Vícepólové záření

Vícepólové záření je záření v důsledku změny času vícepólových momentů soustavy. Používá se k popisu elektromagnetického nebo gravitačního záření z časově proměnlivého (nestacionárního) rozložení vzdálených zdrojů. Vícepólový rozklad je aplikován na fyzikální jevy, které se vyskytují v různých měřítcích, od gravitačních vln v důsledku srážky galaxií až po gama záření v důsledku radioaktivního rozpadu [1] [2] [3] . Vícepólové záření je analyzováno podobnými způsoby, jaké se používají pro vícepólové rozšiřování polí ze stacionárních zdrojů. Existují však důležité rozdíly, protože pole vícepólového záření se chovají poněkud odlišně než pole ze stacionárních zdrojů. Tento článek se primárně zabývá elektromagnetickým vícepólovým zářením, ačkoli s gravitačními vlnami se zachází podobně.

Vlastnosti vícepólového záření

Linearita momentů

Protože Maxwellovy rovnice jsou lineární, závisí elektrické pole a magnetické pole lineárně na distribuci zdroje. Linearita umožňuje nezávisle vypočítat pole z různých multipólových momentů a přidat je k získání celkového pole systému. To je dobře známý princip superpozice .

Závislost vícepólových momentů na referenčním bodu

Vícepólové momenty se počítají vzhledem k pevnému referenčnímu bodu, který je brán jako počátek daného souřadnicového systému. Posunutím počátku se mění vícepólové momenty soustavy, kromě prvního nenulového momentu. [4] [5] Například monopólový moment náboje je jednoduše velikost celkového náboje systému. Změna referenčního bodu tento okamžik nikdy nezmění. Pokud je monopólový moment roven nule, pak bude dipólový moment systému translačně invariantní. Jsou-li monopólové i dipólové momenty rovny nule, pak je kvadrupólový moment při posunu invariantní atd. Protože momenty vyššího řádu závisí na poloze počátku, nelze je považovat za invariantní vlastnosti systému.

Závislost pole na vzdálenosti

Pole od multipólového momentu závisí jak na vzdálenosti od počátku souřadnic, tak na úhlové orientaci uvažovaného bodu vůči souřadnému systému. [4] Zejména radiální závislost elektromagnetického pole na momentu stacionárního pole je úměrná [2] . Elektrické pole z elektrického monopólu je tedy nepřímo úměrné druhé mocnině vzdálenosti. Podobně elektrický dipólový moment vytváří pole, které je nepřímo úměrné třetí mocnině vzdálenosti a tak dále. Jak se vzdálenost zvětšuje, příspěvek momentů vyššího řádu je mnohem menší než příspěvek momentů nižšího řádu. Pro usnadnění výpočtů lze proto momenty vysokého řádu vynechat. ${\displaystyle 2^{\ell ))$ $1/r^{\ell +2}$

Radiální závislost vícepólových radiačních vln se liší od polí stacionárního případu, protože tyto vlny odnášejí energii ze systému. Protože energie musí být zachována, jednoduchá geometrická analýza ukazuje, že hustota energie sférického záření o poloměru musí být úměrná . Jak se kulová vlna rozpíná, její fixní energie musí být distribuována po kouli s povrchem . V souladu s tím musí každý časově závislý vícepólový moment přispívat k hustotě vyzařované energie v poměru k , bez ohledu na pořadí momentu. V důsledku toho nelze momenty vyššího řádu vyřadit tak snadno jako ve stacionárním případě. I v tomto případě však vícepólové koeficienty systému obecně klesají s rostoucím řádem, obvykle úměrně , takže vyzařovaná pole lze stále aproximovat vyřazením momentů vyššího řádu [5] . $r$ $1/r^{2}$ $4\pi r^{2}$ $1/r^{2}$ $1/(2\ell +1)!!$

Časově závislá elektromagnetická pole

Zdroje

Časově závislé rozložení zdrojů lze vyjádřit pomocí Fourierovy analýzy . To umožňuje analyzovat různé frekvence nezávisle na sobě.

Hustota náboje je dána

\rho (\mathbf {x} ,t)=\int _{-\infty }^{\infty }d\omega \,{\hat {\rho ))(\mathbf {x} ,\omega )e^{-i\omega t}

a proudovou hustotou

\mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)=\int _{-\infty }^{\infty }d\omega \,{\hat {\mathbf {J} ))(\mathbf {x} ,\omega )e^{-i\omega t}

[6] .

