Vícepólový

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 11. listopadu 2016; kontroly vyžadují 24 úprav .

Multipóly (z latinského multum - mnoho a řeckého πόλος - pól) - určité konfigurace bodových zdrojů ( nábojů ). Nejjednodušší příklady multipólu jsou bodový náboj, multipól nultého řádu; dva náboje opačné ve znaménku, stejné v absolutní hodnotě - dipól , nebo multipól 1. řádu; 4 náboje stejné absolutní velikosti umístěné ve vrcholech rovnoběžníku tak, že každá jeho strana spojuje náboje opačného znaménka (nebo dva stejné, ale opačně orientované dipóly) - kvadrupól nebo multipól 2. řádu. Název multipól obsahuje označení pro počet nábojů (v latině), které tvoří multipól, např.oktopól (octu - 8) znamená, že složení multipólu zahrnuje 8 nábojů [1] .

Výběr takových konfigurací je spojen s rozšiřováním pole [2] od složitých, prostorově omezených systémů polních zdrojů (včetně případu kontinuální distribuce zdrojů) do multipolí - tzv. 'multipólová expanze' [3 ] .

Pole může znamenat elektrostatické nebo magnetostatické pole, stejně jako pole jim podobná (například Newtonovo gravitační pole) [4] .

Takový rozklad lze často použít pro přibližný popis pole ze složité soustavy zdrojů ve velké (mnohem větší, než je velikost tohoto systému samotného) od něj; v tomto případě je důležité, že vícepólové pole každého dalšího řádu klesá se vzdáleností mnohem rychleji než předchozí, takže se často můžete omezit na několik (v závislosti na vzdálenosti a požadované přesnosti) členů (nižších řádů). ) vícepólové rozšíření. V jiném případě se z různých důvodů ukazuje vícepólové rozšíření jako výhodné i při sečtení všech řádů (pak jde o nekonečnou řadu); v tomto případě dává přesné vyjádření pole nejen obecně, ale v zásadě v jakékoli vzdálenosti od soustavy zdrojů (s výjimkou jejích vnitřních oblastí).

Kromě statických (nebo přibližně statických) polí se v souvislosti s vícepólovými momenty často hovoří o vícepólovém záření - záření uvažovaném jako v důsledku změny času vícepólových momentů systému emitoru. Tento případ se liší tím, že v něm pole různých řádů klesají stejně rychle se vzdáleností, liší se v závislosti na úhlu.

Vícepólové rozšíření skalárního pole

Systém bodových poplatků v klidu

Elektrostatický potenciál soustavy nábojů v bodě $\mathbf {R}$

\varphi ({\mathbf {R}})=\sum \limits _{i}{\frac {q_{i}}{|{\mathbf {R}}-{\mathbf {r}}_{i} |}},

kde jsou nálože a jsou jejich souřadnice. Rozšiřujeme tento potenciál do Taylorovy řady , dostáváme $Qi}$ ${\mathbf {r}}_{i}$

\varphi ({\mathbf {R)))=\sum \limits _{{l=0}}^{{\infty }}\varphi ^{{(l)))({\mathbf {R}}) ,

tzv. multipólové rozšíření , kde je zavedena notace

\varphi ^{(l)}(\mathbf {R} )={\frac {(-1)^{l}}{l!}}\sum \limits _{i}q_{i}\ součet \limits _{\alpha _{1}\ldots \alpha _{l}}r_{i}^{\alpha _{1}}\tečky r_{i}^{\alpha _{l}}{\ frac {\částečné ^{l)){\částečné R^{\alpha _{1))\tečky \částečné R^{\alpha _{l))))\left({\frac {1}{R} }\že jo)

-potenciály pole se nazývají řádem členu vícepólové expanze. Termín 0. řádu má tvar $2^l$ $l$

\varphi ^{{(0)}}({\mathbf {R}})={\frac {\sum \limits _{i}q_{i}}{R}},

který se shoduje s potenciálem bodového náboje (potenciál monopolu). Termín 1. řádu je roven $Q=\součet \limits _{i}q_{i}$

