodě byl vytvořen na základě geometrie, která byla v té době již poměrně hluboce rozvinuta. Geometrie Pythagorejců byla založena na řadě idealizovaných pojmů: tělo, povrch, postava, čára - a nejvíce idealizovaný byl základní koncept bodu v prostoru, který nemá žádné vlastní měřitelné charakteristiky [19] [20 ] . Jakákoli klasická křivka byla tedy považována za spojitou a skládající se z nekonečného počtu jednotlivých bodů. V matematice tento rozpor nečinil problémy, ale aplikace tohoto schématu na reálný pohyb vyvolala otázku, nakolik je takový vnitřně protichůdný přístup legitimní [21] . Zenón z Eleje byl první, kdo jasně formuloval problém v řadě svých paradoxů (aporií).

Dvě aporie (Achilles a Dichotomy) předpokládají, že čas a prostor jsou spojité a neomezeně dělitelné; Zeno ukazuje, že tento předpoklad vede k logickým potížím. Třetí aporie („Šípka“) naopak považuje čas za diskrétní, složený z bodů-momentů; v tomto případě, jak ukázal Zeno, vyvstávají další potíže [16] . Všimněte si, že je nesprávné tvrdit, že Zenón považoval pohyb za neexistující, protože podle eleatské filozofie je nemožné dokázat neexistenci čehokoli: „neexistující je nemyslitelné a nevyslovitelné“ [22] . Cíl Zenónovy argumentace byl užší: odhalit rozpory v oponentově pozici.

Často je „Stadion“ zahrnut mezi aporie pohybu (viz níže), ale z hlediska námětu tento paradox spíše souvisí s aporiemi nekonečna. Dále je obsah aporií převyprávěn pomocí moderní terminologie.

Pod vlivem filozofických sporů, které vznikly, se vytvořily dva názory na strukturu hmoty a prostoru: první tvrdil jejich nekonečnou dělitelnost a druhý - existenci nedělitelných částic, „ atomů “. Každá z těchto škol řešila problémy, které Eleatici představovali, po svém.

Obsah aporií o pohybu

Achilles a želva

Řekněme, že Achilles běží desetkrát rychleji než želva a je tisíc kroků za ní. Během doby, během které Achilles uběhne tuto vzdálenost, želva ujde sto kroků stejným směrem. Když Achilles uběhne sto kroků, želva se plazí dalších deset kroků a tak dále. Proces bude pokračovat donekonečna, Achilles želvu nikdy nedohoní.

Zde a v následujících aporiích se předpokládá, že prostor a čas nemají žádnou hranici dělitelnosti. Diogenes Laertes považoval za autora této slavné aporie Parmenida , učitele Zeno [16] . O želvě jako o postavě se poprvé zmiňuje komentátor Simplicius ; v textu Aristotelova paradoxu rychlonohý Achilles dohání jiného běžce.

Dichotomie

Chcete-li překonat cestu, musíte nejprve překonat polovinu cesty, a abyste zdolali polovinu cesty, musíte nejprve překonat polovinu poloviny a tak dále ad infinitum. Proto pohyb nikdy nezačne.

Jméno „Dichotomie“ (Řek: bisekce ) je dáno Aristotelem.

Létající šíp

Letící šíp je nehybný, protože je v každém okamžiku v klidu, a protože je v každém okamžiku v klidu, je vždy v klidu.

Aporie „Dichotomie“ a „Šípka“ připomínají následující paradoxní aforismy připisované přednímu představiteli starověké čínské „školy jmen“ ( ming jia ) Gongsun Long (polovina 4. století př. n. l.  – polovina III. století př. n. l. ):

  • "Při rychlém [letu] šípu nastane okamžik absence pohybu i zastavení."
  • "Jestliže se tyčinka [o délce] jedné chi každý den odebere o polovinu, nebude dokončena ani po 10 000 generacích."

Aristotelova kritika aporií

Aristoteles ( 4. století př. n. l. ) považoval hmotu za spojitou a neomezeně dělitelnou. V knihách IV (kapitoly 2, 3), VI (kapitoly 2, 9) a VIII (kapitola 8) své „Fyziky“ analyzuje a odmítá Zenonovy argumenty [23] . Pokud jde o aporie pohybu, Aristoteles zdůrazňuje, že ačkoliv lze časový interval dělit donekonečna, nelze jej skládat z izolovaných bodů-momentů a není možné korelovat nekonečný čas s touto nekonečnou dělitelností:

Zeno se mýlí. Jestliže je vždy – říká – každé [tělo] v klidu, když je na stejném místě [sám sobě], a pohybující se [tělo] v okamžiku „nyní“ je vždy [na místě sobě rovném], pak letící šíp je nehybný. To ale není pravda, protože čas netvoří nedělitelné „teď“, a také žádná jiná veličina.
Zeno má čtyři úvahy o pohybu, které činí velké potíže těm, kteří se je snaží vyřešit. První je o neexistenci pohybu z toho důvodu, že pohybující se [tělo] musí dosáhnout poloviny, než dosáhne konce.<…> Druhý je tzv. „Achilles“: spočívá v tom, že nejpomalejší [ tvor] nemůže být v běhu nikdy předstižen nejrychlejším, protože pronásledovatel musí nejprve přijít na místo, odkud se již pohnul, takže pomalejší bude muset být vždy o nějakou [vzdálenost] před [pronásledovatelem] ]. A tato úvaha je založena na dělení na polovinu, ale liší se [od předchozího] tím, že přijatá hodnota není rozdělena na dvě stejné části.<...>
Třetí, která byla právě zmíněna, je, že letící šíp stojí na místě; vyplývá z předpokladu, že čas je tvořen [samostatným] „nyní“; pokud to není rozpoznáno, sylogismus selže.

Diogenes uvádí, že Aristoteles a Herakleides z Pontu měli spisy nazvané „Proti učení Zeno“, ale ty se nedochovaly.