Pro usnadnění, počínaje tímto okamžikem, uvažujeme pouze jednu úhlovou frekvenci ; tím pádem $\omega$

{\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)=\rho (\mathbf {x} )e^{-i\omega t))

{\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {J} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t))

Princip superpozice lze aplikovat na zobecnění výsledků na několik frekvencí [5] .

Vektorová množství jsou uvedena tučně. Pro vyjádření fyzikálních veličin se používá standardní konvence převzetí reálné části komplexního čísla.

Vlastní moment hybnosti elementárních částic (viz Spin ) může ovlivnit elektromagnetické záření zdrojů. Pro zohlednění těchto vlivů se bere v úvahu vnitřní magnetizace systému . Pro pohodlí však bude zvážení těchto účinků odloženo až do diskuse o zobecněném vícepólovém záření. $\mathbf {M} (\mathbf {x} ,t)$

Potenciály

Rozdělení zdrojů lze integrovat pro získání časově závislého elektrického potenciálu φ a magnetického potenciálu A . Vzorce jsou vyjádřeny s přihlédnutím k Lorentzově měřidlu v jednotkách SI [5] [6] .

\phi (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0))}\int d^{3}\mathbf {x'} \int dt' {\frac {\rho (\mathbf {x'} ,t')}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))}\delta \left(t'-( t-{\frac {\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2)){c)))\right)

\mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int d^{3}\mathbf {x'} \int dt'{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {x'} ,t')}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))}\delta \left (t'-(t-{\frac {\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2)){c)))\right)

V těchto vzorcích , c je rychlost světla ve vakuu, je Diracova delta funkce a je euklidovská vzdálenost od počátečního bodu zdroje x' k uvažovanému bodu x . $\delta$ ${\displaystyle \|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))$

Integrace časově závislých distribucí zdrojů dává

\phi (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0))}e^{-i\omega t}\int d^{3}\ mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} ){\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}

{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}e^{-i\omega t}\int d^{3 }\mathbf {x'} \mathbf {J} (\mathbf {x'} ){\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}} {\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))))

kde k =ω/ c . Tyto vzorce slouží jako základ pro analýzu vícepólového záření.

Vícepólová expanze na malé vzdálenosti od zdroje

Malé vzdálenosti jsou oblast prostoru blízko zdroje, ve které lze elektromagnetické pole považovat za kvazistacionární. Pokud je vzdálenost uvažovaného bodu od zdroje mnohem menší než vlnová délka záření , pak . V důsledku toho lze exponent v této oblasti aproximovat následovně (viz Taylorova řada ): ${\displaystyle r=\|\mathbf {x} \|_{2))$ $\lambda =2\pi /k$ $kr\ll 1$

e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))=1+O(kr)

V této aproximaci je zbývající x ′-závislost stejná jako u stacionárního systému a je aplikována stejná analýza [4] [5] . Ve skutečnosti lze potenciály v daném časovém okamžiku v malých vzdálenostech od zdroje vypočítat jednoduchým pořízením snímku systému a zacházením s ním, jako by byl stacionární. Proto se tento případ nazývá kvazistacionární [5] . Zejména je vzájemná vzdálenost rozšířena pomocí sférických funkcí , které jsou nezávisle integrovány pro získání sférických vícepólových koeficientů (viz vícepólová expanze ). ${\displaystyle 1/\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))$

Vícepólová expanze na velké vzdálenosti od zdroje: vícepólové záření

Ve velkých vzdálenostech od vysokofrekvenčního zdroje, dochází k následujícím aproximacím: $\lambda \ll r$

{\frac {1}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}={\frac {1}{r}}+O(1/r^ {2})

e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}=e^{ik(r-\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} + O(1/r)}=e^{ikr-ik\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} }(1+O(1/r))

Protože ve velkých vzdálenostech od zdroje jsou významné pouze členy prvního řádu , expanze se v podstatě redukuje na: $1/r$

{\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \| _{2}}}={\frac {e^{ikr}}{r}}(1-ik(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )+{\frac {(-ik)^ {2}}{2}}(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )^{2}+...)+O(1/r^{2})

