Korelace

Korelace (z latinského correlatio "poměr"), nebo korelační závislost - statistický vztah dvou nebo více náhodných proměnných (nebo proměnných, které lze za takové považovat s určitou přijatelnou mírou přesnosti), přičemž změny hodnot jedné resp. více těchto veličin je doprovázeno systematickou změnou hodnot jiné nebo jiných veličin [1] .

Matematickou mírou korelace dvou náhodných veličin je korelační poměr [2] nebo korelační koeficient (nebo ) [1] . Pokud změna jedné náhodné veličiny nevede k pravidelné změně jiné náhodné veličiny, ale vede ke změně jiné statistické charakteristiky této náhodné veličiny, pak se takový vztah nepovažuje za korelaci, ačkoliv je statistický [3] . $\mathbf {\eta }$ $\mathbf {R}$ $\mathbf {r}$

Poprvé byl termín korelace uveden do vědeckého oběhu francouzským paleontologem Georgesem Cuvierem v 18. století. Vyvinul „zákon korelace“ částí a orgánů živých bytostí, s jehož pomocí je možné obnovit vzhled fosilního živočicha, který má k dispozici pouze část jeho pozůstatků. Ve statistice slovo „korelace“ poprvé použil anglický biolog a statistik Francis Galton na konci 19. století [4] .

Korelace a provázanost veličin

Významná korelace mezi dvěma náhodnými veličinami je vždy důkazem existence nějakého statistického vztahu v daném vzorku, tento vztah však nemusí být nutně pozorován pro jiný vzorek a mít kauzální charakter. Často lákavá jednoduchost korelační studie povzbuzuje výzkumníka k vyvozování falešných intuitivních závěrů o přítomnosti kauzálního vztahu mezi dvojicemi znaků, zatímco korelační koeficienty zakládají pouze statistické vztahy. Například při pohledu na požáry v konkrétním městě lze najít velmi vysokou korelaci mezi škodami způsobenými požárem a počtem hasičů zapojených do hašení požáru, přičemž tato korelace bude pozitivní. To však nevede k závěru, že „nárůst počtu hasičů vede k nárůstu způsobených škod“, a tím méně bude úspěšná snaha minimalizovat škody z požárů likvidací hasičských jednotek [ 5] . Korelace dvou veličin může naznačovat existenci společné příčiny, i když samotné jevy se přímo neovlivňují. Například námraza způsobuje jak nárůst zranění při pádech, tak nárůst nehod mezi vozidly. V tomto případě budou korelovat dvě veličiny (zranění v důsledku pádu chodce a nehody vozidla), i když spolu nejsou v příčinné souvislosti, ale mají pouze společnou příčinu třetí strany - náledí .

Absence korelace mezi dvěma veličinami zároveň neznamená, že mezi nimi není žádná souvislost. Závislost může mít například komplexní nelineární charakter, který korelace neodhalí.

Některé typy korelačních koeficientů mohou být kladné nebo záporné. V prvním případě se předpokládá, že můžeme určit pouze přítomnost nebo nepřítomnost spojení a ve druhém také jeho směr. Pokud se předpokládá, že hodnoty proměnných mají přísný vztah pořadí , pak negativní korelace je korelace, ve které je zvýšení jedné proměnné spojeno s poklesem jiné. V tomto případě bude korelační koeficient záporný. Pozitivní korelace za takových podmínek je taková, ve které je zvýšení jedné proměnné spojeno se zvýšením jiné proměnné. Je také možné, že neexistuje žádný statistický vztah – například pro nezávislé náhodné proměnné .