Názory historiků a komentátorů na Aristotelovy argumenty byly rozdílné: někteří je považovali za dostatečné, jiní jim vytýkali, že jsou nepřesvědčivé a postrádají hloubku. Zejména Aristoteles nevysvětlil, jak se může konečný časový úsek skládat z nekonečného počtu částí [16] . V. Ya. Komarova píše [24] :

Aristotelův postoj je jasný, ale ne bezchybný – a především proto, že sám nedokázal odhalit logické chyby v důkazech, ani poskytnout uspokojivé vysvětlení paradoxů... Aristotelés nedokázal vyvrátit argumenty z prostého důvodu, že Zenónovy důkazy jsou logicky bezvadný.

Atomistický přístup

První starověký řecký atomista , Leucippus , byl žákem Zeno a jedním z učitelů dalšího velkého atomisty, Demokrita . Nejpodrobnější expozicí starověkého atomismu je systém Epicurus , IV - III století před naším letopočtem. E.  - k nám přišel v podání Lucretius Cara . Na rozdíl od Aristotela považoval Epikúros svět za diskrétní , skládající se z věčně se pohybujících nedělitelných atomů a prázdnoty. Zvláště zajímavý je epikurovský koncept izotachy , podle kterého se všechny atomy pohybují stejnou rychlostí [25] . Vzhledem k tomu, že ve světě Epicurus není možné změřit nic menšího než atom, vyplývá z toho, že existuje také nejmenší měřitelný časový interval. Matematická idealizace tohoto modelu představovala jakékoli těleso, obrazec nebo čáru jako spojení nekonečného množství nekonečně malých nedělitelných (tento přístup jako " metoda nedělitelných " byl vyvinut zejména v 16. - 17. století ).

V důsledku toho se pozorovaný pohyb ze spojitosti stává náhlým. Alexandr z Aphrodisias , komentátor Aristotela, shrnul názory zastánců Epikura takto: „Tvrdíce, že prostor, pohyb a čas sestávají z nedělitelných částic, také tvrdí, že pohybující se těleso se pohybuje prostorem, který se skládá z nedělitelných částí a na každé nejsou nedělitelné části pohybu, ale pouze výsledek pohybu“ [26] . Takový přístup okamžitě znehodnocuje Zenoovy paradoxy, protože odtud odstraňuje všechna nekonečna.

Diskuse v moderní době

Kontroverze kolem zenonských aporií pokračovala až do moderní doby. Až do 17. století nebyl o aporie zájem a jejich aristotelské hodnocení bylo všeobecně přijímáno. První seriózní studii provedl francouzský myslitel Pierre Bayle , autor slavného Historical and Critical Dictionary ( 1696 ). V článku o Zeno Bayle kritizoval Aristotelův postoj a dospěl k závěru, že Zeno měl pravdu: pojmy času, extenze a pohybu jsou spojeny s těžkostmi nepřekonatelnými pro lidskou mysl [27] .

Témata podobná aporiím se dotýkají v Kantových antinomiích . Hegel ve svých Dějinách filozofie zdůraznil, že Zenonova dialektika hmoty „nebyla vyvrácena až do dnešního dne“ ( ist bis auf heutigen Tag unwiderlegt ) [2] . Hegel ocenil Zeno jako „otce dialektiky“ nejen ve starověkém, ale také v hegelovském smyslu slova dialektika . Poznamenal, že Zeno rozlišuje mezi smyslně vnímaným a myslitelným pohybem. Ten v souladu se svou filozofií označil Hegel za kombinaci a konflikt protikladů, za dialektiku pojmů [28] . Hegel neodpovídá na otázku, jak je tato analýza použitelná na skutečný pohyb, a omezuje se na závěr: „Zeno realizoval definice obsažené v našich představách o prostoru a čase a objevil rozpory v nich obsažené“ [29]

Ve druhé polovině 19. století se mnoho vědců zabývalo analýzou Zenónových paradoxů a vyjadřovalo různé úhly pohledu. Mezi nimi [2] :

  • německý filozof Eduard Zeller ;
  • francouzský historik vědy Paul Tannery , který považoval Zenoovy paradoxy za argument v kritice pythagorejství [30] ;
  • francouzský historik Victor Brochard , podle něhož je Zenónova logika bezvadná;

a mnoho dalších.

Moderní výklad

Poměrně často docházelo (a stále se objevuje) k pokusům matematicky vyvrátit Zenónovu úvahu a tím „uzavřet téma“. Například vytvořením řady klesajících intervalů pro aporii „Achilles a želva“ lze snadno dokázat, že konverguje, takže Achilles želvu předběhne. V těchto „vyvráceních“ je však substituována podstata sporu. V Zenónových aporiích nehovoříme o matematickém modelu, ale o reálném pohybu, a proto je nesmyslné omezovat analýzu paradoxu na vnitromatematické uvažování – ostatně Zenón jen zpochybňuje použitelnost idealizovaných matematických pojmů na reálné pohyb [16] [31] . O problému přiměřenosti reálného pohybu a jeho matematického modelu viz další část tohoto článku.

D. Hilbert a P. Bernays v monografii "Základy matematiky" ( 1934 ) poznamenávají o aporii "Achilles a želva" [32] :

Obvykle se lidé snaží obejít tento paradox argumentem, že součet nekonečného počtu těchto časových intervalů konverguje, a tak dává konečný časový interval. Tato úvaha se však absolutně nedotýká jednoho bytostně paradoxního momentu, totiž paradoxu, který spočívá v tom, že nějaký nekonečný sled událostí následuje za sebou, posloupnost, jejíž dokončení si ani neumíme představit (nejen fyzikálně, ale minimálně v zásadě), ve skutečnosti by to mělo ještě skončit .