Každý stupeň odpovídá jinému vícepólovému momentu. Níže je několik prvních bodů. $\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'}$

Záření elektrického monopolu, nemožnost existence

Člen nultého řádu ve vztahu ke skalárnímu potenciálu dává: ${\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \| _{2}}}\rightarrow {\frac {e^{ikr}}{r}}$

\phi _{\text{electric monopole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {e^{ikr -i\omega t}}{r}}\int d^{3}\mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )={\frac {e^{ikr-i\omega t}} {4\pi \epsilon _{0}r}}q

kde celkový náboj systému je elektrický monopól oscilující na frekvenci ω. Zákon zachování elektrického náboje to vyžaduje $q=\int d^{3}\mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )$ $q=0$

q(t)=\int d^{3}\mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} ,t)=\int d^{3}\mathbf {x'} \rho ( \mathbf {x'} )e^{-i\omega t}=qe^{-i\omega t}

Pokud je systém uzavřený, pak velikost náboje nemůže kolísat, což znamená, že amplituda kmitání q musí být rovna nule. Proto, . Odpovídající pole a výkon záření se také musí rovnat nule [5] . $\phi _{\text{electric monopole}}(\mathbf {x} ,t)=0$

Elektrické dipólové záření

Elektrický dipólový potenciál

Záření elektrického dipólu lze získat uvažováním členu nultého řádu, , aplikovaného na vektorový potenciál [5] . ${\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \| _{2}}}\rightarrow {\frac {e^{ikr}}{r}}$

\mathbf {A} _{\text{elektrický dipól}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^ {ikr-i\omega t}}{r}}\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {J} (\mathbf {x'} )

Integrace po částech dává [7]

\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {J} (\mathbf {x'} )=-\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))

A rovnice kontinuity náboje ukazuje

{\frac {\partial \rho (\mathbf {x} ,t)}{\partial t))+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t) =\left(-i\omega \rho (\mathbf {x} )+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} )\right)e^{-i\omega t} =0

Z toho tedy vyplývá

\mathbf {A} _{\text{elektrický dipól}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-i\omega \mu _{0}}{4\pi }}{\ frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )

Podobné výsledky lze získat, pokud vezmeme v úvahu člen prvního řádu, , jak je aplikován na skalární potenciál. ${\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \| _{2}}}\rightarrow {\frac {e^{ikr}}{r}}(-ik)(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )$

Velikost amplitudy elektrického dipólového momentu soustavy

\mathbf {d} =\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )

To nám umožňuje vyjádřit potenciály jako

\phi _{\text{elektrický dipól}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-ik}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {e^{ ikr-i\omega t}}{r}}\mathbf {n} \cdot \mathbf {d}

\mathbf {A} _{\text{elektrický dipól}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-i\omega \mu _{0}}{4\pi }}{\ frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\mathbf {d}

Elektrická dipólová pole

Jakmile jsou nalezeny časově závislé potenciály, lze obvyklým způsobem vypočítat časově závislé elektrické pole a magnetické pole . A to,

\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)=-\mathbf {\nabla } \phi (\mathbf {x} ,t)-{\frac {\partial \mathbf {A} (\ mathbf {x} ,t)}{\částečné t))

\mathbf {B} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)

nebo v oblasti prostoru bez zdroje lze k získání vztahu mezi magnetickým polem a elektrickým polem použít

\mathbf {H} (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{\mu _{0))}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} (\mathbf { x} ,t)

\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)={\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} (\mathbf {x} ,t)

kde je vlnová impedance vakua . ${\displaystyle Z_{0}={\sqrt {\mu _{0}/\epsilon _{0))))$

Elektrická a magnetická pole, která odpovídají výše uvedeným potenciálům:

\mathbf {H} _{\text{elektrický dipól}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {ck^{2}}{4\pi }}(\mathbf {n} \ krát \mathbf {d} ){\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}

\mathbf {E} _{\text{elektrický dipól}}(\mathbf {x} ,t)=Z_{0}(\mathbf {H} _{\text{elektrický dipól}}\times \mathbf {n} )

což odpovídá vlnám sférického záření [5] .