\varphi ^{{(1)}}({\mathbf {R}})={\frac {\left(\sum \limits _{i}q_{i}{\mathbf {r}}_{i} \right){\mathbf {n}}}{R^{2}}},

kde je jednotkový vektor nasměrovaný podél . Zavedeme-li dipólový moment soustavy nábojů jako , pak se soustava bude shodovat s potenciálem bodového dipólu . Potenciál v 1. řádu expanze v multipólech má tedy tvar ${\mathbf {n}}={\mathbf {R}}/R$ $\mathbf {R}$ ${\mathbf {d}}=\součet \limits _{i}q_{i}{\mathbf {r}}_{i}$ $\varphi ^{{(1)}}({\mathbf {R}})$

\varphi ({\mathbf {R)))={\frac {q}{R}}+{\frac ({\mathbf {d}}{\mathbf {n}}}{R^{2}}} +O\left({\frac {1}{R^{3}}}\right).

Jestliže , pak dipólový moment nezávisí na volbě počátku. Pokud , pak můžete zvolit souřadnicový systém se středem v bodě , pak se dipólový moment rovná nule. Takový systém se nazývá systém nabíjecího centra. Další expanzní člen má tvar $q=0$ $q\neq 0$ ${\mathbf {R}}_{0}={\mathbf {d}}/q$

\varphi ^{{(2)}}({\mathbf {R}})={\frac {D^{{\alpha _{1}\alpha _{2}}}n_{{\alpha _{1 ))}n_{{\alpha _{2}}}}{2R^{3}}},

kde je kvadrupólový moment soustavy nábojů. Představme si matici kvadrupólových momentů . Pak nabývá tvar potenciál ve 2. řádu expanze v multipólech $D^{{\alpha _{1}\alpha _{2}}}=\součet \limits _{i}q_{i}(3r_{i}^{{\alpha _{1}}}r_{i }^{{\alpha _{2}}}-\delta ^{{\alpha _{1}\alpha _{2}}}{\mathbf {r}}_{i}^{2})$ $D$

\varphi ({\mathbf {R)))={\frac {q}{R}}+{\frac ({\mathbf {d}}{\mathbf {n}}}{R^{2}}} +{\frac {{\mathbf {n}}D{\mathbf {n}}}{2R^{3}}}+O\left({\frac {1}{R^{4}}}\right ).

Matrice je bez stopy , to znamená . Navíc je symetrický , tedy . Proto jej lze zmenšit na diagonální tvar otáčením os kartézských souřadnic. $D$ ${\mathrm {tr}}D=0$ $D^{T}=D$

V obecném případě lze příspěvek třetího řádu k potenciálu reprezentovat jako: $l$

\varphi ^{(l)}(\mathbf {R} )={\frac {d^{\alpha _{1}\dots \alpha _{l}}n_{\alpha _{1}} \dots n_{\alpha _{l}}}{l!R^{l+1}}},

kde je moment pole soustavy nábojů, což je neredukovatelný tenzor t. řádu. Tento tenzor je symetrický vzhledem k jakémukoli páru indexů a zmizí, když je přeložen přes jakýkoli pár indexů. $d^{{\alpha _{1}\tečky \alpha _{l))}$ $2^l$ $l$

Systém distribuovaného poplatku

Pokud je náboj distribuován s určitou hustotou , pak přechodem na spojitou mez (nebo přímo odvozenou z původních vzorců) ve vzorcích pro diskrétní rozdělení, lze i v tomto případě získat vícepólovou expanzi: $\rho ({\mathbf {r}})$

\varphi ({\mathbf {R)))=\int \limits _{{(V)}}{\frac {\rho ({\mathbf {r}})}{|{\mathbf {R}}- {\mathbf {r}}|}}d^{3}{\mathbf {r}},

kde je objem, ve kterém se nachází distribuovaný náboj. Potom mají vícepólové momenty tvar: $PROTI$

q=\int \limits _{{(V)}}\rho ({\mathbf {r}})d^{3}{\mathbf {r}},

{\mathbf {d}}=\int \limits _{{(V)))\rho ({\mathbf {r}}){\mathbf {r}}d^{3}{\mathbf {r}} ,