Vážné studie Zenónových aporií zvažují fyzikální a matematické modely společně. R. Courant a G. Robbins se domnívají, že pro vyřešení paradoxů je nutné výrazně prohloubit naše chápání fyzického pohybu [33] . Pohybující se těleso v průběhu času postupně projde všemi body své trajektorie, pokud však pro jakýkoli nenulový interval prostoru a času není obtížné určit interval, který jej následuje, pak pro bod (nebo okamžik) je nemožné označte bod za ním, což porušuje posloupnost. „Zůstává nevyhnutelný rozdíl mezi intuitivní myšlenkou a přesným matematickým jazykem navrženým k popisu jejích hlavních linií vědeckými, logickými termíny. Zenónovy paradoxy tento rozpor živě odhalují.

Gilbert a Bernays vyjadřují názor, že podstata paradoxů spočívá v neadekvátnosti spojitého, nekonečně dělitelného matematického modelu na jedné straně a fyzikálně diskrétní hmoty na straně druhé [34] : „nemusíme nutně věřit, že matematická časoprostorová reprezentace pohybu má fyzikální význam pro libovolně malé intervaly prostoru a času. Jinými slovy, paradoxy vznikají kvůli nesprávné aplikaci idealizovaných pojmů „bod prostoru“ a „časový okamžik“, které nemají ve skutečnosti obdoby, protože jakýkoli fyzický objekt má nenulové rozměry, nenulové rozměry. trvání a nelze je dělit donekonečna.

Podobné názory lze nalézt u Henriho Bergsona a Nicolase Bourbakiho . Podle Henriho Bergsona [35] :

Rozpory, na které poukazuje eleatská škola, se netýkají ani tak samotného pohybu jako takového, ale umělé transformace pohybu, kterou vykonává naše mysl.

Bergson věřil, že mezi pohybem a ujetou vzdáleností je zásadní rozdíl. Ujetou vzdálenost lze libovolně dělit, zatímco pohyb libovolně dělit nelze. Každý Achillův krok a každý krok želvy musí být považovány za nedělitelné. Totéž platí pro let šípu:

Pravdou je, že pokud šíp opustí bod A a zasáhne bod B, pak je jeho pohyb AB stejně jednoduchý, tak nerozložitelný – protože jde o pohyb – jako napětí luku, který jej vystřelí.

— Bergson A. Kreativní evoluce. Kapitola čtyři. Filmový mechanismus myšlení a mechanistická iluze. Pohled do historie systémů, skutečného formování a falešného evolucionismu

Podle Nicolase Bourbakiho [36] :

Otázka nekonečné dělitelnosti prostoru (nepochybně nastolená ranými Pythagorejci) vedla, jak víte, k významným potížím ve filozofii: od Eleatiků po Bolzana a Cantora nebyli matematici a filozofové schopni vyřešit paradox - jak konečná hodnota se může skládat z nekonečného počtu bodů, které nemají žádnou velikost.

Bourbakiho poznámka znamená, že je nutné vysvětlit, jak fyzikální proces nabývá nekonečně mnoha různých stavů v konečném čase. Jedním z možných vysvětlení je, že časoprostor je ve skutečnosti diskrétní , to znamená, že existují minimální části ( kvanta ) prostoru i času [37] . Je-li tomu tak, pak všechny paradoxy nekonečna v aporiích zmizí. Richard Feynman uvedl [38] :

Teorie, že prostor je spojitý, se mi zdá chybná, protože [v kvantové mechanice] vede k nekonečně velkým množstvím a dalším potížím. Navíc neodpovídá na otázku, co určuje velikost všech částic. Mám silné podezření, že jednoduché reprezentace geometrie, rozšířené na velmi malé oblasti prostoru, jsou špatné.

Diskrétní časoprostor byl fyziky aktivně diskutován již v 50. letech 20. století,  zejména v souvislosti s projekty jednotné teorie pole [39] , ale na této cestě nedošlo k žádnému výraznému pokroku.

S. A. Vekshenov se domnívá, že pro řešení paradoxů je nutné zavést numerickou strukturu, která je více konzistentní s intuitivními fyzikálními pojmy než kontinuum Cantorova bodu [40] . Příklad nekontinuální teorie pohybu navrhl Sadeo Shiraishi [41] .

Maurice Kline ve svých komentářích k Zenónovým aporiím píše: „Je důležité si jasně uvědomit, že příroda a matematický popis přírody nejsou totéž a rozdíl není způsoben pouze tím, že matematika je idealizace. Příroda je možná nesrovnatelně složitější nebo její struktura nemá zvláštní pravidelnost“ [42] .

" Mathematical Encyclopedic Dictionary " věří, že podstata aporií je poměrně hluboká a zvažuje různé způsoby řešení problému [43] :

Je možné zpochybnit vhodnost nebo přiměřenost skutečného pohybu běžně používaného matematického modelu. Ke studiu konceptu fyzikálních infinitezimálních a nekonečně velkých veličin byly opakovaně učiněny pokusy sestavit teorii reálných čísel, ve které Archimédův axiom neplatí. V každém případě je teorie nearchimedovských uspořádaných polí velmi smysluplnou součástí moderní algebry.

Další část tohoto článku obsahuje podrobnější diskusi na toto téma.

Adekvátnost analytické teorie pohybu

Obecnou teorii pohybu s proměnnou rychlostí vyvinuli na konci 17. století Newton a Leibniz . Matematickým základem teorie je matematická analýza , původně založená na konceptu nekonečně malé veličiny. V diskuzi o tom, co představuje infinitesimál, byly znovu oživeny dva starověké přístupy [44] [45] .

  • První přístup, který Leibniz zvolil, ovládal celé osmnácté století . Podobně jako ve starověkém atomismu považuje infinitesimály za zvláštní druh čísel (větší než nula, ale menší než běžné kladné číslo). Důkladné zdůvodnění tohoto přístupu (tzv. nestandardní analýza ) vypracoval Abraham Robinson ve 20. století . Základem Robinsonovy analýzy je rozšířený číselný systém ( hyperreálná čísla ). Robinsonovy infinitesimály se samozřejmě starověkým atomům příliš nepodobají, už jen proto, že jsou nekonečně dělitelné, ale umožňují nám správně považovat spojitou křivku v čase a prostoru za sestávající z nekonečného počtu nekonečně malých úseků.
  • Druhý přístup navrhl Cauchy na počátku 19. století . Jeho analýza je postavena na běžných reálných číslech a koncept limity se používá k analýze spojitých závislostí . Podobný názor na zdůvodnění analýzy zastávali Newton , D'Alembert a Lagrange , i když v tomto názoru nebyli vždy konzistentní.