Korelační míry

Způsob výpočtu korelačního koeficientu závisí na typu škály , na kterou se proměnné vztahují. Pro měření proměnných s intervalovými a kvantitativními stupnicemi je tedy nutné použít Pearsonův korelační koeficient (korelaci součinových momentů ). Pokud alespoň jedna z těchto dvou proměnných má ordinální stupnici nebo není normálně rozdělena , musí se použít Spearmanova nebo (tau) Kendallova hodnostní korelace. V případě, kdy je jedna ze dvou proměnných dichotomická , použije se bodová dvouřadová korelace, a pokud jsou obě proměnné dichotomické , použije se čtyřpolní korelace. Výpočet korelačního koeficientu mezi dvěma nedichotomickými proměnnými má smysl pouze tehdy, když je vztah mezi nimi lineární (jednosměrný). $\mathbf {\tau }$

Parametrické ukazatele korelace

Kovariance

Důležitou charakteristikou společného rozdělení dvou náhodných veličin je kovariance (neboli korelační moment ). Kovariance je kloubní centrální moment druhého řádu [6] . Kovariance je definována jako matematické očekávání součinu odchylek náhodných veličin [7] :

\mathrm {cov} _{XY}=\mathbf {M} \left[(X-\mathbf {M} (X))(Y-\mathbf {M} (Y))\right]=\mathbf {M } (XY)-\mathbf {M} (X)\mathbf {M} (Y)

kde je matematické očekávání (v anglicky psané literatuře se akceptuje označení od očekávané hodnoty ). $\mathbf {M}$ $\mathbf {E}$

Kovarianční vlastnosti :

Kovariance dvou nezávislých náhodných veličin a je rovna nule [8] . $\mathbf {X}$ $\mathbf {Y}$

Důkaz

Protože a jsou nezávislé náhodné veličiny, jejich odchylky a jsou také nezávislé. S využitím skutečnosti, že matematické očekávání součinu nezávislých náhodných veličin se rovná součinu matematických očekávání faktorů a matematické očekávání odchylky je nulové, máme $\mathbf {X}$ $\mathbf {Y}$ $\mathbf {X} -\mathbf {M} (X)$ $\mathbf {Y} -\mathbf {M} (Y)$

$\mathrm {cov} _{XY}=\mathbf {M} \left[(X-\mathbf {M} (X))(Y-\mathbf {M} (Y))\right]=\mathbf {M } \ (X-\mathbf {M} (X))\mathbf {M} (Y-\mathbf {M} (Y))=0.$

Absolutní hodnota kovariance dvou náhodných veličin a nepřesahuje geometrický průměr jejich disperzí : [9] . $\mathbf {X}$ $\mathbf {Y}$ $|\mathrm {cov} _{XY}|\leqslant {\sqrt {\mathrm {D} _{X}\mathrm {D} _{Y))}$

Důkaz

Zaveďme náhodnou veličinu (kde je směrodatná odchylka ) a najdeme její rozptyl . Po provedení výpočtů dostaneme: $\mathbf {Z} _{1}=\mathbf {\sigma } _{Y}\mathbf {X} -\mathbf {\sigma } _{X}\mathbf {Y}$ $\mathbf {\sigma }$ $\mathbf {D} (Z_{1})=\mathbf {M} [\mathbf {Z} -m_{Z1}]^{2}$

$\mathbf {D} (Z_{1})=2\mathbf {\sigma ^{2}} _{X}\mathbf {\sigma ^{2}} _{Y}-2\mathbf {\sigma } _ {X}\mathbf {\sigma } _{Y}\mathrm {cov} _{XY}.$

Jakákoli odchylka je nezáporná, takže

$2\mathbf {\sigma ^{2)) _{X}\mathbf {\sigma ^{2)) _{Y}-2\mathbf {\sigma } _{X}\mathbf {\sigma } _{Y }\mathrm {cov} _{XY}\geqslant 0$

Odtud

$\mathrm {cov} _{XY}\leqslant \mathrm {\sigma } _{X}\mathrm {\sigma } _{Y}.$

Zavedením náhodné proměnné , podobně $\mathbf {Z} _{2}=\mathbf {\sigma } _{Y}\mathbf {X} +\mathbf {\sigma } _{X}\mathbf {Y}$

