Autoregresivní model – klouzavý průměr

Autoregresivní model klouzavého průměru (ARMA ) je jedním z matematických modelů používaných k analýze a predikci stacionárních časových řad ve statistice . Model ARMA zobecňuje dva jednodušší modely časových řad – autoregresní (AR) model a model klouzavého průměru (MA).

Definice

Model ARMA( p , q ), kde p a q jsou celá čísla určující pořadí modelu, je následující proces generování časové řady : $\{X_{t}\}$

X_{t}=c+\varepsilon _{t}+\součet _{i=1}^{p}\alpha _{i}X_{ti}+\součet _{i=1}^{q }\beta _{i}\varepsilon _{ti}

kde je konstanta, je bílý šum , to je posloupnost nezávislých a identicky distribuovaných náhodných proměnných (obvykle normálních ), s nulovým průměrem, a jsou reálná čísla , autoregresivní koeficienty a koeficienty klouzavého průměru, v tomto pořadí. $C$ $\{\varepsilon _{t}\}$ $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{p}$ $\beta _{1},\ldots ,\beta _{q}$

Takový model lze interpretovat jako lineární vícenásobný regresní model , ve kterém jsou vysvětlující proměnné minulé hodnoty samotné závislé proměnné a klouzavé průměry prvků bílého šumu se používají jako regresní reziduum . ARMA procesy mají složitější strukturu ve srovnání s podobnými AR nebo MA procesy v jejich čisté formě, ale ARMA procesy se vyznačují menším počtem parametrů, což je jedna z jejich výhod [1] .

Zastoupení operátora. Stacionarita a kořeny jednotek

Zavedeme-li v úvahu operátor zpoždění , pak lze model ARMA napsat následovně $L:~Lx_{t}=x_{{t-1}}$

X_{t}=c+(\součet _{{i=1}}^{p}\alpha _{i}L^{i})X_{t}+(1+\součet _{{i=1} }^{q}\beta _{i}L^{i})\varepsilon _{t}

nebo posunutím autoregresivní části na levou stranu rovnosti:

(1-\součet _{{i=1}}^{p}\alpha _{i}L^{i})X_{t}=c+(1+\součet _{{i=1}}^{ q}\beta _{i}L^{i})\varepsilon _{t}

Zavedením zkrácené notace pro polynomy levé a pravé části můžeme konečně napsat:

\alpha (L)X_{t}=c+\beta (L)\varepsilon _{t}

Aby byl proces stacionární, je nutné, aby kořeny charakteristického polynomu autoregresní části ležely mimo jednotkovou kružnici v komplexní rovině (v absolutní hodnotě musí být striktně větší než jednota). Stacionární ARMA proces může být reprezentován jako nekonečný MA proces: $\alpha (z)$

X_{t}=\alpha ^{{-1}}(L)c+\alpha ^{{-1}}(L)\beta (L)\varepsilon _{t}=c/a(1)+\ součet _{{i=0}}^{{\infty }}c_{i}\varepsilon _{{ti}}

Například proces ARMA(1,0)=AR(1) může být reprezentován jako MA proces nekonečného řádu s koeficienty klesající geometrické progrese :

X_{t}=c/(1-a)+\součet _{{i=0}}^{{\infty }}a^{i}\varepsilon _{{ti}}

Procesy ARMA lze tedy považovat za procesy MA nekonečného řádu s určitými omezeními na strukturu koeficientů. S malým počtem parametrů umožňují popsat procesy dosti složité struktury. Všechny stacionární procesy lze ARMA modelem určitého řádu libovolně aproximovat s výrazně menším počtem parametrů než pouze při použití MA modelů.

Nestacionární (integrovaná) ARMA

V přítomnosti jednotkových kořenů autoregresního polynomu je proces nestacionární. S kořeny menšími než jeden se v praxi neuvažuje, protože se jedná o procesy výbušné povahy. Pro kontrolu stacionarity časových řad je tedy jedním ze základních testů testy na jednotkové kořeny . Pokud testy potvrdí přítomnost jednotkového kořene, pak se analyzují rozdíly v původní časové řadě a sestaví se ARMA model pro stacionární proces rozdílů určitého řádu (obvykle stačí první řád, někdy druhý). Takové modely se nazývají modely ARIMA (integrované ARMA) nebo modely Box-Jenkins. Model ARIMA(p, d, q), kde d je řád integrace (řád rozdílů v původní časové řadě), p a q jsou řády AR a MA částí procesu ARMA rozdílů d-tý řád, lze zapsat v následujícím tvaru operátora

\alpha (L)\vartriangle ^{d}X_{t}=c+\beta (L)\varepsilon _{t}~,~~~\vartriangle =1-L

Proces ARIMA(p, d, q) je ekvivalentní procesu ARMA(p+d, q) s d jednotkových kořenů.

Stavba modelu

Pro sestavení modelu ARMA založeného na sérii pozorování je nutné určit pořadí modelu (čísla p a q ) a poté samotné koeficienty. Pro určení řádu modelu lze využít studium takových charakteristik časové řady, jako je její autokorelační funkce a parciální autokorelační funkce . K určení koeficientů se používají metody jako metoda nejmenších čtverců a metoda maximální věrohodnosti .

Modely ARMAX

Ke klasickým modelům ARMA lze přidat některé exogenní x faktory. Navíc v obecném případě model zahrnuje nejen aktuální hodnoty těchto faktorů, ale také hodnoty zpoždění. Takové modely se běžně označují jako ARMAX(p, q, k), kde k je počet zpoždění exogenních faktorů. Ve formě operátora mohou být takové modely zapsány následovně (jeden exogenní faktor)

$a(L)y_{t}=c+b(L)\varepsilon _{t}+d(L)x_{t}$

kde a(L), b(L), d(L) jsou polynomy řádu p, q, k v operátoru zpoždění.

Takové modely lze interpretovat odlišně jako modely ADL(p, k) s náhodnými chybami MA(q).

Viz také

Poznámky

↑ Dubrova T.A. . - Moskva: UNITY-DANA, 2003. - ISBN 5-238-00497-4 .