Oba přístupy jsou prakticky ekvivalentní, ale z hlediska fyziky je pohodlnější první; učebnice fyziky často obsahují fráze jako „nech dV  je nekonečně malý objem…“. Na druhou stranu není vyřešena otázka, který z přístupů je bližší fyzické realitě. V prvním přístupu není jasné, čemu v přírodě odpovídají nekonečně malá čísla. Ve druhém případě brání přiměřenosti fyzikálního a matematického modelu skutečnost, že operace přechodu na limit je instrumentální výzkumnou technikou, která nemá přirozenou obdobu. Zejména je obtížné hovořit o fyzikální přiměřenosti nekonečných řad, jejichž prvky odkazují na libovolně malé intervaly prostoru a času (ačkoli takové modely jsou často a úspěšně používány jako přibližný model reality) [5] [46 ] . Konečně nebylo prokázáno, že by čas a prostor byly uspořádány podobně jako matematické struktury reálných nebo hyperreálných čísel [40] .

Další složitost vnesla do otázky kvantová mechanika , která ukázala, že role diskrétnosti se v mikrosvětě prudce zvyšuje. Diskuse o struktuře prostoru, času a pohybu, zahájené Zeno, tedy aktivně pokračují a zdaleka nekončí.

Další aporie Zeno

Výše uvedené (nejznámější) aporie Zenóna se týkaly aplikace konceptu nekonečna na pohyb, prostor a čas. V jiných aporiích Zeno demonstruje jiné, obecnější aspekty nekonečna. Na rozdíl od tří slavných aporií o fyzickém pohybu jsou však jiné aporie vyjádřeny méně jasně a týkají se především čistě matematických nebo obecných filozofických aspektů. S příchodem matematické teorie nekonečných množin zájem o ně výrazně poklesl.

Stadion

Aporia "Stadium" (nebo "Rounds") v Aristotelovi ("Fyzika", Z, 9) není zcela jasně formulována:

Čtvrtý [argument] je o stejných tělesech pohybujících se po stadionu v opačných směrech rovnoběžných se stejnými [tělesy]; někteří se [pohybují] z konce etapy, jiní ze středu stejnou rychlostí, z čehož, jak si myslí, vyplývá, že polovina času je dvojnásobná.

Vědci nabídli různé interpretace této aporie. L. V. Blinnikov to formuloval následovně [47] :

Dvě těla se pohybují proti sobě. V tomto případě jeden z nich stráví kolem druhého tolik času, kolik by trvalo projít kolem odpočívajícího. Polovina se tedy rovná celku.

S. A. Yanovskaya nabízí jiný výklad založený na atomistických premisách [48] :

Nechť čas sestává z nedělitelných prodloužených atomů. Představme si dva běžce na opačných koncích závodu, tak rychle, že každý z nich potřebuje k přeběhnutí z jednoho konce závodu na druhý pouze jeden atom času. A nechat vyběhnout oba zároveň z opačných konců. Když se setkají, nedělitelný atom času bude rozdělen na polovinu, to znamená, že těla se nemohou přesunout do atomů času, jak se předpokládalo v aporii „Šipka“.

Podle jiných výkladů je myšlenka této aporie podobná Galileovu paradoxu nebo „Aristotelovu kolu“ : nekonečná množina může být ekvivalentní její části [49] .

Pluralita

Část aporií je věnována diskusi o otázce jednoty a plurality světa [17] .

Je-li jich [existujících věcí] mnoho, pak jich musí být tolik, kolik jich je, nic více a nic méně. A pokud jich je tolik, kolik jich je, pak je jejich [počet] omezený. [Ale] jestliže existuje mnoho existujících [věcí], pak je jejich [počet] neomezený: neboť mezi existujícími [věcemi] jsou vždy jiné věci a mezi nimi zase jiné. A tak [počet] existujících [věcí] je neomezený.

Podobné otázky rozebírá Platónův dialog Parmenides [50] , kde Zeno a Parmenides podrobně vysvětlují svůj postoj. V moderním jazyce tato Zenónova úvaha znamená [17] , že mnohonásobné bytí nemůže být ve skutečnosti nekonečné , a proto musí být konečné, ale k existujícím věcem lze vždy přidávat nové věci, což je v rozporu s konečností. Závěr: Bytí nemůže být množné číslo.

Komentátoři věnují pozornost tomu, že tato aporie svým schématem extrémně připomíná antinomie teorie množin objevené na přelomu 19. - 20. století [17] [51] , zejména Cantorův paradox : na jedné straně mohutnost množiny všech množin je větší než mohutnost kterékoli jiné množiny, ale na druhou stranu pro kteroukoli množinu není obtížné specifikovat množinu větší mohutnosti ( Cantorův teorém ). Tento rozpor, zcela v duchu Zenónových aporií, je vyřešen jednoznačně: abstrakce množiny všech množin je považována za nepřijatelnou a jako vědecký koncept neexistující.

Změřte

Simplicius popisuje tuto aporii následovně [14] .

Když Zeno dokázal, že „nemá-li věc žádnou velikost, neexistuje“, dodává: „Pokud věc existuje, je nutné, aby měla nějakou velikost, nějakou tloušťku a aby mezi tím, co je vzájemné, byla určitá vzdálenost. rozdíl v tom." Totéž lze říci o předchozím, o té části této věci, která předchází v malosti v dichotomickém dělení. Takže tento předchozí musí mít také nějakou velikost a jeho předchozí. Co bylo jednou řečeno, lze vždy opakovat. Nikdy tedy nebude existovat extrémní hranice, kdy by nebyly navzájem různé části. Je-li tedy mnohost, je nutné, aby věci byly zároveň velké a malé, a tak malé, aby neměly žádnou velikost, a tak velké, aby byly nekonečné... Co nemá absolutně žádnou velikost, žádnou tloušťku, žádný objem, vůbec neexistuje.