$\mathrm {cov} _{XY}\geqslant -\mathrm {\sigma } _{X}\mathrm {\sigma } _{Y}.$

Kombinací získaných nerovností máme

$-\mathrm {\sigma } _{X}\mathrm {\sigma } _{Y}\leqslant \mathrm {cov} _{XY}\leqslant \mathrm {\sigma } _{X}\mathrm {\sigma } _{Y}.$

Nebo

$|\mathrm {cov} _{XY}|\leqslant \mathrm {\sigma } _{X}\mathrm {\sigma } _{Y}.$

Tak,

$|\mathrm {cov} _{XY}|\leqslant {\sqrt {\mathrm {D} _{X}\mathrm {D} _{Y))}.$

Kovariance má rozměr rovný součinu dimenze náhodných proměnných, to znamená, že velikost kovariance závisí na jednotkách měření nezávislých proměnných. Tato vlastnost kovariance ztěžuje její použití pro účely korelační analýzy [8] .

Lineární korelační koeficient

K odstranění nedostatku kovariance byl zaveden lineární korelační koeficient (neboli Pearsonův korelační koeficient ), který vyvinuli Karl Pearson , Francis Edgeworth a Raphael Weldon v 90. letech 19. století. Korelační koeficient se vypočítá podle vzorce [10] [8] :

\mathbf {r} _{XY}={\frac {\mathbf {cov} _{XY}}{\mathbf {\sigma } _{X}{\sigma }_{Y}}}={\frac { \součet (X-{\bar {X)))(Y-{\bar {Y)))}{\sqrt {\součet (X-{\bar {X)))^{2}\součet (Y -{\bar {Y}})^{2}}}}.

kde , je střední hodnota vzorků. ${\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{t=1}^{n}X_{t}$ ${\overline {Y}}={\frac {1}{n}}\součet _{t=1}^{n}Y_{t}$

Korelační koeficient se pohybuje od mínus jedna do plus jedna [11] .

Důkaz

Vydělením obou částí dvojité nerovnosti dostaneme $-\mathrm {\sigma } _{X}\mathrm {\sigma } _{Y}\leqslant \mathrm {cov} _{XY}\leqslant \mathrm {\sigma } _{X}\mathrm {\sigma } _{Y}$ $\mathbf {\sigma } _{X} \mathbf {\sigma } _{Y}$

$-1\leqslant \mathbf {r} _{XY}\leqslant \ 1.$

Lineární korelační koeficient souvisí s regresním koeficientem ve tvaru následující závislosti: kde je regresní koeficient, je směrodatná odchylka odpovídajícího atributu faktoru [12] . Poměr regresního koeficientu ke směrodatné odchylce Y nezávisí na jednotkách Y. Při lineární transformaci souboru dat bude lineární korelační koeficient roven . $\mathbf {r} _{XY}=\mathbf {a} _{i}{\frac {{\sigma }_{Xi}}{{\sigma }_{Y}}},$ $\mathbf {a} _{i}$ $\mathbf {\sigma }_{Xi}$ $x_{i}^{*}=a+bx_{i},\;a\in \mathbb {R} ,b\neq 0$ $y_{i}^{*}=c+dy_{i},\;c\in \mathbb {R} ,d\neq 0$ $r_{X^{*}Y^{*}}={\frac {bd}{\left|bd\right|}}r_{XY}$

Neparametrické míry korelace

Kendallův hodnostní korelační koeficient

Používá se k identifikaci vztahu mezi kvantitativními nebo kvalitativními ukazateli, pokud je lze seřadit. Hodnoty indikátoru X jsou nastaveny ve vzestupném pořadí a přiřazeny hodnosti. Hodnoty indikátoru Y jsou seřazeny a je vypočítán Kendallův korelační koeficient :

$\tau ={\frac {2S}{n(n-1)))$ ,

kde . $S = PQ$

$P$ je celkový počet pozorování navazujících na aktuální pozorování s velkou hodnotou pořadí Y.

