Markovův moment

V matematice , teorie bodu zastavení nebo Markov čas souvisí s problémem načasování podniknout určitou akci, aby se maximalizovala očekávaná odměna nebo minimalizovaly očekávané náklady. Problém bodu zastavení lze nalézt v oblasti statistiky , ekonomie a finanční matematiky (spojené s americkým oceňováním opcí ) . Nejpozoruhodnějším příkladem souvisejícím s okamžikem zastavení je problém vybíravé nevěsty . Problém brzdného momentu lze často zapsat ve formě Bellmanovy rovnicea proto se často řeší pomocí dynamického programování .

Definice

Diskrétní případ

Problém okamžiku zastavení je zpravidla spojen se dvěma objekty:

Posloupnost náhodných proměnných, o jejichž společné distribuci se předpokládá, že je známá $X_{1},X_{2},\ldots$
Sekvence „odměňovacích“ funkcí , které závisí na pozorovaných hodnotách náhodných proměnných v 1.: ${\displaystyle (y_{i})_{i\geq 1))$ $y_{i}=y_{i}(x_{1},\ldots ,x_{i})$

Vzhledem k těmto objektům je problém následující:

Vy, sledující posloupnost náhodných proměnných, si u každé z nich můžete vybrat, zda přestanete pozorovat, nebo budete pokračovat $i$
Pokud přestanete sledovat , budete odměněni $i$ $y_{i}$
Chcete zvolit pravidlo zastavení, abyste maximalizovali očekávanou odměnu (nebo ekvivalentně minimalizovali očekávanou ztrátu)

Případ spojitého času

Uvažujme zesílení procesů definovaných na filtrovaném pravděpodobnostním prostoru a předpokládejme, že se jedná o adaptaci filtrování. Problém s časem zastavení je najít čas zastavení , který maximalizuje očekávaný zisk . ${\displaystyle G=(G_{t})_{t\geq 0))$ $(\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0},\mathbb {P} )$ $G$ $\tau ^{*}$

V_{t}^{T}=\mathbb {E} G_{\tau ^{*}}=\sup _{t\leq \tau \leq T}\mathbb {E} G_{\tau }

kde se nazývá hodnota funkce . Tady by mohlo záležet . ${\displaystyle V_{t}^{T))$ $T$ $\infty$

Konkrétnější znění je následující. Uvažujeme adaptovaný silný Markovův proces definovaný na filtrovaném pravděpodobnostním prostoru , kde označuje pravděpodobnost měření, kde náhodný proces začíná . Zohlednění spojitých funkcí a problém doby zastavení ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\geq 0))$ $(\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0},\mathbb {P} _{x})$ $\mathbb {P} _{x}$ $X$ $M,L$ $K$

V(x)=\sup _{0\leq \tau \leq T}\mathbb {E} _{x}\left(M(X_{\tau })+\int _{0}^{ \tau }L(X_{t})dt+\sup _{0\leq t\leq \tau }K(X_{t})\right).

To se někdy nazývá formulace MLS (Meyer, Lagrange a Supremum). [jeden]

Metody řešení

Existují dva přístupy k řešení problému bodu zastavení. Když je základní proces (nebo zesílení procesu) popsán jeho bezpodmínečnou konečnorozměrnou distribucí, pak vhodnou metodou řešení je Martingaleův přístup, tak pojmenovaný, protože používá Martingaleovu teorii , přičemž nejdůležitějším konceptem je Snellův vývoj . V diskrétním případě, pokud je plánovací horizont konečný, lze problém snadno vyřešit pomocí dynamického programování . $T$

Když je základní proces definován rodinou (podmíněných) přechodových funkcí vedoucích k Markovově rodině pravděpodobnostních přechodů, lze často použít výkonné analytické nástroje teorie Markovových procesů a tento přístup se nazývá Markovova metoda. Řešení se obvykle získá řešením souvisejících problémů s volnými hranicemi (Stefanovy problémy).