Jinými slovy, pokud dělení věci na polovinu zachová její kvalitu, pak v limitě dostaneme, že věc je jak nekonečně velká (protože je nekonečně dělitelná), tak nekonečně malá. Navíc není jasné, jak může mít existující věc nekonečně malé rozměry.

Podrobněji jsou tytéž argumenty přítomny v komentářích společnosti Philopon [52] . Také podobné Zenónovo uvažování cituje a kritizuje Aristoteles ve své „Metafyzice“ [53] :

Je-li jedno o sobě nedělitelné, pak podle Zenonova postavení nesmí být nic. Skutečně, jestliže přidání něčeho k věci ji nezvětší a odebrání z ní nezmenší, pak, říká Zeno, toto něco neodkazuje na existující, jasně věří, že existující je velikost, a protože velikost, tak je něco tělesného: vždyť tělesný je bytost v plné míře; avšak další veličiny, jako je rovina a přímka, jsou-li přidány, v jednom případě vzrostou, ve druhém nikoli; bod a jednotka to žádným způsobem nedělají. A jelikož Zeno argumentuje sprostě, a jelikož něco nedělitelného může existovat, a navíc tak, že to bude před Zenónovým uvažováním nějakým způsobem chráněno (neboť když se takové nedělitelné přidá, tak se to opravdu nezvětší, ale znásobí) , pak je položena otázka, jak z jednoho takového jediného nebo několika získá hodnotu? Předpokládejme, že je to jako říci, že čára se skládá z bodů.

O místě

V podání Aristotela aporia tvrdí: pokud je vše, co existuje, umístěno do známého prostoru ( místo , řecky topos ), pak je jasné, že bude prostor prostoru, a tak to jde do nekonečna [54] . Aristoteles k tomu poznamenává, že místo není věc a nepotřebuje vlastní místo. Tato aporie umožňuje rozšířenou interpretaci, jelikož Eleatici neuznávali prostor odděleně od těles v něm umístěných, tedy identifikovali hmotu a jím obsazený prostor [16] . Aristoteles sice odmítá Zenónovu úvahu, ale ve své „Fyzice“ dochází v podstatě ke stejnému závěru jako Eleatici: místo existuje pouze ve vztahu k tělesům v něm. Aristoteles přitom mlčky přechází přirozenou otázku, jak dochází ke změně místa při pohybu tělesa [55] .

Medimne grains

Každé jednotlivé zrnko tiše padá na zem. Proč tedy medimn (velký pytel) obilí padá s hlukem? [56]

Zenónova formulace byla kritizována, protože paradox lze snadno vysvětlit odkazem na práh vnímání zvuku  - jednotlivé zrno nepadá tiše, ale velmi tiše, takže zvuk pádu není slyšet. Smyslem aporie je dokázat, že část není jako celek (kvalitativně se od něj liší), a proto je nekonečná dělitelnost nemožná [57] . Podobné paradoxy byly navrženy ve 4. století před naším letopočtem. E. Eubulides  - paradoxy "plešatý" a " hromada ": "jedno zrnko není hromada, přidání jednoho zrnka nic nezmění, kolika zrnek začíná hromada?"

Historický význam Zenónových aporií

„Zeno odhalil rozpory, do kterých myšlení upadá, když se pokouší pochopit nekonečno v pojmech. Jeho aporie jsou prvními paradoxy, které vyvstaly v souvislosti s konceptem nekonečna . Aristotelův jasný rozdíl mezi potenciálním a skutečným nekonečnem je z velké části výsledkem pochopení Zenónových aporií. Další historické přednosti eleatských paradoxů:

  • „Zenonova úvaha, podaná v přesné a jasné próze, je prvním příkladem čistě logického důkazu v historii. Právě to určuje mimořádně důležité místo Zenóna v dějinách vědy“ [58] . Analogické uvažování a poetické fantazie, charakteristické pro filozofy předchozí generace, byly nahrazeny přísnou deduktivní logikou.
  • Jasný náznak toho, že naše chápání reality (včetně matematického) může být nedostatečné pro tuto realitu [59] ; Následně se věda setkala s četnými příklady platnosti této teze.
  • Konstatování skutečnosti, že rozdělení spojitosti do samostatných bodů (momentů), tedy směsice spojitosti a diskrétnosti, je protimluv [7] .

Jak bylo uvedeno výše, vznik starověkého atomismu byl pokusem odpovědět na otázky, které aporie kladly. V budoucnu byla do studia problematiky zapojena matematická analýza , teorie množin , nové fyzikální a filozofické přístupy ; žádný z nich se nestal obecně přijímaným řešením problému, ale samotný fakt trvalého horlivého zájmu o starověký problém ukazuje jeho heuristickou plodnost.

O různých styčných bodech Zenónových aporií s moderní vědou pojednává článek Zuraba Silagadzeho [46] . Na konci tohoto článku autor uzavírá:

Problémy vzniklé před dvěma a půl tisíciletími a od té doby opakovaně studované nebyly dosud vyčerpány. Zenónovy paradoxy se dotýkají základních aspektů reality – lokalizace, pohybu, prostoru a času. Čas od času jsou objeveny nové a neočekávané aspekty těchto konceptů a každé století považuje za užitečné se k Zeno znovu a znovu vracet. Proces dosažení jejich konečného řešení se zdá být nekonečný a naše chápání světa kolem nás je stále neúplné a roztříštěné.

