Absolutní geometrie

Absolutní geometrie (nebo neutrální geometrie ) je část klasické geometrie, nezávislá na pátém postulátu euklidovské axiomatiky (to znamená, že v absolutní geometrii může nebo nemusí být splněn pátý postulát). Absolutní geometrie obsahuje výroky, které jsou společné Euklidovské geometrii a Lobachevského geometrii [1] [2] .

Termín navrhl Janos Bolyai v roce 1832 [3] . Pravda, sám Bolyai tomu dal trochu jiný význam: absolutní geometrii nazval jím speciálně vyvinutou symbolikou, která umožnila sjednotit věty euklidovské geometrie i geometrie Lobačevského [4] do jednoho vzorce .

Příklady vět v absolutní geometrii

Prvních 28 teorémů Euklidových „ Principů “ se odkazuje na absolutní geometrii. Zde je několik dalších příkladů takových teorémů [5] :

• Rovnoramenný trojúhelník má stejné základní úhly.
• Vnější úhel trojúhelníku je větší než každý vnitřní úhel, který s ním nesousedí.
• Každý trojúhelník má alespoň dva ostré úhly.
• Když se dvě čáry protínají , jsou svislé úhly stejné.
• Proti větší ze dvou stran trojúhelníku je větší úhel a naopak, proti větší straně je větší strana.
• Kolmice (od bodu k přímce) je kratší než šikmá.
• Každá strana trojúhelníku je menší než součet a větší než rozdíl ostatních dvou stran.
• Součet úhlů trojúhelníku nepřesahuje 180°.

Věty nezahrnuté v absolutní geometrii

Moderní axiomatika euklidovské geometrie (takový jako Hilbertova axiomatika ) je kompletní , to znamená, že jakékoli správné tvrzení v této teorii lze dokázat nebo vyvrátit. Absolutní geometrie je neúplná: protože pátý postulát definuje metrické vlastnosti homogenního prostoru , jeho nepřítomnost v absolutní geometrii znamená, že prostorová metrika není definována, a většina teorémů souvisejících s měřením (jako je Pythagorova věta nebo trojúhelníkový součet úhlů věta ) nelze v absolutní geometrii dokázat [6] .

Další příklady vět, které nejsou zahrnuty v absolutní geometrii:

• Znaky podobnosti trojúhelníků [6] .
• Četné ekvivalenty postulátu V [7]

Variace a zobecnění

V absolutní geometrii vždy existují paralelní čáry (viz věty 27 a 28 Euklidových prvků , dokázané bez spoléhání se na pátý postulát), takže sférická geometrie , ve které nejsou žádné paralelní čáry, je neslučitelná s absolutní geometrií. Je však možné sestrojit axiomatiku, která sjednocuje všechny tři typy neeuklidovských geometrií (euklidovskou, sférickou a Lobačevského geometrii) [8] a pak lze absolutní geometrii definovat jako jejich společnou část. Tato nová definice je širší než ta stará – například věta „součet úhlů trojúhelníku nepřesahuje 180°“ přestává platit.

Poznámky

1. ↑ Absolutní geometrie // Matematická encyklopedie (v 5 svazcích) . - M .: Sovětská encyklopedie , 1977. - T. 1. - S. 34.
2. ↑ Vyšší geometrie, 1971 , str. 88--89.
3. ↑ Bolai J. Appendix Archivní kopie ze dne 21. dubna 2013 na Wayback Machine // On the Foundations of Geometry (sbírka článků), M., GITTL, 1956. Řada "Classics of Natural Science".
4. ↑ Matematika 19. století. Svazek II: Geometrie. Teorie analytických funkcí / Ed. Kolmogorová A. N. , Juškevič A. P. - M .: Nauka, 1981. - S. 64-65. — 270 s.
5. ↑ Vyšší geometrie, 1971 , str. 14, 67 a násl., 89.
6. ↑ 1 2 school-collection.edu.ru .
7. ↑ Viz například: Gunter Ewald . Geometrie: úvod. Wadsworth Publishing. 1. 1971, 399 stran. ISBN 0534000347 .
8. ↑ Peil, Timothy. Hilbertovy axiomy upravené pro rovinnou eliptickou geometrii  . // Geometry Survey . Získáno 18. října 2016. Archivováno z originálu 19. října 2016.

Literatura

• Hilbert D. Základy geometrie. - M. - L. : GITTL, 1948. - 492 s. - (Klasika přírodních věd. Matematika, mechanika, fyzika, astronomie).
• Efimov N. V. Vyšší geometrie. - 7. vyd. — M .: Fizmatlit, 1971.
  • Reedice: 2004, nakladatelství Fizmatlit, ISBN 5-9221-0267-2 .

Odkazy

• Absolutní geometrie . - na federálním portálu School-collection.edu.ru. Staženo: 9. listopadu 2018. (neurčitý)

V bibliografických katalozích	GND : 4193046-0