Vícenásobný korelační koeficient

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 23. března 2019; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Vícenásobný korelační koeficient - Charakterizuje těsnost lineární korelace mezi jednou náhodnou veličinou a nějakou množinou náhodných veličin. Přesněji, jestliže (ξ 1 ,ξ 2 ,...,ξ k ) je náhodný vektor z R k , pak je koeficient vícenásobné korelace mezi ξ 1 a ξ 2 ,...,ξ k číselně roven páru lineární korelační koeficient mezi hodnotou ξ 1 a její nejlepší lineární aproximací v proměnných ξ 2 ...,ξ k , což je lineární regrese ξ 1 na ξ 2 ,...,ξ k . $\rho _{\xi _{1}\bullet \xi _{2},\ldots ,\xi _{k))$ $M(\xi _{1}|\xi _{2},\ldots ,\xi _{k})$

Vlastnosti

Vícenásobný korelační koeficient má vlastnost, že za podmínky

$M\xi _{1}=M\xi _{2}=\ldots =M\xi _{k}=0$ kdy je regrese ξ 1 na ξ 2 ,...,ξ k , $\xi _{1}^{*}=\beta _{2}\xi _{2}+\beta _{3}\xi _{3}+\cdots +\beta _{k}\ xi _{k}$

ze všech lineárních kombinací proměnných ξ 2 ,...,ξ k bude mít proměnná ξ 1 maximální korelační koeficient s ξ 1 * , který se shoduje s . V tomto smyslu je vícenásobný korelační koeficient speciálním případem kanonického korelačního koeficientu . Při k = 2 se vícenásobný korelační koeficient v absolutní hodnotě shoduje s párovým lineárním korelačním koeficientem ρ 12 mezi ξ 1 a ξ 2 . $\rho _{\xi _{1}\bullet \xi _{2},\ldots ,\xi _{k))$

Výpočet

Vícenásobný korelační koeficient se vypočítá pomocí korelační matice podle vzorce $\mathbf {R} =\left\{\rho _{i,j}\right\},i,j=1,\ldots ,k$

$\rho _{\xi _{1}\bullet \xi _{2},\ldots ,\xi _{k))^{2}=1-{\frac {\left\vert R\right \vert }{R_{11}}}$ ,

kde je determinant korelační matice a je algebraický doplněk prvku ρ 11 = 1 ; zde . Jestliže , pak s pravděpodobností 1 se hodnoty ξ 1 shodují s lineární kombinací ξ 2 ,...,ξ k , proto společné rozdělení ξ 1 ,ξ 2 ,...,ξ k leží na nadrovině v prostor R k . Na druhou stranu pro všechny párové korelační koeficienty jsou ρ 12 = ρ 13 = ... = ρ 1k = 0 rovny nule, proto hodnoty ξ 1 nekorelují s hodnotami ξ 2 , ...,ξ k . Opak je také pravdou. Vícenásobný korelační koeficient lze také vypočítat pomocí vzorce $\left\vert R\right\vert$ $R_{11}$ $0\leqslant \rho _{\xi _{1}\bullet \xi _{2},\ldots ,\xi _{k))\leqslant 1$ $\rho _{\xi _{1}\bullet \xi _{2},\ldots ,\xi _{k))=1$ $\rho _{\xi _{1}\bullet \xi _{2},\ldots ,\xi _{k))=0$

$\rho _{\xi _{1}\bullet \xi _{2},\ldots ,\xi _{k))^{2}=1-{\frac {\sigma _{\xi _ {1}\bullet \xi _{2},\ldots ,\xi _{k}}^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}$ ,

kde je rozptyl ξ 1 a je rozptyl ξ 1 vzhledem k regresi. $\sigma _{1}^{2}$ $\sigma _{\xi _{1}\bullet \xi _{2},\ldots ,\xi _{k))^{2}=M(\xi _{1}-(\beta _ {2}\xi _{2}+\beta _{3}\xi _{3}+\cdots +\beta _{k}\xi _{k}))^{2}$

Vzorový vícenásobný korelační koeficient

Vzorovou obdobou vícenásobného korelačního koeficientu je hodnota , kde a jsou odhady pro a získané ze vzorku o velikosti n . Rozdělení statistiky se používá k testování nulové hypotézy o žádném vztahu . Za předpokladu, že je vzorek odebrán z vícerozměrného normálního rozdělení , bude mít hodnota rozdělení beta s parametry if . Pro případ je typ rozvodu znám, ale pro svou těžkopádnost se prakticky nepoužívá. $r_{1\bullet 2,\ldots ,k}={\sqrt {1-{\frac {s_{1\bullet 2,\ldots ,k}^{2}}{s_{1}^{ 2}}}}}$ ${\displaystyle s_{1\bullet 2,\ldots ,k}^{2))$ $s_{1}^{2}$ $\sigma _{\xi _{1}\bullet \xi _{2},\ldots ,\xi _{k}}^{2}$ $\sigma _{1}^{2}$ ${\displaystyle r_{1\bullet 2,\ldots ,k))$ ${\displaystyle r_{1\bullet 2,\ldots ,k}^{2))$ ${\frac {k-1}{2)),{\frac {nk}{2))$ $\rho _{\xi _{1}\bullet \xi _{2},\ldots ,\xi _{k))=0$ $\rho _{\xi _{1}\bullet \xi _{2},\ldots ,\xi _{k))\neq 0$ ${\displaystyle r_{1\bullet 2,\ldots ,k}^{2))$

Viz také

Koeficient determinace

Literatura

Kramer G. Matematické metody statistiky, přel. z angličtiny, 2. vyd., M., 1975;
Kendall M., Steward A. , Statistical Inference and Relationships, přel. z angličtiny, M., 1973.