Vyzařovací výkon elektrického dipólu

Hustota energetického toku pomocí Poyntingova vektoru . Z toho vyplývá, že časově zprůměrovaná hustota energetického toku na jednotku prostorového úhlu je určena $\mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H}$

{\frac {dI(\mathbf {x} )}{d\Omega }}={\frac {r^{2}}{2}}\Re (\mathbf {n} \cdot \mathbf { E} \times \mathbf {H} )

Skalární součin s udává velikost záření a faktor 1/2 se získá z časového průměru. Jak bylo vysvětleno výše, eliminuje radiální závislost hustoty vyzařované energie. Při aplikaci na elektrický dipól získáme $\mathbf {n}$ $r^{2}$

{\frac {dI_{\text{elektrický dipól}}(\mathbf {x} )}{d\Omega }}={\frac {c^{2}Z_{0}}{32\pi ^ {2}}}k^{4}\|\mathbf {d} \|_{2}^{2}\sin ^{2}\theta

kde θ se měří vzhledem k [5] . $\mathbf{d}$

Integrace přes kouli dává celkový výkon záření:

I_{\text{elektrický dipól}}={\frac {c^{2}Z_{0}}{12\pi }}k^{4}\|\mathbf {d} \|_{2 }^{2}

Magnetické dipólové záření

Magnetický dipólový potenciál

Člen prvního řádu, , ve vztahu k vektorovému potenciálu udává záření magnetického dipólu nebo záření elektrického kvadrupólu [5] . ${\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \| _{2}}}\rightarrow {\frac {e^{ikr}}{r}}(-ik)(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )$

\mathbf {A} _{\text{magnetický dipól / elektrický kvadrupól}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}(-ik)\int d^{3}\mathbf {x'} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\mathbf {J} (\mathbf {x'} )

Integrand lze rozdělit na symetrické a antisymetrické části přes n a x ′

(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\mathbf {J} (\mathbf {x'} )={\frac {1}{2))\left((\mathbf {n } \cdot \mathbf {x'} )\mathbf {J} (\mathbf {x'} )+(\mathbf {n} \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))\mathbf {x '} \right)+{\frac {1}{2}}(\mathbf {x'} \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))\times \mathbf {n}

Druhý člen obsahuje efektivní magnetizaci v důsledku proudu a integrace udává magnetický dipólový moment $\mathbf {M} _{\text{effective}}(\mathbf {x'} )=1/2(\mathbf {x'} \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} ) )$ $\mathbf {m} =\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {M} _{\text{effective))(\mathbf {x'} )$

\mathbf {A} _{\text{magnetický dipól}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-ik\mu _{0}}{4\pi }}{\frac { e^{ikr-i\omega t}}{r}}\mathbf {m} \times \mathbf {n}

Všimněte si, že má podobný vzhled. To znamená, že magnetické pole vytvořené magnetickým dipólem se chová podobně jako elektrické pole z elektrického dipólu. Podobně je elektrické pole z magnetického dipólu podobné magnetickému poli z elektrického dipólu. $\mathbf {A} _{\text{magnetický dipól))$ $\mathbf {H} _{\text{elektrický dipól))$

Provádění transformací

\mathbf {E} _{\text{elektrický dipól}}\rightarrow Z_{0}\mathbf {H} _{\text{magnetický dipól}}

\mathbf {H} _{\text{elektrický dipól}}\rightarrow {\frac {-1}{Z_{0}}}\mathbf {E} _{\text{magnetický dipól}}

\mathbf {d} \rightarrow \mathbf {m} /c

v předchozích výpočtech dává výsledky pro magnetický dipól [5] .

Magnetická dipólová pole

\mathbf {E} _{\text{magnetický dipól}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-k^{2}Z_{0}}{4\pi }}(\ mathbf {n} \times \mathbf {m} ){\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}

\mathbf {H} _{\text{magnetický dipól}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-1}{Z_{0}}}(\mathbf {E} _{\ text{magnetický dipól}}\times \mathbf {n} )

[5]

Vyzařovací výkon magnetického dipólu

Časově zprůměrovaná hustota toku energie magnetického dipólu na jednotku prostorového úhlu je určena

{\frac {dI_{\text{magnetický dipól}}(\mathbf {x} )}{d\Omega }}={\frac {Z_{0}}{32\pi ^{2}}} k^{4}\|\mathbf {m} \|_{2}^{2}\sin ^{2}\theta

kde θ se měří relativním magnetickým dipólem . ${\mathbf {m))$

Celkový radiační výkon [5] :

I_{\text{magnetický dipól}}={\frac {Z_{0}}{12\pi }}k^{4}\|\mathbf {m} \|_{2}^{2}

Elektrické kvadrupólové záření

Elektrický kvadrupólový potenciál

Symetrickou část integrandu z předchozí části lze prointegrovat aplikací integrace po částech a rovnice kontinuity náboje , jak již bylo provedeno pro elektrické dipólové záření.