$Q$ je celkový počet pozorování po aktuálních pozorováních s nižším stupněm Y. (stejné pořadí se nebere v úvahu!)

$\tau \in [-1;1]$

Pokud se studovaná data opakují (mají stejné pořadí), pak se ve výpočtech použije upravený Kendallův korelační koeficient:

$\tau ={\frac {S}{{\sqrt {[{\frac {n(n-1)}{2}}-U_{x}][{\frac {n(n-1) {2}}-U_{y}}}}]}}}$

$U_{x}={\frac {\součet {t(t-1)}}{2}}$

$U_{y}={\frac {\součet {t(t-1)}}{2}}$

$t$ je počet příbuzných pozic v řadě X a Y, v daném pořadí.

Spearmanův koeficient hodnostní korelace

Stupeň závislosti dvou náhodných proměnných (znaků) lze charakterizovat na základě analýzy získaných výsledků . Každému indikátoru je přiřazena hodnost. Řady hodnot jsou v přirozeném pořadí . Hodnost se zapisuje jako a odpovídá hodnosti dvojice, pro kterou je hodnost . Na základě získaných pořadí a jejich rozdílů se spočítají a vypočítá Spearmanův korelační koeficient : $X$ $Y$ $(X_{1},Y_{1}),\ldots ,(X_{n},Y_{n})$ $X$ $Y$ $X$ $i=1,2,\ldots ,n$ $Y$ $R_i$ $(X,Y)$ $X$ $i$ $X_{i}$ $Y_{i}$ $d_{i}$

$\rho =1-{\frac {6\sum d_{i}^{2}}{n(n^{2}-1)))$

Hodnota koeficientu se pohybuje od −1 (posloupnosti hodností jsou zcela opačné) do +1 (posloupnosti hodností jsou zcela stejné). Hodnota nula znamená, že funkce jsou nezávislé.

Korelační koeficient Fechnerova znaménka

Vypočítá se počet shod a neshod znaků odchylek hodnot ukazatelů od jejich průměrné hodnoty.

$i={\frac {CH}{C+H}}$

C je počet párů, u kterých se znaménka odchylek hodnot od jejich průměrů shodují.

H je počet párů, u kterých se znaménka odchylek hodnot od jejich průměrů neshodují.

Vícenásobný korelační koeficient Vícenásobný hodnostní korelační koeficient (shoda)

$W={\frac {12S}{m^{2}(n^{3}-n)))$

$S=\sum _{i=1}^{n}{(\sum _{j=1}^{m}{R_{ij)))^{2))-{\frac {(\ součet _{i=1}^{n}{\součet _{j=1}^{m}{R_{ij}}})^{2}}{n}}$

$m$ je počet skupin, které jsou seřazeny.

$n$ je počet proměnných.

$R_{ij}$ je hodnost -faktoru y -jedna. $i$ $j$

Význam:

$\chi ^{2}=m(n-1)*W$

${\chi ^{2}}_{kp}=(\alpha ;(n-1)(m-1))$

$\chi ^{2}>{\chi ^{2}}_{kp}$ , pak je hypotéza o žádné souvislosti zamítnuta.

V případě příbuzných hodností:

$W={\frac {12S}{m^{2}(n^{3}-n)-m\sum _{j=1}^{m}{({t^{3}}_ {j}-t_{j})}}}$

$\chi ^{2}={\frac {12S}{mn(n+1)-{\frac {\sum _{j=1}^{m}{({t^{3}}_ {j}-t_{j})}}{n-1}}}}$

Vlastnosti korelačního koeficientu

Cauchyho-Bunyakovského nerovnost :

pokud vezmeme kovarianci jako skalární součin dvou náhodných proměnných , pak se norma náhodné veličiny bude rovnat a důsledek Cauchy-Bunyakovského nerovnosti bude:

\langle X,Y\rangle =\mathrm {cov} (X,Y)

