Metalogic

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 10. listopadu 2021; kontroly vyžadují 5 úprav .

Metalogics  je studie o metateorii logiky . Zatímco logika je studiem způsobů, jakými se logické systémy používají k uvažování, dokazování a vyvracení, metalogika je studiem vlastností samotných logických systémů.

Výzkumná oblast metalogiky zahrnuje: formální jazyky , formální systémy a jejich interpretace . Studium výkladu formálních systémů je odvětví matematické logiky známé jako teorie modelů , studium deduktivního aparátu formálního systému je odvětvím teorie důkazů .

Samostatné otázky metalogiky byly známy již od dob Aristotela , ale až s příchodem formálních jazyků na konci 19. a počátku 20. století. studium základů logiky se stalo vzkvétajícím trendem. V dnešní době jsou metalogika a metamatematika často považovány za synonyma a studují se v akademickém vzdělávání v rámci matematické logiky.

Přehled

Formální jazyk

Formální jazyk (FL) je organizovaný soubor prvků, jejichž hlavním rysem je, že je lze přesně definovat z hlediska jejich formy a umístění (výskytu). V tomto případě je jazyk přístupný definici, aniž by se musel uchylovat ke smysluplným významům jeho výrazů, to znamená, že jej lze opravit dříve, než je mu přiřazena jakákoli interpretace (určitý význam je definován). Logika prvního řádu je vyjádřitelná v takovém formálním jazyce. Formální gramatika definuje, které prvky a posloupnosti prvků jsou formulemi daného jazyka.

Formální jazyk lze definovat jako množinu A řetězců (konečných posloupností) symbolů nějaké pevné abecedy O+. Někteří autoři, včetně Carnapa, definují jazyk jako uspořádaný pár. Carnap vyžaduje, aby se každý znak z O+ vyskytoval v A alespoň v jednom řádku.

Pravidla formace

Pravidla formování (také nazývaná formální gramatika) jsou přesným popisem dobře vytvořených řetězců formálního jazyka. Tato pravidla definují sadu řádků v abecedě, která se skládá z dobře vytvořených vzorců (ppf). Pravidla však nepopisují sémantiku vzorců (co znamenají).

Formální systémy

Formální systém (také nazývaný logický kalkul nebo logický systém) se skládá z formálního jazyka spolu s deduktivním aparátem (deduktivním systémem). Deduktivní aparát se může skládat z transformačních pravidel (také nazývaných inferenční pravidla) nebo souboru axiomů, ale může zahrnovat obojí. Formální systém se používá k odvození nějakého výrazu z (jednoho nebo více) jiných výrazů.

Formální systém lze také definovat jako uspořádanou trojici, kde d je poměr přímé odvoditelnosti. Tento vztah je chápán v tom smyslu, že elementární (počáteční, atomické) věty formálního systému jsou brány jako přímo odvoditelné z prázdné množiny vět. Okamžitá odvoditelnost je vztah mezi větou a konečnou, případně prázdnou množinou vět. Axiomy jsou psány tak, že každá první složka vztahu d je věta (vzorec) a každá druhá složka je konečná (pod)množina vět.

Formální systém je možné definovat pouze pomocí vztahu d. Tímto způsobem můžeme v definicích interpretovaného formálního jazyka a formálního systému vynechat O±. Tato metoda je ale asi složitější na pochopení a práci s ní. [3]

Formální důkazy

Formální důkaz je posloupnost dobře vytvořených PhYa vzorců, z nichž poslední je považován za formální systémový teorém. Věta je syntaktickým důsledkem všech předchozích a.p.f. tento důkaz. Aby bylo možné kvalifikovat p.p.f. jako součást důkazu, musí být výsledkem aplikace nějakého pravidla deduktivního aparátu na předchozí p.p.f. důkaz.

Výklady

Interpretace formálního systému spočívá v přiřazování hodnot k symbolům a pravdivostních hodnot k větám formálního systému. Formální sémantika se zabývá studiem interpretací. Sestavení interpretace je blízké procesu budování modelu.

Důležité rozdíly v metalogii

Metajazyk - jazyk-objekt

V metalogii se formální jazyky někdy nazývají objektové jazyky. Jazyk používaný k prohlášení o objektových jazycích se nazývá metajazyk. Toto je klíčový rozdíl mezi logikou a metalogikou. Zatímco logika se zabývá důkazy ve formálním systému, vyjádřeném v některých FL, metalogika se zabývá důkazy o formálním systému, které jsou vyjádřeny v metajazyku nějakého objektového jazyka.

Syntaxe - sémantika

V metalogii „syntaxe“ uvažuje FL nebo formální systémy bez zohlednění jejich interpretace, zatímco „sémantika“ je spojena s interpretacemi FL. Termín „syntaktický“ pokrývá poněkud širší kontext než termín „důkaz teoretický“, protože jej lze aplikovat na vlastnosti FL bez ohledu na jakýkoli deduktivní systém, stejně jako na formální systémy. „Sémantický“ je synonymem termínu „teoretika modelu“.

Použití - zmínit

V metalogii slova „použít“ a „zmínit“ – ve formách podstatného jména a slovesa – identifikují důležitý rozdíl, jmenovitě rozdíl mezi použitím slova (nebo fráze) a jeho zmínkou. Obvykle se používají uvozovky, kurzíva nebo zápis výrazu na samostatný řádek k označení, že výraz je zmíněn a není použit. Použití uvozovek nám dává název (titul) výrazu, například: "Metalogic" je název tohoto článku. Tento článek je o metalogic.

Typ - Značka

Rozlišení typ-značka odděluje abstraktní pojem od objektů, které jsou speciálními případy (příklady, instance) tohoto pojmu. Například konkrétní kolo ve vaší garáži je speciální případ (instance) typu entity známého jako „kolo“. Vezměte v úvahu, že kolo ve vaší garáži je v určitou dobu na konkrétním místě a tyto okolnosti neplatí pro „kolo“ ve větě: „kolo se v poslední době stalo populárnějším“. Toto rozlišení se používá k objasnění významů symbolů FY.

Historie

Otázky metalogického zaměření vyvstaly již v době Aristotela . Teprve s příchodem FL na konci 19. a na počátku 20. století se však začal rozšiřovat výzkum základů logiky. V roce 1904 D. Hilbert poznamenal, že při výzkumu základů matematiky se v podstatě používají logické pojmy, a proto je vyžadováno současné koordinované zvažování metalogických a metamatematických principů. V moderním zpracování se metalogika a metamatematika do značné míry překrývají a obě tyto disciplíny významně souvisejí s matematickou logikou .

Výsledky získané v metalogic

Výsledky metalogiky se z velké části skládají z formálních důkazů demonstrujících konzistenci, úplnost a rozhoditelnost konkrétních formálních systémů. Mezi hlavní výsledky metalogiky patří:

Literatura

  Přejděte na položku Wikidata  Slovníky a encyklopedie