{\frac {1}{2}}\int d^{3}\mathbf {x} \left((\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\mathbf {J} (\ mathbf {x'} )+(\mathbf {n} \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))\mathbf {x'} \right)={\frac {-i\omega }{2 }}\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\rho (\mathbf {x'} )

\mathbf {A} _{\text{elektrický čtyřpól}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-k\omega \mu _{0}}{8\pi }}{\ frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\rho (\mathbf {x'} )

Představme si bezstopový elektrický kvadrupólový momentový tenzor . Omezení druhého indexu na normální vektor nám umožňuje vyjádřit vektorový potenciál jako [5] $D_{\alpha \beta }=\int d^{3}\mathbf {x'} (3x'_{\alpha }x'_{\beta }-\|\mathbf {x'} \| _{2}^{2}\delta _{\alpha \beta })\rho (\mathbf {x'} )$ ${\displaystyle [D(\mathbf {n} )]_{\alpha }=\sum _{\beta }D_{\alpha \beta }n_{\beta ))$

\mathbf {A} _{\text{elektrický dipól}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-k\omega \mu _{0}}{8\pi }}{\ frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}{\frac {1}{3}}\mathbf {D(n)}

Elektrická kvadrupólová pole

Výsledná magnetická a elektrická pole [5] :

\mathbf {H} _{\text{elektrický čtyřpól}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-ick^{3}}{24\pi }}{\frac {e^ {ikr-i\omega t}}{r}}\mathbf {n} \times \mathbf {D(n)}

\mathbf {E} _{\text{elektrický kvadrupól}} (\mathbf {x} ,t)=Z_{0}(\mathbf {H} _{\text{elektrický kvadrupól}}\times \mathbf {n} )

Vyzařovací výkon elektrického kvadrupólu

Časově zprůměrovaná hustota energetického toku záření elektrického kvadrupólu na jednotku prostorového úhlu je určena

{\frac {dI_{\text{elektrický čtyřpól}}(\mathbf {x} )}{d\Omega }}={\frac {c^{2}Z_{0}}{1152\pi ^ {2}}}k^{6}\|(\mathbf {n} \times \mathbf {D(n)} )\times \mathbf {n} \|_{2}^{2}

Celkový radiační výkon [5] :

I_{\text{elektrický čtyřpól}}={\frac {c^{2}Z_{0}}{1440\pi }}k^{6}\sum _{\alpha ,\beta }D_{ \alpha \beta }^{2}

Generalizované vícepólové záření

S rostoucím multipólovým momentem systému distribuovaných nábojů jsou dosud používané přímé výpočty příliš těžkopádné. Analýza vyšších momentů vyžaduje obecnější teoretický přístup. Stejně jako dříve uvažujeme pouze jednu frekvenci . Proto jsou hustoty náboje, proudu a vnitřní magnetizace určeny $\omega$

{\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)=\rho (\mathbf {x} )e^{-i\omega t))

{\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {J} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t))

{\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {M} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t))

respektive.

Výsledná elektrická a magnetická pole sdílejí stejnou časovou závislost jako zdroje

{\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {E} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t))

{\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {H} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t))

Použití těchto definic a rovnic kontinuity nám umožňuje psát Maxwellovy rovnice ve tvaru:

\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} (\mathbf {x} )=-{\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J } (\mathbf {x} )

\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {H} (\mathbf {x} )=-\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x} )

\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} (\mathbf {x} )=ikZ_{0}\left(\mathbf {H} (\mathbf {x} )+\mathbf {M} ( \mathbf {x} )\right)

\mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} (\mathbf {x} )=-{\frac {ik}{Z_{0))}\mathbf {E} (\mathbf {x} ) +\mathbf {J} (\mathbf {x} )

