Markovský okamžik času

Markovův moment času (v teorii náhodných procesů ) je náhodná proměnná, která nezávisí na budoucnosti uvažovaného náhodného procesu .

Samostatný případ

Nechť je dána posloupnost náhodných proměnných . Pak se náhodná veličina nazývá Markovův moment (času), pokud pro jakoukoli událost závisí pouze na náhodných veličinách . $\{Y_{n}\}_{{n\geq 0}}$ $\tau$ $n\geq 0$ $\{\tau \leq n\}$ $Y_{0},\ldots ,Y_{n}$

Příklad

Nechť je posloupnost nezávislých normálních náhodných veličin. Nechte , a $\{Y_{n}\}_{{n\geq 0}}$ $L\in {\mathbb {R}}$

\tau =\inf\{n\geq 0\mid Y_{n}\geq L\}

je okamžik, kdy proces poprvé dosáhne úrovně . Pak je tu Markovův moment, protože tehdy a jen tehdy, když existuje taková, že . Událost tedy závisí pouze na chování procesu až do okamžiku . $\{Y_{n}\}$ $L$ $\tau$ $\tau \leq n$ $i\in {\mathbb {N)),\;0\leq i\leq n$ $Y_{i}\geq L$ $\{\tau \leq n\}$ $n$

Nechte teď

\sigma =\sup\{n\geq 0\mid Y_{n}\geq L\}

je okamžik, kdy proces naposledy dosáhl úrovně . Pak to není Markovův moment, protože událost implikuje znalost chování procesu v budoucnosti. $\{Y_{n}\}$ $L$ $\sigma$ $\{\sigma \leq n\}$

Obecný případ

Nechť je dán pravděpodobnostní prostor s filtrováním , kde . Pak se náhodná veličina nabývající hodnot v nazývá Markovův moment vzhledem k dané filtraci, pokud . $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $\{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\in T}$ $T\subset [0,\infty )$ $\tau$ $T\cup \{\infty \}$ $\{\tau \leq t\}\in {\mathcal {F}}_{t},\quad \forall t\in T$

Daný proces , a jsou jeho přirozené σ-algebry, pak říkáme, že je to Markovův moment vzhledem k procesu . $\{X_{t}\}_{t\in T}$ ${\mathcal {F}}_{t}=\sigma (X_{s}\mid s\leq t)$ $\tau$ $\{X_{t}\}$