Vektorový potenciál elektromagnetického pole

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 16. března 2021; kontroly vyžadují 9 úprav .

Vektorový potenciál elektromagnetického pole
${\vec A}$
Dimenze	MLT -2 I -1
Jednotky
SI	Tl m $\,\cdot \,$
GHS	Gf cm $\,\cdot \,$
Poznámky
Vektorová veličina

Vektorový potenciál elektromagnetického pole A (vektorový potenciál , magnetický potenciál) - v elektrodynamice vektorový potenciál , jehož rotor je roven magnetické indukci :

\mathbf {B} =\jméno operátora {rot} \mathbf {A} =\nabla \times \mathbf {A} .

Definováno až do gradientu libovolné skalární funkce . Měří se v T m (SI) nebo G cm (CGS). $\nabla \psi$ $\cdot$ $\cdot$

Vektorový potenciál (A) je prostorová složka 4-vektoru elektromagnetického potenciálu .

Maxwellovy rovnice

Jedním ze způsobů, jak napsat Maxwellovy rovnice , je formulovat je z hlediska vektorových a skalárních potenciálů.

V tomto případě je rovnice splněna automaticky. $\operatorname {div}{\mathbf B}=0$

Náhrada výrazu za in ${\mathbf A}$

\operatorname {rot}{\mathbf E}=-{\frac {\partial {\mathbf B}}{\partial t}}

vede k rovnici

\operatorname {rot} \left(\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))\right)=0,

podle kterého se stejně jako v elektrostatice zavádí skalární potenciál. Nyní však skalární i vektorový potenciál přispívají k: $\mathbf {E}$

\mathbf {E} =-\jméno operátora {grad} \;\varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t)).

Vyplývá to z rovnice $\operatorname {rot}{\mathbf H}={\mathbf j}+{\frac {\partial {\mathbf D)){\partial t))$

\operatorname {rot} \;\operatorname {rot} \mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {j} +\varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\ částečné }{\částečné t))\left(-\jméno operátora {grad} \;\varphi -{\frac {\částečné \mathbf {A} }{\částečné t))\vpravo).

Pomocí rovnosti lze rovnice pro vektorový a skalární potenciál zapsat jako $\operatorname {rot}\;\operatorname {rot}{\mathbf A}=\operatorname {grad}\;\operatorname {div}{\mathbf A}-\nabla ^{2}{\mathbf A}$

\Delta \mathbf {A} -\operatorname {grad} \left(\operatorname {div} \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2))}{\frac {\partial \varphi }{\částečné t))\right)-{\frac {1}{c^{2))}{\frac {\částečné ^{2}\mathbf {A} }{\částečné t^{2 }}}=-\mu _{0}\mathbf {j} ,

\Delta \varphi +{\frac {\partial }{\partial t))\operatorname {div} \mathbf {A} =-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0))}.

Vektorový potenciál a magnetický tok

V souladu se Stokesovým teorémem je magnetický tok obvodem snadno vyjádřen jako cirkulace vektorového potenciálu podél tohoto obvodu: $\Phi$ $L$ $\mathbf {A}$

\Phi =\oint \limits _{L}\mathbf {A} \cdot \mathbf {dl} .

Kalibrace vektorového potenciálu

Je snadné ověřit, že transformace

\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla \psi ,

\varphi \rightarrow \varphi -{\frac {\partial \psi }{\partial t)),

kde je libovolná skalární funkce souřadnic a času, neměňte Maxwellovy rovnice ( invariance měřidla , podle Noetherovy věty odpovídá zákonu zachování elektrického náboje ). Pro usnadnění řešení těchto rovnic je zavedena další umělá podmínka, nazývaná potenciální měřidlo . Při řešení jiné třídy problémů je výhodnější ta či ona kalibrace. Hojně se používají dva – Coulombovo měřidlo a Lorentzovo měřidlo. $\psi$

Coulombova kalibrace

Coulombovo měřidlo se nazývá výraz:

\operatorname {div} \mathbf {A} =0.

Tato kalibrace je vhodná pro zvážení magnetostatických problémů (s proudy konstantními v čase).

Lorentzovo měřidlo

Lorentzovo měřidlo je podmínkou, že 4-divergence potenciálu je rovna nule (v SI):

\nabla _{\mu }A_{\mu }=\operatorname {div} \mathbf {A} +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t }}=0.

V tomto případě jsou rovnice přepsány jako D'Alembertians :

\square \mathbf {A} \equiv \Delta \mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} } {\částečné t^{2))}=-\mu _{0}\mathbf {j} ,

\square \varphi \equiv \Delta \varphi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}} }=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}.