Tyto rovnice lze kombinovat aplikací zvlnění na poslední rovnice a aplikací identity . To dává vektorové tvary nehomogenní Helmholtzovy rovnice : $\mathbf {\nabla } \times (\mathbf {\nabla } \times \mathbf {V} )=\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {V} )-\ mathbf {\nabla } ^{2}\mathbf {V}$

(\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {E} (\mathbf {x} )=-\left[ikZ_{0}\mathbf {J} (\mathbf {x} ) +ikZ_{0}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {M} (\mathbf {x} )+{\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } (\mathbf {\ nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} ))\right]

(\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {H} (\mathbf {x} )=-\left[k^{2}\mathbf {M} (\mathbf {x} )+\mathbf {\nabla } \times \mathbf {J} (\mathbf {x} )+\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x} ) )\že jo]

Řešení vlnových rovnic

Homogenní vlnové rovnice, které popisují elektromagnetické záření s frekvencí v oblasti bez zdrojů, mají tvar: $\omega$

(\mathbf {\nabla } ^{2}+k^{2})\mathbf {\Psi } (\mathbf {x} )=0

Vlnová funkce může být reprezentována jako součet vektorových sférických harmonických $\mathbf {\Psi } (\mathbf {x} )$

\mathbf {\Psi } (\mathbf {x} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell m}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )

f_{\ell m}(kr)=A_{\ell m}^{(1)}h_{\ell }^{(1)}(kr)+A_{\ell m}^{(2 )}h_{\ell }^{(2)}(kr)

kde jsou normalizované vektorové sférické harmonické a a jsou sférické Hankelovy funkce (viz Besselovy funkce ). Diferenciální operátor je operátor momentu hybnosti s vlastností . Koeficienty a odpovídají rozšiřujícím se a smršťujícím vlnám. Tedy v případě záření . K určení zbývajících koeficientů se používá Greenova funkce . Pokud je zdrojová rovnice $\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )=\mathbf {L} Y_{\ell m}(\theta ,\phi )/{\sqrt {\ell (\ell +1)}}$ ${\displaystyle h_{\ell }^{(1)))$ ${\displaystyle h_{\ell }^{(2)))$ $\mathbf {L} =-i\mathbf {x} \times \mathbf {\nabla }$ ${\displaystyle L^{2}Y_{\ell m}=\ell (\ell +1)Y_{\ell m))$ ${\displaystyle A_{\ell m}^{(1)))$ ${\displaystyle A_{\ell m}^{(2)))$ $A_{\ell m}^{(2)}=0$

(\mathbf {\nabla } ^{2}+k^{2})\mathbf {\Psi } (\mathbf {x} )=-\mathbf {V} (\mathbf {x} )

pak řešení:

\Psi _{\alpha }(\mathbf {x} )=\součet _{\beta }\int d^{3}\mathbf {x'} G_{\alpha \beta } (\mathbf {x } ,\mathbf {x'} )V_{\beta }(\mathbf {x'} )

Greenovu funkci lze vyjádřit pomocí vektorových sférických harmonických:

G_{\alpha \beta }(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^ {\ell }ikh_{\ell }^{(1)}(kr)j_{\ell }(kr')X_{\ell m\alpha }(\theta ,\phi )X_{\ell m\beta } ^{*}(\theta ',\phi ')

Všimněte si, že se jedná o diferenciální operátor, který působí na zdrojovou funkci . $\mathbf {X} _{\ell m}^{*}=Y_{\ell m}^{*}\mathbf {L} /{\sqrt {\ell (\ell +1)))$ ${\mathbf {V}}$

Takže řešení vlnové rovnice je:

\mathbf {\Psi } (\mathbf {x} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\frac { ik}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )\ int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {L'} \cdot \mathbf {V} (\mathbf {x'} )

Elektrická vícepólová pole

Aplikace výše získaného řešení na rovnici elektrického vícepólového vlnění

(\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {H} (\mathbf {x} )=-\left[k^{2}\mathbf {M} (\mathbf {x} )+\mathbf {\nabla } \times \mathbf {J} (\mathbf {x} )+\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x} ) )\že jo]

získáme řešení pro magnetické pole [5] :