Výsledek difúze skoku

Nechť je Levyho difúze ze stochastické diferenciální rovnice $Y_{t}$ ${\mathbb {R}}^{k}$

dY_{t}=b(Y_{t})dt+\sigma (Y_{t})dB_{t}+\int _{\mathbb {R} ^{k))\gamma (Y_{t- },z){\bar {N}}(dt,dz),\quad Y_{0}=y

kde je -rozměrný Brownův pohyb , toto je -rozměrná kompenzovaná Poissonova náhodná míra, , a funguje tak, že existuje jedinečné řešení . Nechť je otevřená množina (oblast solventnosti) a $B$ $m$ ${\bar {N))$ $l$ ${\displaystyle b:\mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R} ^{k))$ ${\displaystyle \sigma :\mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R} ^{k\times m))$ ${\displaystyle \gamma :\mathbb {R} ^{k}\times \mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R} ^{k\times l))$ $(Y_{t})$ ${\mathcal {S}}\subset \mathbb {R} ^{k}$

\tau _{\mathcal {S}}=\inf\{t>0:Y_{t}\notin {\mathcal {S}}\}

doba bankrotu. Optimální problém zastavení:

V(y)=\sup _{\tau \leq \tau _{\mathcal {S))}J^{\tau }(y)=\sup _{\tau \leq \tau _{\ mathcal {S))}\mathbb {E} _{y}\left[M(Y_{\tau })+\int _{0}^{\tau }L(Y_{t})dt\vpravo].

Ukazuje se, že za určitých podmínek pravidelnosti [2] následující ověření věty obsahuje:

Pokud funkce vyhovuje $\phi :{\bar {\mathcal {S}}}\to \mathbb {R}$

$\phi \in C({\bar {\mathcal {S}}})\cap C^{1}({\mathcal {S}})\cap C^{2}({\mathcal {S }}\setminus \partial D)$ kde oblasti jsou pokračováním , $D=\{y\in {\mathcal {S}}:\phi (y)>M(y)\}$
$\phi \geq M$ na a ${\mathcal {S))$
${\mathcal {A}}\phi +L\leq 0$ na , odkud je nekonečně malý generátor ${\mathcal {S}}\setminus \partial D$ ${\mathcal {A}}$ $(Y_{t})$

pak pro všechny . Navíc pokud $\phi (y)\geq V(y)$ ${\displaystyle y\in {\bar {\mathcal {S))))$

${\mathcal {A}}\phi +L=0$ na $D$

Pak pro všechny a je čas zastavení $\phi (y)=V(y)$ ${\displaystyle y\in {\bar {\mathcal {S))))$ ${\displaystyle \tau ^{*}=\inf\{t>0:Y_{t}\notin D\))$

Tyto podmínky mohou být zapsány v kompaktnější podobě (integrovariační nerovnost):

$\max \left\{{\mathcal {A}}\phi +L,M-\phi \right\}=0$ na ${\mathcal {S}}\setminus \partial D.$

Příklady

Hod mincí

(Například tam, kde konverguje) $\mathbb {E} (y_{i})$

Máte minci a opakovaně s ní házíte. Pokaždé, než to hodíte, můžete přestat házet a dostat zaplaceno (řekněme v dolarech) za průměrný počet hlav, které vidíte.

Chcete maximální částku, kterou byste zaplatili výběrem pravidla zastavení. Jestliže x i (kde i ≥ 1) tvoří posloupnost nezávislých, identicky rozdělených náhodných proměnných s Bernoulliho rozdělením

{\text{Bern}}\left({\frac {1}{2}}\right),

a pokud

y_{i}={\frac {1}{i}}\sum _{k=1}^{i}X_{k}

pak v sekvenci budou objekty související s tímto problémem. ${\displaystyle (X_{i})_{i\geq 1))$ ${\displaystyle (y_{i})_{i\geq 1))$

Prodej domu

(Například tam, kde nemusí nutně konvergovat) $\mathbb {E} (y_{i})$

Máte dům a rádi byste ho prodali. Každý den vám bude nabídnuta nabídka pro váš domov a zaplatíte za pokračující reklamu. Pokud budete prodávat svůj dům denně , vyděláte kde . $X_n$ $k$ $n$ $y_{n}$ $y_{n}=(X_{n}-nk)$

Chcete maximalizovat částku, kterou vyděláte, výběrem pravidla zastavení.

V tomto příkladu je posloupnost ( ) posloupností nabídek pro váš dům a posloupnost „odměn“ funkce určuje, kolik vyděláte. $X_{i}$

Problém vybíravé nevěsty

(Například kde je konečná sekvence) $(X_{i})$

Pozorujete sled objektů, které lze seřadit od nejlepšího po nejhorší. Chcete si vybrat pravidlo zastavení, které maximalizuje vaše šance na výběr nejlepší funkce.