Zenoovy aporie v literatuře a umění

A. S. Puškin věnoval báseň „Pohyb“ ( 1825 ) Zenónovým paradoxům [60] .

   Žádný pohyb, řekl vousatý mudrc.
   Druhý mlčel a začal před ním kráčet.
   Nemohl silněji namítat;
   Všichni chválili spletitou odpověď.
      Ale, pánové, tato zábavná příhoda
      mi přináší další příklad:
      Vždyť slunce před námi chodí každý den,
      ale tvrdohlavý Galileo má pravdu.

V této historické anekdotě je „vousatý mudrc“ zastáncem Zenóna (komentátor Elius, jak bylo uvedeno výše, připisoval argument samotnému Zenónovi [3] ), a jeho protivníkem v různých verzích anekdoty je Diogenes nebo Antisthenes (oba z nich žil mnohem později než Zeno, takže se s ním nemohli hádat). Jedna verze anekdoty, kterou zmínil Hegel , říká, že když Eleatus rozpoznal Diogenův argument jako přesvědčivý, Diogenes ho zbil holí za to, že se příliš spoléhal na důkazy [61] .

Lewis Carroll napsal logický puzzle dialog s názvem "Co řekla želva Achilleovi?" [62] .

Lev Tolstoj ve třetím díle eposu " Válka a mír " (začátek 3. části) převypráví paradox o Achilleovi a želvě a nabízí vlastní výklad: nepřetržitý pohyb nelze rozdělit na "oddělené jednotky", místo toho potřebujete používat aparát sčítatelných "nekonečně malých veličin". Dále Tolstoj poznamenává: „při hledání zákonitostí historického pohybu se děje přesně totéž“ a kritizuje pokusy považovat kontinuální běh dějin za odehrávající se na svévoli jednotlivých vlivných historických postav nebo redukovat dějiny na jednotlivé významné osobnosti. historické události.

Paul Valéry ve své básni „Hřbitov u moře“ ( Le Cimetiere Marin , 1920) napsal [63] :

   Zeno z Eley, rozdrtil myšlenku,
   probodl mě chvějícím se šípem,
   ačkoli on sám jeho let zanedbával.
      Narodil jsem se zvukem, zasáhl mě šíp.
      Může se stát, že stín želvy uzavře mého
      nehybného Achilla rychlým útěkem!

Děj fantastického příběhu F. Dicka „O neúnavné žábě“ je založen na aporii „Dichotomie“.

Aporia o Achilleovi je opakovaně zmíněna v dílech Borgese . V něm popsaná paradoxní situace se promítla i do různých humoristických děl . Takeshi Kitano režíroval Achilles a želvu v roce 2008 .