D^{{\alpha _{1}\alpha _{2}}}=\int \limits _{{(V)))\rho ({\mathbf {r)))(3r^{{\alpha _ {1}}}r^{{\alpha _{2}}}-\delta ^{{\alpha _{1}\alpha _{2}}}{\mathbf {r}}^{2})d ^{3}{\mathbf {r}}

Vzorce pro vícepólové potenciály zůstávají nezměněny. Případ diskrétního systému nábojů lze získat dosazením jejich distribuční hustoty, kterou lze vyjádřit pomocí δ-funkcí :

\rho ({\mathbf {r}})=\součet _{i}q_{i}\delta ({\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}_{i}).

Při výpočtu potenciálu je užitečný vzorec , kde jsou Legendreovy polynomy , . [5] ${\frac {1}{|Rr|}}={\frac {1}{R}}\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)\left({ \frac {r}{R}}\right)^{n}$ $P_{{n}}(x)$ $x=\cos \theta$

Vícepólová expanze síly elektrostatického pole

Síla elektrostatického pole soustavy nábojů je rovna gradientu elektrostatického potenciálu, braný s opačným znaménkem

{\mathbf {E}} ({\mathbf {R}})=-\nabla \varphi ({\mathbf {R}}).

Dosadíme-li do tohoto vzorce sílu vícepólového rozšíření potenciálu, získáme vícepólové rozšíření síly elektrostatického pole

{\mathbf {E}}({\mathbf {R}})=\sum \limits _{{l=0}}^({\infty }}{\mathbf {E}}^{{(l)} }({\mathbf {R}}),

kde

(\mathbf {E} ^{(l)}(\mathbf {R} ))_{\alpha _{0}}={\frac {(-1)^{l+1}}{l !}}\součet \limits _{i}q_{i}r_{i}^{\alpha _{1}}\tečky r_{i}^{\alpha _{n}}{\frac {\částečné ^ {l+1}}{\částečné R_{i}^{\alpha _{0}}\částečné R_{i}^{\alpha _{1}}\tečky \částečné R_{i}^{\alpha _ {n}}}}\left({\frac {1}{R}}\right)

- elektrické pole - pole. $2^l$

Pole bodového náboje (monopolu) má zejména tvar:

{\mathbf {E}}^{{(0)))({\mathbf {R}})={\frac {Q}{R^{2}}}{\mathbf {n}},

což odpovídá Coulombovu zákonu .

Pole bodového dipólu:

{\mathbf {E}}^{{(1)}}({\mathbf {R}})={\frac {3({\mathbf {n}}{\mathbf {d}}){\mathbf { n}}-{\mathbf {d}}}{R^{3}}}.

Pole bodového kvadrupólu:

{\mathbf {E}}^{{(2)))({\mathbf {R}})={\frac {5{\mathbf {n}}({\mathbf {n}}D{\mathbf { n)))-2D{\mathbf {n}}}{2R^{4}}}.

Elektrické pole soustavy klidových nábojů ve 2. řádu vícepólové expanze má tedy tvar:

{\mathbf {E}}({\mathbf {R}})={\frac {Q}{R^{2}}}{\mathbf {n}}+{\frac {3({\mathbf {n }}{\mathbf {d}}){\mathbf {n}}-{\mathbf {d}}}{R^{3}}}+{\frac {5{\mathbf {n}}({\ mathbf {n}}D{\mathbf {n}})-2D{\mathbf {n}}}{2R^{4}}}+O\left({\frac {1}{R^{5}} }\že jo).

Z tohoto vzorce je snadné získat normální (radiální) složku elektrického pole

E_{n}({\mathbf {R}})={\mathbf {n}}{\mathbf {E}}({\mathbf {R}})={\frac {Q}{R^{2} ))+{\frac {2{\mathbf {n}}{\mathbf {d}}}{R^{3}}}+{\frac {3{\mathbf {n}}D{\mathbf {n }}}{2R^{4}}}+O\left({\frac {1}{R^{5}}}\vpravo).