Rovnice zapsané v této podobě jsou vhodnější pro řešení nestacionárních problémů.

Fyzikální význam vektorového potenciálu

Obvykle se má za to, že vektorový potenciál je veličina, která nemá přímý fyzikální význam, zavedená pouze pro usnadnění výpočtů. Bylo však možné provést experimenty, které ukázaly, že vektorový potenciál je přístupný přímému měření. Stejně jako elektrostatický potenciál souvisí s pojmem energie , vektorový potenciál úzce souvisí s pojmem hybnost .

Kvantově mechanický fázový posun

Vliv magnetického pole na pohyb kvantové částice vede k fázovému posunu [1] [2] :

\Delta \varphi _{H}={\frac {e}{\hbar c}}\int _{{S}}^{{}}({\mathbf {A}),\;d{\mathbf { l}}),

kde je náboj elektronu , je rychlost světla ve vakuu, je redukovaná Planckova konstanta , je vektorový potenciál magnetického pole a je prvkem trajektorie částice. $E$ $C$ $\hbar$ $\mathbf {A}$ $d{\mathbf {l))$

V tomto případě dochází také k fázovému posunu, když částice prochází oblastmi, ve kterých se , nerovná pouze nule . K tomu dochází například při pozorování Aharonov-Bohmova jevu [3] . ${\mathbf B}=0$ ${\mathbf A}$

Generalizovaná hybnost

Když se částice pohybuje v elektromagnetickém poli, celková hybnost není jen , ale . V důsledku toho, když se částice pohybuje v čistě magnetickém poli, je to právě toto množství, které je zachováno. Existuje analogie s celkovou energií částice , kterou lze považovat za součet kinetické a potenciální energie. ${\mathbf {P}}$ ${\mathbf {p}}={\frac {m{\mathbf {v}}}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$ ${\mathbf {p}}+q{\mathbf {A}}$ $E=T+U={\frac {mc^{2}}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}+q\varphi$

Hybnost částice při rychlém vypnutí magnetického pole

Pokud se nabitá částice nachází v blízkosti zdroje magnetického pole, které se v určitém okamžiku rychle vypne, získá další hybnost , i když v místě, kde se částice nacházela, byla nulová (např. vnější strana solenoidu). Konkrétně, pokud byla částice v klidu před vypnutím pole, pak se začne pohybovat s hybností rovnou . Dostáváme tak možnost přímo měřit vektorový potenciál v makroskopickém systému. $\Delta {\mathbf {p}}=q{\mathbf {A}}$ $\mathbf {B}$ $q{\mathbf {A}}$

Závěr

Když se změní vektorový potenciál, vznikne elektrické pole:

\mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t)).

Druhý Newtonův zákon píšeme v zobecněné podobě:

{\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=\mathbf {F} ,

{\frac {d\mathbf {p} }{dt))=q\mathbf {E} +q[\mathbf {v} \times \mathbf {B} ]=-q{\frac {\partial \mathbf {A} }{\částečné t}}+q[\mathbf {v} \times [\nabla \times \mathbf {A} ]].

Pokud je pole dostatečně rychle vypnuto a rychlost částic je nízká, pak

{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))\gg [\mathbf {v} \times [\nabla \times \mathbf {A} ]],

a parciální derivace s ohledem na čas se prakticky shoduje s celkovým:

{\frac {d\mathbf {A} }{dt))={\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\ mathbf {A} \approx {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t)).

Celkem máme:

{\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=-q{\frac {d\mathbf {A} }{dt}}.

Postupem času integrujeme:

\mathbf {p} '-\mathbf {p} =-q(\mathbf {A} '-\mathbf {A} ).

A od té doby , co dostaneme ${\mathbf {A}}'=0$ $\Delta \mathbf {p} =q\mathbf {A} .$

Jednotky měření

V soustavě SI je jednotkou vektorového potenciálu weber na metr ( Wb/ m , rozměr - V s / m = kg m s −2 A −1 ) .

Viz také

Poznámky

↑ Feynman R., Layton R., Sands M. Feynman přednášky o fyzice. - M. : Mir, 1966. - T. 6. - 344 s.
↑ Feynman R., Hibs A. Kvantová mechanika a dráhové integrály. — M .: Mir, 1968. — 382 s.
↑ Aharonov, Y. a D. Bohm. Význam elektromagnetických potenciálů v kvantové teorii // Phys. Rev.. - 1959. - T. 115 .

Literatura

Landau L. D. , Lifshits E. M. Teorie pole. - (" Teoretická fyzika ", svazek II).
Saveljev I. V. Kurz fyziky. T.2. elektřina a magnetismus. Mávat. Optika - 1982. - 496 s.