Viz také

Poznámky

  1. ↑ Dějiny matematiky, 1970 , str. 90.
  2. ↑ 1 2 3 Makovelsky A. O., 1999 , část 14.
  3. ↑ 1 2 Fragmenty raných řeckých filozofů, 1989 , s. 302.
  4. ↑ Komárová, 1988 , s. 15-16.
  5. ↑ 1 2 3 Yanovskaya S. A., 1963 , s. 116-118.
  6. ↑ Ivin A. A. Podle zákonů logiky . - M . : Mladá garda, 1983. - 208 s. - ( "Heuréka" ). Archivovaná kopie (nedostupný odkaz) . Získáno 7. března 2010. Archivováno z originálu dne 19. listopadu 2007. 
  7. ↑ 1 2 Rozhansky I. D. Antická věda. - M. : Nauka, 1980. - S. 52. - 198 s. — (Dějiny vědy a techniky).
  8. ↑ 1 2 Velká sovětská encyklopedie // Aporia. - 2. vyd. - T. 2.
  9. ↑ A. V. Lebeděv. Parmenides  // Nová filozofická encyklopedie  : ve 4 svazcích  / předchozí. vědecky vyd. rada V. S. Stepina . — 2. vyd., opraveno. a doplňkové - M .  : Myšlenka , 2010. - 2816 s.
  10. ↑ A. V. Lebeděv. Eleatic School  // Nová filozofická encyklopedie  : ve 4 svazcích  / předchozí. vědecky vyd. rada V. S. Stepina . — 2. vyd., opraveno. a doplňkové - M .  : Myšlenka , 2010. - 2816 s.
  11. ↑ 1 2 Rozhansky I. D. Raná řecká filozofie // Fragmenty raných řeckých filozofů
  12. ↑ Makovelsky A. O., 1999 , část 16.
  13. ↑ Losev A.F. Zenon z Elea // Filosofická encyklopedie . - M . : Sovětská encyklopedie, 1962. - T. 2.
  14. ↑ 1 2 3 Gaidenko P.P., 1980 .
  15. ↑ Asmus V.F. Elean school // Antique Philosophy. - M . : Vyšší škola, 2005. - 408 s. — ISBN 5-06-003049-0 .
  16. ↑ 1 2 3 4 5 6 Makovelsky A. O., 1999 , část 15.
  17. ↑ 1 2 3 4 5 Aporia of Zeno (Filosofická encyklopedie), 1962 .
  18. ↑ Zeno z Elea // Stanfordská encyklopedie filozofie.
  19. ↑ Komárová, 1988 , s. 50-52.
  20. ↑ Diogenes Laertes. Život, učení a výroky slavných filozofů, kapitola "Pythagoras" .
  21. ↑ Kuzněcov B. G., 1961 , s. 18-20.
  22. ↑ Komárová, 1988 , s. 21.
  23. ↑ "Fyzika" od Aristotela.
  24. ↑ Komárová, 1988 , s. 29-30.
  25. ↑ Kuzněcov B. G., 1961 , s. 38.
  26. ↑ Lurie S. Eseje z dějin starověké vědy. — M. — L .: Ed. AN SSSR, 1947. - S. 181. - 403 s.
  27. ↑ Komárová, 1988 , s. 31-35.
  28. ↑ Komárová, 1988 , s. 35-41.
  29. ↑ Hegel G. V. F. Práce ve 14 sv. - M .: Sotsekgiz, 1959. - T. IX. - S. 244.
  30. ↑ Koželužna P. První kroky starověké řecké vědy. - Petrohrad. , 1902.
  31. ↑ Papa-Grimaldi, Alba. Proč matematická řešení Zenónových paradoxů míjejí smysl: Zenónův jeden a mnohonásobný vztah a Parmenidův zákaz . Přehled metafyziky . Získáno 17. srpna 2011. Archivováno z originálu dne 28. srpna 2011.
  32. ↑ Hilbert D., Bernays P. Základy matematiky. Logický počet a formalizace aritmetiky. - M. , 1979. - S. 40.
  33. ↑ Courant R, Robbins G. Co je matematika . - 3. vyd. - M. : MTSNMO, 2001. - S. 353. - 568 s. - ISBN 5-900916-45-6 .
  34. ↑ Dějiny matematiky, 1970 , str. 93.
  35. ↑ Citováno. Citace : Danzig, Tobias. Čísla jsou jazykem vědy . - M .: Technosfera, 2008. - S.  111 . - ISBN 978-5-94836-172-7 .
  36. ↑ Nicolas Bourbaki . Architektura matematiky. Eseje o historii matematiky. - M . : Zahraniční literatura, 1963. - S. 38.
  37. ↑ van Bendegem, Jean Paul. Diskuze:Zenoovy paradoxy a spor o dlaždice  // Filosofie vědy. - Belgie, 1987. - T. 54 . - S. 295-302 .
  38. ↑ Feynman R. Povaha fyzikálních zákonů . - Ed. 2. - M .: Nauka, 1987. - S.  152 -153. — 160 s. - (Bibl. Quantum, číslo 62).
  39. ↑ Kuzněcov B. G. Einstein. Život. Smrt. Nesmrtelnost. - 5. vyd., revidováno. a doplňkové - M .: Nauka, 1980. - S. 368-374.
  40. ↑ 1 2 Vekšenov, 2008 .
  41. ↑ Shiraishi, 1954 .
  42. ↑ Kline M. Matematika. Ztráta jistoty . - M .: Mir, 1984. - S. 401-402. Archivovaná kopie (nedostupný odkaz) . Datum přístupu: 15. března 2010. Archivováno z originálu 12. února 2007. 
  43. ↑ Dragalin A. G. Antinomy // Mathematical Encyclopedic Dictionary. - M .: Sovětská encyklopedie, 1988. - S. 73-75. — 847 s.
  44. ↑ Uspensky V. A. Co je to nestandardní analýza. — M .: Nauka, 1987.
  45. ↑ Gaidenko P.P. Pojem času a problém kontinua . Staženo: 10. ledna 2011.
  46. ↑ 1 2 Silagadze , ZK Zeno se setkává s moderní vědou  . Získáno 30. prosince 2010. Archivováno z originálu 14. srpna 2011.
  47. ↑ Blinnikov L.V. Stručný slovník filozofických osobností . Staženo: 30. dubna 2010.
  48. ↑ Yanovskaya S. A., 1963 , s. 127.
  49. ↑ Bogomolov S. A. Aktuální nekonečno (Zeno z Elea, Is. Newton, G. Kantor). - L.-M.: ONTI, 1934. - S. 53. - 78 s.
  50. ↑ Parmenides, 1968-1972 .
  51. ↑ Zenoovy paradoxy , Stanfordská encyklopedie filozofie.
  52. ↑ Zenón z Eleje . - Encyklopedie po celém světě. Získáno 30. prosince 2010. Archivováno z originálu 14. srpna 2011.
  53. ↑ Aristoteles. Metafyzika , kniha I, kapitola IV.
  54. ↑ Aristoteles. Fyzika, IV, 1, 209a.
  55. ↑ Komárová, 1988 , s. 124-129.
  56. ↑ Ivin A. A. Logic. Výukový program, kapitola 7 .
  57. ↑ Komárová, 1988 , s. 122-124.
  58. ↑ Fragmenty raných řeckých filozofů, 1989 , s. 27.
  59. ↑ Dějiny matematiky, 1970 , str. 89.
  60. ↑ POHYB.
  61. ↑ Kuzněcov B. G., 1961 , s. 19.
  62. ↑ Carroll, Lewis. Dvoudílný vynález aneb Co řekla želva Achilleovi // Poznání je síla .  - 1991. - č. 9. - S. 6-12.
  63. ↑ Valerie, Paul. Hřbitov u moře.

Literatura

Starověcí autoři

Knihy současných autorů

  • Asmus VF Dějiny antické filozofie. - M . : Vyšší škola, 1965. - S. 40-45.
  • Gaidenko P. P. Evoluce pojetí vědy (vznik a rozvoj prvních vědeckých programů). Kapitola "ŠKOLA ELEAAN A PRVNÍ PROHLÁŠENÍ PROBLÉMU NEKONEČNA" a dále . - M. : Nauka, 1980. Archivní kopie z 21. prosince 2016 na Wayback Machine
  • Historie matematiky / Edited by A. P. Yushkevich , ve třech svazcích. - M .: Nauka, 1970. - T. I. - S. 88-93.
  • Komarova V. Ya. Učení Zena z Elea: pokus o rekonstrukci systému argumentů // Bulletin Leningradské státní univerzity. - L. , 1988.
  • Kuznetsov BG Historie filozofie pro fyziky a matematiky. — M .: Nauka , 1974. — 352 s. — (Dějiny světové kultury). — 20 000 výtisků.
  • Kuzněcov B.G. Vývoj obrazu světa. - 1. vyd. (2. vydání: URSS, 2010). - M . : Nakladatelství Akademie věd SSSR, 1961. - 352 s. — (Z dědictví světového filosofického myšlení: filosofie vědy). - ISBN 978-5-397-01479-3 .
  • Makovelsky A. O. Presocratics. Ve 3 svazcích . - Minsk: Sklizeň, 1999. - 784 s. — (Klasické filosofické myšlení).
  • Smorodinov R. A. Filosofie konzistentních pochybností. - Volgograd: Print, 2006. - S. 41-68.
  • Grünbaum A. Moderní věda a Zenónovy paradoxy. - Allen & Unwin, 1968. - 153 s. — ISBN 978-0045130047 .
  • Guenon R. Les Principes du Calcul nekonečně malý. - Gallimard, 1946 a četné dotisky.  — „Principy výpočtu infinitezimálů“.
  • Losos WC (redaktor). Zenónovy paradoxy. — 2. vyd. — Indianapolis: Hackett Publishing Co. Inc., 2001. - 320 s. - ISBN 978-0872205604 .