\mathbf {H} ^{(E)}(\mathbf {x} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }a_{\ell m}^{(E)}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )

a_{\ell m}^{(E)}={\frac {ik}{\sqrt {\ell (\ell +1)))}\int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {L'} \cdot \left[k^{2}\mathbf {M} ( \mathbf {x'} )+\mathbf {\nabla '} \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} )+\mathbf {\nabla '} (\mathbf {\nabla '} \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x'} ))\right]

Elektrické pole:

\mathbf {E} ^{(E)}(\mathbf {x} )={\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} ^{ (E)}(\mathbf {x} )

Vzorec lze zjednodušit použitím identit

\mathbf {L} \cdot \mathbf {V} (\mathbf {x} )=i\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {x} \times \mathbf {V} (\mathbf {x } } ))

\mathbf {L} \cdot (\mathbf {\nabla } \times \mathbf {V} (\mathbf {x} ))=i\nabla ^{2}(\mathbf {x} \cdot \mathbf {V} (\mathbf {x} ))-{\frac {i\partial }{r\partial r}}(r^{2}\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {V} (\mathbf { X))

\mathbf {L} \cdot \mathbf {\nabla } s(\mathbf {x} )=0

k integrandu, který dává [5]

a_{\ell m}^{(E)}={\frac {-ik^{2}}{\sqrt {\ell (\ell +1)))}\int d^{3}\ mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\left[-ik\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf { x'} \times \mathbf {M} (\mathbf {x'} ))-{\frac {i}{k}}\nabla ^{2}(\mathbf {x'} \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))-{\frac {c\partial }{r'\partial r'}}(r'^{2}\rho (\mathbf {x'} ))\right]

Greenův teorém a integrace po částech vedou vzorec k

a_{\ell m}^{(E)}={\frac {-ik^{2}}{\sqrt {\ell (\ell +1)))}\int d^{3}\ mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\left[-ik\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf { x'} \times \mathbf {M} (\mathbf {x'} ))+ik\mathbf {x'} \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} )\right]+cY_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\rho (\mathbf {x'} ){\frac {\partial }{\partial r'}}(r'j_{\ell }(kr' ))

sférickou Besselovu funkci lze také zjednodušit, pokud předpokládáme, že vlnová délka záření je mnohem větší než rozměry zdroje, což je případ většiny antén $j_{\ell }(kr')$

j_{\ell }(kr')={\frac {(kr')^{\ell }}{(2\ell +1)!!}}+O((kr')^{\ell +2})

Vynecháním všech členů, kromě členů nejmenších řádů, získáme zjednodušenou formu elektrických vícepólových koeficientů [5] :

a_{\ell m}^{(E)}={\frac {-ick^{\ell +2}}{(2\ell +1)!!}}\left({\frac {\ ell +1}{\ell }}\right)^{1/2}[Q_{\ell m}+Q_{\ell m}']

Q_{\ell m}=\int d^{3}\mathbf {x'} r'^{\ell }Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\ rho (\mathbf {x'} )

Q_{\ell m}'=-{\frac {ik}{c(\ell +1)))\int d^{3}\mathbf {x'} r'^{\ell }Y_{ \ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {x'} \times \mathbf {M} (\mathbf {x'} ))

${\displaystyle Q_{\ell m))$ je stejný multipólový moment jako ve stacionárním případě, kdyby byl aplikován na stacionární rozložení náboje , přičemž odpovídá indukovanému elektrickému multipólovému momentu z vlastní magnetizace původních zdrojů. $\rho(\mathbf{x})$ $Q_{\ell m}'$

Magnetická vícepólová pole

Aplikace výše získaného řešení na magnetickou vícepólovou vlnovou rovnici

(\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {E} (\mathbf {x} )=-\left[ikZ_{0}\mathbf {J} (\mathbf {x} ) +ikZ_{0}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {M} (\mathbf {x} ))+{\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } (\mathbf { \nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} ))\right]

získáme řešení pro elektrické pole [5] :

\mathbf {E} ^{(M)}(\mathbf {x} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }a_{\ell m}^{(M)}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )

a_{\ell m}^{(M)}={\frac {ik}{\sqrt {\ell (\ell +1)))}\int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {L'} \cdot \left[ikZ_{0}\mathbf {J} (\ mathbf {x} )+ikZ_{0}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {M} (\mathbf {x} ))+{\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} ))\right]