Například, pokud ( n je nějaké velké číslo, možná) jsou řady funkcí a toto je šance, že vyberete nejlepší vlastnost, pokud přestanete záměrně odmítat funkce v kroku i, pak to jsou sekvence spojené s tímto problém. Tento problém řešilo na počátku 60. let několik lidí. Elegantní řešení sekretářského problému a několik modifikací tohoto problému poskytuje modernější optimální zastavovací algoritmus (Bruceův algoritmus). ${\displaystyle R_{1},\ldots ,R_{n))$ $y_{i}$ $(R_{i})$ $(y_{i})$

Teorie vyhledávání

Ekonomové studovali řadu problémů s optimálním časem zastavení podobných „problému tajemníka“ a běžně označují tento typ analýzy jako „teorii hledání“. Teorie vyhledávání se zaměřuje zejména na to, jak zaměstnanci hledají vysoce placenou práci nebo spotřebitelé hledají levný produkt.

Obchodování s opcemi

Při obchodování opcí na finančních trzích může držitel americké opce uplatnit právo na nákup (nebo prodej) podkladového aktiva za stanovenou cenu kdykoli před nebo při vypršení platnosti. Oceňování amerických opcí je tedy v podstatě optimálním problémem zastavení. Zvažte klasický Black-Scholesův model a nechejte být bezrizikovou úrokovou sazbou a dividendovou sazbou a volatilitou akcií. Cena akcie sleduje geometrický Brownův pohyb $r$ $\delta$ $\sigma$ $S$

S_{t}=S_{0}\exp \left\{\left(r-\delta -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma B_{t }\že jo\}

Podle míry rizika.

Když je parametr nekonečný, problém optimálního zastavení

V(x)=\sup _{\tau }\mathbb {E} _{x}\left[e^{-r\tau }g(S_{\tau })\right]

kde je výplatní funkce pro call opci a pro sázkovou opci. Variační nerovnost ${\displaystyle g(x)=(xK)^{+))$ ${\displaystyle g(x)=(Kx)^{+))$

\max \left\{{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}x^{2}V''(x)+(r-\delta )xV'(x)-rV (x),g(x)-V(x)\vpravo\}=0

pro všechny , kde je to hranice fyzického cvičení. Řešení je známé [3] ${\displaystyle x\in (0,\infty )\setminus \{b\))$ $b$

(Nekonečná výzva) kde a $V(x)={\begin{cases}(bK)(x/b)^{\gamma }&x\in (0,b)\\xK&x\in [b,\infty )\end{cases }}$ $\gamma =({\sqrt {\nu ^{2}+2r))-\nu )/\sigma$ $\nu =(r-\delta )/\sigma -\sigma /2,\quad b=\gamma K/(\gamma -1).$
(Nekonečná míra) kde a $V(x)={\begin{cases}Kx&x\in (0,c]\\(Kc)(x/c)^{\tilde {\gamma }}&x\in (c,\infty ) \end{cases}}$ ${\tilde {\gamma }}=-({\sqrt {\nu ^{2}+2r}}+\nu )/\sigma$ $\nu =(r-\delta )/\sigma -\sigma /2,\quad c={\tilde {\gamma }}K/({\tilde {\gamma }}-1).$

Na druhé straně, když je časový limit konečný, problém souvisí s dvourozměrným problémem volných hranic bez známého řešení v uzavřené formě. Lze však použít různé numerické metody. Viz Black-Scholes Model#American Options pro různé oceňovací metody zde a Fugit pro diskrétní strom na základě optimální doby pro trénování výpočtu.

Viz také

Stochastické ovládání
Markovův rozhodovací proces

Odkazy

↑ Peskir, Goran; Širjajev, AlbertProblémy optimálního zastavení a volných hranic (nespecifikováno) . - 2006. - T. Přednášky z matematiky. ETH Zürich . - ISBN 978-3-7643-2419-3 . - doi : 10.1007/978-3-7643-7390-0 .
↑ Øksendal, B.; Sulem, AS Aplikovaná stochastická kontrola skokových difuzí (neopr.) . - 2007. - ISBN 978-3-540-69825-8 . - doi : 10.1007/978-3-540-69826-5 .
↑ Karatzas, Ioannis; Shreve, Steven E.Metody matematických financí (neurčité) . - 1998. - T. 39 . - ISBN 978-0-387-94839-3 . - doi : 10.1007/b98840 .