Stručná bibliografie vědeckých článků s analýzou aporií

Literatura je uvedena v chronologickém pořadí.

  • Svatkovského V.P. Zenoův paradox o létajícím šípu // Věstník ministerstva národního školství . - 1888. - č. 4 odd. 5 . - S. 203-239 .
  • Chersonsky N. Kh. U počátků teorie poznání. Ohledně Zenónových argumentů proti hnutí // Věstník ministerstva národního vzdělávání. - 1911. - č. XXXIV (srpen) odd. 2 . - S. 207-221 .
  • Bolzano B. Paradoxy nekonečna . - Oděsa, 1911.
  • Bogomolov S. A. Argumenty Zena z Elea ve světle doktríny skutečného nekonečna // Věstník ministerstva národního vzdělávání. - 1915, nová řada. - Ne. LVI (duben) . - S. 289-328 .
  • Dmitriev G. Ještě jednou o paradoxu Zeno "Achilles a želva" a zmatení V. Friedmana // Pod praporem marxismu. - 1928. - č. 4 .
  • Bogomolov S.A. Aktuální nekonečno: Zeno z Elea, Isaac Newton a Georg Kantor. - L.-M., 1934.
  • Yanovskaya S. A. Aporia of Zeno // Filosofická encyklopedie . - M . : Sovětská encyklopedie, 1962. - T. 2.
  • Yanovskaya S.A. Překonala moderní věda obtíže známé jako „Zenoovy aporie“? // Problémy logiky. - M. , 1963. - S. 116-136 .
  • Bogomolov A.S. "Létající šíp" a zákon rozporu // Filosofické vědy. - 1964. - č. 6 .
  • Narsky I.S. K otázce odrazu dialektiky pohybu v pojmech: (ještě jednou o paradoxu "Létající šíp") // Formální logika a metodologie vědy. - M. , 1964. - S. 3-51 .
  • Tsekhmistro I. Z. Aporia ze Zeno očima XX století  // Otázky filozofie. - 1966. - č. 3 .
  • Aporie a moderní filozofie Pančenka AI Zena  // Otázky filozofie. - 1971. - č. 7 .
  • Maneev A. K. Filosofická analýza Zenonových aporií. - Minsk, 1972.
  • Kuzněcov G. A. Kontinuita a Zenoovy paradoxy „Achilles“ a „Dichotomie“ // Teorie logické inference. — M .: Nauka, 1973.
  • Smolenov Aporie H. Zena jako heuristika atomismu a dialektiky // Logická a metodologická analýza vědeckého poznání. - M. , 1979. - S. 76-90.
  • Shirokov V.S. Jean Buridan o aporiích Zeno // Filosofické vědy. - 1982. - č. 4 . - S. 94-101 .
  • Koire A. Poznámky k paradoxům Zeno // Eseje o dějinách filozofického myšlení. O vlivu filozofických koncepcí na vývoj vědeckých teorií. — M. : Progress, 1985.
  • Solodukhina A. O. Vyřešil Aidukevič Zenonovu aporii „Šíp“? // Vědecká konference "Moderní logika: problémy teorie, historie a aplikace ve vědě". - Petrohrad. , 1996.
  • Aporie Anisova A. M. Zena a problém pohybu // Sborník příspěvků z výzkumného semináře Logického centra Fyzikálního ústavu Ruské akademie věd, sv. XIV . - M. , 2000. - S. 139-155.
  • Smirnov A. V. Jsou základy racionality srovnatelné v různých filozofických tradicích? Srovnávací studie zenonských aporií a učení raného kalamu // Comparative Philosophy. - M. , 2000. - S. 167-212.
  • Vilesov Yu.V.Zenoovy aporie a Heisenbergův vztah neurčitosti  // Bulletin Moskevské státní univerzity, řada 7 (filosofie). - M. , 2002. - č. 6 . - S. 20-28 . Archivováno z originálu 9. listopadu 2019.
  • Vekshenov S. A. Matematika a fyzika časoprostorového kontinua  // Základy fyziky a geometrie. - M . : Nakladatelství Ruské univerzity přátelství národů, 2008. - S. 89-118 . Archivováno z originálu 13. května 2012.
  • Shiraishi, Sadeo. Struktura kontinuity psychologických zážitků a fyzického světa // Věda o myšlení. - Tokio, 1954. - č. 1 . - S. 12-24.
  • Chambers, Connor J. Zeno z Elea a Bergsonova opomíjená teze // Journal of the History of Philosophy. - 1974. - Sv. 12, č. 1 (leden) . - S. 63-76.
  • Vlastos GA Platónovo svědectví týkající se Zena z Elea // Journal of the History of Ideas (New York. - 1975. - Vol. XLV. - S. 136-162.
  • Vlastos GA Poznámka k Zenónově šípu // Phronesis. - 1996. - Sv. XI. - S. 3-18.
  • Smirnov A. Odpovídají si základy racionality v různých filozofických tradicích? Srovnávací studie Zenónových paradoxů a učení raného Kalāmu // Islám - Západní filozofický dialog: příspěvky prezentované na Světovém kongresu o Mulla Sadra (1999). - Teherán: Sadra Islamic Philosophy Research Institute, 2004. - S. 109-120.

Odkazy

  Přejděte na položku Wikidata  Slovníky a encyklopedie
V bibliografických katalozích