Magnetické pole:

\mathbf {H} ^{(M)}(\mathbf {x} )=-{\frac {i}{kZ_{0}}}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} ^ {(M)}(\mathbf {x} )

Stejně jako dříve je vzorec zjednodušený:

a_{\ell m}^{(M)}={\frac {-ik^{2}}{\sqrt {\ell (\ell +1)))}\int d^{3}\ mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\left[\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {x' } \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))-k^{2}\mathbf {x'} \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x'} )\right]+Y_{ \ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x'} ){\frac {\partial }{\partial r' ))(r'j_{\ell }(kr'))

Vynecháme-li všechny členy, kromě členů nejmenších řádů, získáme zjednodušený tvar magnetických vícepólových koeficientů [5] :

a_{\ell m}^{(M)}={\frac {-ik^{\ell +2}}{(2\ell +1)!!}}\left({\frac {\ ell +1}{\ell }}\right)^{1/2}[M_{\ell m}+M_{\ell m}']

M_{\ell m}={\frac {1}{\ell +1}}\int d^{3}\mathbf {x'} r'^{\ell }Y_{\ell m}^ {*}(\theta ',\phi ')\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {x'} \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))

M_{\ell m}'=\int d^{3}\mathbf {x'} r'^{\ell }Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ') \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x'} )

${\displaystyle M_{\ell m))$ je magnetický multipólový moment efektivní magnetizace a odpovídá vlastní magnetizaci . $\mathbf {x} \times \mathbf {J} (\mathbf {x} )/2$ $M_{\ell m}'$ $\mathbf {M} (\mathbf {x} )$

Obecné řešení

Elektrická a magnetická pole se spojí, aby vznikla konečná pole [5] :

\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)=\Re \left(\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ ell }\left[a_{\ell m}^{(M)}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )+ {\frac {iZ_{0}}{k}}a_{\ell m}^{(E)}\mathbf {\nabla } \times (h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi ))\right]e^{-i\omega t}\right)

\mathbf {H} (\mathbf {x} ,t)=\Re \left(\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ ell }\left[a_{\ell m}^{(E)}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )- {\frac {i}{kZ_{0))}a_{\ell m}^{(M)}\mathbf {\nabla } \times (h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi ))\right]e^{-i\omega t}\right)

Všimněte si, že radiální funkci lze pro velké vzdálenosti zjednodušit . $h_{\ell }^{(1)}(kr)$ $1/r\ll 1$

h_{\ell }^{(1)}(kr)=(-i)^{\ell +1}{\frac {e^{ikr}}{kr}}+O(1/r^ {2})

Tím se obnoví radiální závislost záření.

Viz také

Poznámky

↑ Hartle, James B. Gravitace: Úvod do Einsteinovy obecné relativity . — Addison-Wesley , 2003. — ISBN 0-8053-8662-9 .
↑ 12 Rose, M.E. Multipole Fields . — John Wiley & Sons , 1955. Archivováno 24. června 2021 na Wayback Machine
↑ Blatt, John M. Teoretická jaderná fyzika – sedmý tisk / John M. Blatt, Victor F. Weisskopf. - John Wiley & Sons , 1963. - ISBN 0-471-30932-X . Archivováno 24. června 2021 na Wayback Machine
↑ 1 2 3 Raab, Roger E. Teorie vícepólů v elektromagnetismu / Roger E. Raab, Owen L. de Lange. - Oxford University Press , 2004. - ISBN 978-0-19-856727-1 . Archivováno 24. června 2021 na Wayback Machine
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 Jackson, John David. Klasická elektrodynamika – třetí vydání . — John Wiley & Sons , 1999. — ISBN 0-471-30932-X .
↑ 1 2 Hafner, Christian. Zobecněná vícepólová technika pro výpočetní elektromagnetické pole . - Artech House , 1990. - ISBN 0-89006-429-6 . Archivováno 24. června 2021 na Wayback Machine
↑ Robert G. Brown. Vektorový počet: Integrace podle částí . Klasická elektrodynamika: Část II (28. prosince 2007). Získáno 19. června 2021. Archivováno z originálu dne 4. března 2016. (neurčitý)