Lemma Alexandrova

Aleksandrovovo lemma je vyjádřením neutrální geometrie a sférické geometrie , která hraje důležitou roli v základech Aleksandrovovy geometrie .

Formulace

Zafixujeme reálné číslo a označíme modelovou rovinou křivosti . To znamená $k$ $\mathbb {M} [k]$ $k$

$\mathbb {M} [0]$ je euklidovská rovina ,
$\mathbb {M} [k]$ když existuje koule o poloměru , $k>0$ $1/{\sqrt {k))$
$\mathbb {M} [k]$ v je rovina zakřivení Lobačevského . $k<0$ $k$

Dovolit a být dva čtyřúhelníky se stejnými odpovídajícími stranami. Předpokládejme , že body leží na opačných stranách úsečky , bod leží na nejkratší cestě . Potom mají následující výrazy stejné znaménko: $XPYQ$ $X'P'Y'Q'$ $\mathbb {M} [k]$ $P$ $Q$ $XY$ $Q'$ $X'Y'$

$\measuredangle PQX+\measuredangle PQY-\pi$
$P'Q'-PQ$

Historie

Lema se objevuje v knize Aleksandrov, A. D. Vnitřní geometrie konvexních ploch. — Teortekhizdat, 1948.

Literatura

Burago D.Yu., Burago Yu.D., Ivanov S.V. Kurz metrické geometrie. - 2004. - ISBN 5-93972-300-4 .