Autokorelační funkce

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 26. května 2021; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Autokorelační funkce - závislost vztahu mezi funkcí (signálem) a její posunutou kopií na velikosti časového posunu.

U deterministických signálů je autokorelační funkce ( ACF ) signálu určena integrálem : $f(t)$

\Psi (\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)f^{*}(t-\tau )\mathrm {d} t

a ukazuje spojení signálu (funkce ) s kopií sebe sama, posunutou o hodnotu . Hvězdička znamená komplexní konjugaci . $\;f(t)$ $\tau$

Pro náhodné procesy má ACF náhodné funkce tvar [1] : $X(t)$

{\displaystyle K(\tau )=\mathbb {E} \{X(t)X^{*}(t-\tau )\))

kde je matematické očekávání , hvězdička znamená komplexní konjugaci . ${\displaystyle \mathbb {E} \{\ \))$

Pokud je původní funkce přísně periodická , pak graf autokorelační funkce bude mít také přísně periodickou funkci. Z tohoto grafu lze tedy usuzovat na periodicitu původní funkce a následně na její frekvenční charakteristiky. Autokorelační funkce se používá k analýze komplexních fluktuací , například lidského elektroencefalogramu .

Aplikace ve strojírenství

Korelační vlastnosti kódových sekvencí používaných v širokopásmových systémech závisí na typu kódové sekvence, její délce, frekvenci jejích symbolů a na její struktuře symbol po symbolu.

Studium ACF hraje důležitou roli při výběru kódových sekvencí z hlediska nejnižší pravděpodobnosti vytvoření falešné synchronizace.

Další použití

Autokorelační funkce hraje důležitou roli v matematickém modelování a analýze časových řad , ukazuje charakteristické časy pro studované procesy (viz např.: Turchin P.V. Historical dynamics. M.: URSS , 2007. ISBN 978-5-382-00104 -3 ). Zejména cykly v chování dynamických systémů odpovídají maximům autokorelační funkce některého charakteristického parametru.

Rychlostní výpočty

Často je nutné vypočítat autokorelační funkci pro časovou řadu . Přímý výpočet funguje pro . Existuje však způsob, jak to udělat pro . $x_{i}$ $O(T^2)$ $O(T\log T)$

Metoda je založena na Khinchin-Kolmogorovově (aka Wiener-Khinchinově) teorému, který říká, že autokorelační funkcí signálu je Fourierova transformace jeho výkonové spektrální hustoty . Protože existuje rychlý algoritmus Fourierovy transformace pro diskrétní signály pro výpočet jejich spekter , který má řádově složitost , je možné urychlit výpočet autokorelační funkce výpočtem spektra signálu, poté jeho mocniny (druhé mocniny modulu ) a poté inverzní Fourierova transformace. $O(T\log T)$

Podstata metody je následující. Můžete provést nějakou inverzní transformaci dat jedna ku jedné, nazývanou Fourierova transformace , která je uvede do vzájemné korespondence s datovou sadou v jiném prostoru, nazývaném frekvenční prostor (frekvenční spektrum signálu - -- množina spektrálních amplitud). Namísto přímého výpočtu autokorelační funkce na našich počátečních datech můžeme provést operaci, která jí odpovídá, na odpovídajících datech ve frekvenčním prostoru Fourierova spektra, která se provádí v lineárním čase O (T) - výpočet autokorelační funkce ve frekvenčním prostoru odpovídá výpočtu frekvenčních výkonů umocněním modulů spektrálních amplitud. Poté pomocí získaných spektrálních výkonů obnovíme hodnoty autokorelační funkce, které jim odpovídají v běžném prostoru. Výpočet spektra z funkce a naopak se provádí pomocí rychlé Fourierovy transformace , výpočet výkonové spektrální hustoty ve frekvenčním prostoru se provádí v O(T). Ve výpočtech jsme tedy získali zisk v čase. $O(T\log T)$

Výcvik. Odečtěte aritmetický průměr od řady . Převedeme na komplexní čísla . Výplň nulami do . Poté přidejte na konec další nuly. $2^k$ $2^k$

Výpočet. Autokorelační funkce je vypočítána pomocí rychlé Fourierovy transformace a je přímo úměrná prvním prvkům sekvence $n$

\Psi(\tau) \sim \operatorname{Re} \operatorname{fft}^{-1}\left(\left|\operatorname{fft}(\vec x)\right|^2\right)

Druhá mocnina komplexního modulu je brána prvek po prvku: . Pokud nedojde k chybám ve výpočtu, bude imaginární část nulová. Faktor proporcionality je určen z požadavku . $\left|\vec a\right|^2 = \left\{ \operatorname{Re}^2 a_i + \operatorname{Im}^2 a_i \right\}$ $\Psi(0)=1$

Viz také

Poznámky

↑ Charles Therrien , Murali Tummala. Pravděpodobnost a náhodné procesy pro elektrotechniky a počítačové inženýry. - CRC Press, 2012. - S. 287 . Získáno 8. září 2016. Archivováno z originálu 17. září 2016. (neurčitý)

Odkazy

funkce xcorr v MATLABu