\|X\|={\sqrt {\mathrm {D} [X]}}

-1\leqslant \mathbb {R} _{X,Y}\leqslant 1

Korelační koeficient je stejný právě tehdy a pouze tehdy, když a jsou lineárně závislé (s výjimkou událostí s nulovou pravděpodobností, kdy několik bodů „vypadne“ z přímky, což odráží lineární závislost náhodných veličin): $\pm 1$ $X$ $Y$

\mathbb {R} _{X,Y}=\pm 1\Šipka doleva Y=kX+b,k\neq 0

, kde . Navíc v tomto případě se znaky a shodují:

k,b\in \mathbb {R}

\mathbb {R} _{X,Y}

k

\operatorname {sgn} \mathbb {R} _{X,Y}=\operatorname {sgn} k

. Důkaz

Uvažujme náhodné proměnné X a Y s nulovými průměry a rozptyly rovnými a . Pojďme vypočítat rozptyl náhodné veličiny : ${\overline {X^{2}}}=\sigma _{X}^{2}$ ${\overline {Y^{2}}}=\sigma _{Y}^{2}$ $\xi =aX+bY$

$\sigma _{\xi }^{2}={\overline {(aX+bY)^{2}}}=a^{2}{\overline {X^{2}}}+b^{2} {\overline {Y^{2}}}+2ab{\overline {XY}}.$

Za předpokladu, že korelační koeficient

$\mathbb {R} _{X,Y}={\frac {\overline {XY}}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}=\pm 1,$

pak se předchozí výraz přepíše do formuláře

$\sigma _{\xi }^{2}=a^{2}\sigma _{X}^{2}+b^{2}\sigma _{Y}^{2}\pm 2ab\sigma _{ X}\sigma _{Y}=(a\sigma _{X}\pm b\sigma _{Y})^{2}.$

Vzhledem k tomu, že čísla aab můžete vždy zvolit tak, že (například if , pak vezmeme libovolné a a ), pak pro tyto a a b je rozptyl , a tedy téměř jistě. To ale znamená lineární vztah mezi X a Y. Důkaz je samozřejmě zobecněn na případ X a Y s nenulovými průměry, pouze ve výše uvedených výpočtech bude nutné nahradit X za a Y za . $a\sigma _{X}\pm b\sigma _{Y}=0$ $\sigma _{Y}\neq 0$ $b=\mp {\frac {\sigma _{X}}{\sigma _{Y}}}\,a$ $\sigma _{\xi }^{2}=0$ $\xi =aX+bY=0$ $X-{\overline {X}}$ $Y-{\overline {Y}}$

Nechť náhodné proměnné jsou takové, že , . Potom: , kde je podmíněné matematické očekávání. $X,Y$ $D[X]>0$ $D[Y]>0$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{X,Y}=\mathbb {R} _{X,M(X|Y)}\mathbb {R} _{M(X|Y),Y))$ $M(X|Y)$

Pokud nezávislé náhodné proměnné, pak . Opak obecně neplatí. $X,Y$ $\mathbb {R} _{X,Y}=0$

Korelační analýza

Korelační analýza je metoda statistického zpracování dat , která měří sílu vztahu mezi dvěma nebo více proměnnými. Korelační analýza úzce souvisí s regresní analýzou ( často se také setkáváme s termínem „ korelační-regresní analýza “, což je obecnější statistický pojem ), určuje potřebu zahrnout určité faktory do vícenásobné regresní rovnice a také vyhodnocuje výsledná regresní rovnice pro shodu identifikovaných vztahů (pomocí koeficientu determinace ) [1] [2] .

