Metrický strom

Metrický strom (nebo -strom) je určitý typ metrických prostorů . Jsou to nejjednodušší příklady hyperbolických prostorů ve smyslu Gromova ; mohou být definovány jako 0-hyperbolické prostory ve smyslu Gromova , tj. všechny jejich trojúhelníky jsou tenké nula . $\mathbb {R}$

Vznikají přirozeně v teorii geometrických grup a teorii pravděpodobnosti .

Definice

Geodetický prostor je metrický strom, pokud se jedná o prostor, kde je každý trojúhelník trojnožkou; jinými slovy, pokud pro každý trojúhelník existuje bod ležící na všech třech geodeskách . $X$ $[xyz]$ $p$ $[xy],[yz],[zx]$

Vlastnosti

Geodetický prostor je metrický strom právě tehdy, když pro libovolné čtyři body platí následující nerovnost: $X$ $p,q,x,y\in X$ $|pq|_{X}+|xy|_{X}\leqslant \max\{\,|px|_{X}+|qy|_{X},|py|_{X}+ |qx|_{X}\,\},$

kde označuje vzdálenost mezi body a v metrickém prostoru .

|pq|_{X}

p

q

X

Jestliže je posloupnost -hyperbolických prostorů a for , pak je ultralimit metrický strom. $X_n$ $\delta _{n}$ $\delta _{n}\to 0$ $n\to\infty$ $X_n$
- Konkrétně kužel v nekonečnu -hyperbolického prostoru je metrický strom. $\delta$

Příklady

Pokud je graf s kombinatorickou metrikou, pak je to metrický strom právě tehdy, když je graf strom ( tj. nemá žádné cykly). $X$ $X$
Skutečná čára, jejíž každý bod je přilepen podél skutečné čáry.