Tangenciální složku lze nalézt odečtením normály

E_{{\tau }}({\mathbf {R}})=E({\mathbf {R}})-{\mathbf {n}}{\mathbf {E}}({\mathbf {R}} )={\frac {({\mathbf {n}}{\mathbf {d}}){\mathbf {n}}-{\mathbf {d}}}{R^{3}}}+{\frac {{\mathbf {n}}({\mathbf {n}}D{\mathbf {n}})-D{\mathbf {n}}}{R^{4}}}+O\left({\ frac {1}{R^{5}}}\vpravo).

Jestliže normální (radiální) složka odráží sféricky symetrické rozložení náboje, pak tangenciální složka odráží nesférický příspěvek k elektrostatickému poli . Kvadrupólový moment je tedy zajímavý pro zkoumání nejen tehdy, když je celkový náboj a dipólový moment systému roven nule, ale také když je Coulombův příspěvek nenulový. Poté, v souladu se vzorcem pro tangenciální složku, kvadrupólový moment charakterizuje stupeň nesféričnosti elektrického pole v systému nábojového centra. Takto byly měřeny elektrické kvadrupólové momenty atomových jader a byl učiněn závěr, že nemají žádnou sférickou symetrii.

Vícepólová expanze statického magnetického pole

Vektorový potenciál nábojů pohybujících se konstantní rychlostí má tvar:

{\mathbf {A}}({\mathbf {R}})={\frac {1}{c}}\sum \limits _{i}{\frac {q_{i}{\mathbf {v}} _{i}}{|{\mathbf {R}}-{\mathbf {r}}_{i}}|}}

Podobně se rozkládá na vícepólovou expanzi:

{\mathbf {A}}({\mathbf {R}})=\sum \limits _{{l=1}}^({\infty }}{\mathbf {A}}^{{(l)} } ({\mathbf {R}}).

Série začíná , protože neexistují žádné magnetické náboje (magnetické náboje nebyly nalezeny ve fyzice základních interakcí, ačkoli mohou být použity jako model pro popis jevů ve fyzice pevných látek). Tento termín odpovídá magnetickému dipólu (bodový kruhový obrys s proudem): $l=1$

{\mathbf {A}}^{{(1)))({\mathbf {R}})={\frac {[{\mathbf {m}},{\mathbf {R}}]}{R^ {3}}},

kde je magnetický moment soustavy proudů (pohybujících se nábojů): ${\mathbf {m))$

{\mathbf {m}}={\frac {1}{2c}}\sum \limits _{i}q_{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {v}} _{i}]

Literatura

Landau L. D. , Lifshits E. M. Teorie pole. - 7. vydání, přepracované. — M .: Nauka , 1988. — 512 s. - (" Teoretická fyzika ", svazek II). — ISBN 5-02-014420-7 .
Prochorov A. M. (ed.). Fyzická encyklopedie . - M .: Sovětská encyklopedie , 1992. - T. 3. - 672 s. — ISBN 5-85270-034-7 .
Denisov V. I. Kapitola II. Stacionární elektromagnetická pole // Přednášky z elektrodynamiky. Tutorial. - 2. vyd. - M . : Nakladatelství UNC DO, 2007. - 272 s. - ISBN 978-5-88800-330-5 .

Poznámky

↑ Prochorov A. M. (ed.). Fyzická encyklopedie . - M .: Sovětská encyklopedie , 1992. - T. 3. - 672 s. — ISBN 5-85270-034-7 .
↑ Prezentované pole může být samozřejmě jak potenciál, tak napětí.
↑ Denisov V. I. Kapitola II. Stacionární elektromagnetická pole // Přednášky z elektrodynamiky. Tutorial. - 2. vyd. - M . : Nakladatelství UNC DO, 2007. - 272 s. - ISBN 978-5-88800-330-5 .
↑ Pro pole, jako jsou gravitační, která nemají záporné náboje, obsahuje vícepólová expanze pouze sudé řády. V tomto případě jsou záporné náboje v násobcích sudých řádů (například v kvadrupólu) uvažovány v tomto případě čistě formálně.
↑ Li Tsung-dao Matematické metody ve fyzice. - M.: Mir, 1965. - str.146