Omezení korelační analýzy

Aplikace je možná, pokud je dostatek pozorování ke studiu. V praxi se má za to, že počet pozorování by měl být alespoň 5-6krát větší než počet faktorů (existuje také doporučení použít poměr, který je alespoň 10krát větší než počet faktorů). Pokud počet pozorování desetinásobně převyšuje počet faktorů, vstupuje do hry zákon velkých čísel , který zajišťuje vzájemné zrušení náhodných fluktuací [13] .
Je nutné, aby se souhrn hodnot všech faktoriálů a efektivních vlastností řídil vícerozměrným normálním rozdělením . Pokud je objem populace nedostatečný pro formální testování normality rozdělení, pak se distribuční zákon určí vizuálně na základě korelačního pole . Pokud je pozorován lineární trend v umístění bodů v tomto poli, pak lze předpokládat, že soubor počátečních dat se řídí zákonem normálního rozdělení [14] .
Počáteční soubor hodnot by měl být kvalitativně homogenní [13] .
Fakt korelace sám o sobě nedává důvod tvrdit, že jedna z proměnných předchází nebo je příčinou změn, nebo že proměnné spolu obecně kauzálně souvisí a účinek třetího faktoru není pozorován [5 ] .

Rozsah

Tento způsob zpracování statistických dat je velmi populární v ekonomii , astrofyzice a společenských vědách (zejména v psychologii a sociologii ), ačkoli rozsah korelačních koeficientů je široký: kontrola kvality průmyslových výrobků, metalurgie , zemědělská chemie , hydrobiologie , biometrie a další . V různých aplikovaných odvětvích jsou akceptovány různé hranice intervalů pro posouzení těsnosti a významu spoje.

Oblíbenost metody je dána dvěma body: korelační koeficienty se dají poměrně snadno vypočítat, jejich aplikace nevyžaduje speciální matematické školení. V kombinaci se snadnou interpretací vedla snadná aplikace koeficientu k jeho širokému použití v oblasti statistické analýzy dat.

Viz také

Poznámky

↑ 1 2 3 Shmoylova, 2002 , str. 272.
↑ 1 2 Eliseeva, Yuzbashev, 2002 , str. 232.
↑ Eliseeva, Yuzbashev, 2002 , str. 228.
↑ Eliseeva, Yuzbashev, 2002 , str. 228-229.
↑ 1 2 Eliseeva, Yuzbashev, 2002 , str. 229.
↑ Suslov, Ibragimov, Talysheva, Tsyplakov, 2005 , str. 141.
↑ Gmurman, 2004 , str. 176-177.
↑ 1 2 3 Gmurman, 2004 , str. 177.
↑ Gmurman, 2004 , str. 178-179.
↑ Shmoylova, 2002 , str. 300.
↑ Gmurman, 2004 , str. 179.
↑ Shmoylova, 2002 , str. 301.
↑ 1 2 Eliseeva, Yuzbashev, 2002 , str. 230.
↑ Shmoylova, 2002 , str. 275.

Literatura

Gmurman V. E. Teorie pravděpodobnosti a matematická statistika: učebnice pro střední školy. — 10. vydání, stereotypní. - Moskva: Vyšší škola, 2004. - 479 s. —ISBN 5-06-004214-6.
Eliseeva I. I. , Yuzbashev M. M. Obecná teorie statistiky: učebnice / Ed. I. I. Eliseeva. - 4. vydání, přepracované a rozšířené. - Moskva: Finance a statistika, 2002. - 480 s. — ISBN 5-279-01956-9 .
Korelační analýza / A. V. Prochorov // Velká ruská encyklopedie : [ve 35 svazcích] / kap. vyd. Yu. S. Osipov . - M .: Velká ruská encyklopedie, 2004-2017.
Obecná teorie statistiky: učebnice / Ed. R. A. Shmoylova . — 3. vydání, přepracované. - Moskva: Finance a statistika, 2002. - 560 s. — ISBN 5-279-01951-8 .
Suslov V. I., Ibragimov N. M., Talysheva L. P., Tsyplakov A. A. Econometrics. - Novosibirsk: SO RAN, 2005. - 744 s. — ISBN 5-7692-0755-8 .

Odkazy

Slovníky a encyklopedie	Skvělý norský Skvělý norský Velký Rus Britannica (online)
V bibliografických katalozích	BNF : 11978503n GND : 4165343-9 J9U : 987007567883105171 LCCN : sh85033032