Vektorové sférické harmonické

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 28. prosince 2019; kontroly vyžadují 13 úprav .

Vektorové sférické harmonické jsou vektorové funkce, které se transformují pod rotacemi souřadnicového systému stejným způsobem jako skalární sférické funkce se stejnými indexy nebo určité lineární kombinace takových funkcí.

Definice

1. Vektorové sférické harmonické jsou vektorové funkce , které jsou vlastními funkcemi operátorů , kde je operátor orbitálního momentu hybnosti, je operátor spinové hybnosti pro rotaci 1, je operátor celkového momentu hybnosti. [jeden] $\mathbf {Y} _{JM}^{L}(\vartheta ,\varphi )$ ${\hat {\mathbf {J} }}^{2},{\hat {J}}_{z},{\hat {\mathbf {L} }}^{2},{\klobouček {\mathbf {S} }}^{2}$ ${\hat {\mathbf {L} }}$ ${\hat {\mathbf {S} ))$ ${\hat {\mathbf {J} ))={\klobouk {\mathbf {L} }}+{\klobouk {\mathbf {S} }}$

{\begin{array}{l}{{\hat {\mathbf {J} }}^{2}\mathbf {Y} _{JM}^{L}(\vartheta ,\varphi )={ J}({J}+1)\mathbf {Y} _{JM}^{L}(\vartheta ,\varphi )}\\{{\hat {J))_{z}\mathbf {Y} _ {JM}^{L}(\vartheta ,\varphi )=M\mathbf {Y} _{JM}^{L}(\vartheta ,\varphi )}\\{{\hat {\mathbf {L} } }^{2}\mathbf {Y} _{JM}^{L}(\vartheta ,\varphi )=L(L+1)\mathbf {Y} _{JM}^{L}(\vartheta ,\ varphi )}\\{{\hat {\mathbf {S} }}^{2}\mathbf {Y} _{JM}^{L}(\vartheta ,\varphi )=2\mathbf {Y} _{ JM}^{L}(\vartheta ,\varphi )}\end{array}}

2. Často (viz např. Mie Scattering ) se základní množina řešení vektorové Helmholtzovy rovnice ve sférických souřadnicích nazývá vektorové harmonické. [2] [3]

V tomto případě jsou vektorové sférické harmonické generovány skalárními funkcemi, které jsou řešením Helmholtzovy rovnice s vlnovým vektorem . ${\bf {k))$

{\begin{array}{l}{\psi _{emn}=\cos m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r)} \\{\psi _{omn}=\sin m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r)}\end{array))

kde jsou sdružené Legendreovy polynomy a je některá ze sférických Besselových funkcí . $P_{n}^{m}(\cos \theta )$ $z_{n}({k}r)$

Vektorové harmonické jsou vyjádřeny jako

{\displaystyle \mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}=\mathbf {\nabla } \psi _{^{e}_{o}mn))

- podélné harmonické

\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}=\nabla \times \left(\mathbf {r} \psi _{^{e}_{o}mn}\right)

- magnetické harmonické

\mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}={\frac {\nabla \times \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn)){\mathbf {k} }}

- elektrické harmonické

Zde zavedeme generující funkce s reálnou úhlovou částí, ale analogicky můžeme zavést i komplexní harmonické.

3. Často se zavádějí také sférické vektory [4] [5] [6] [7] , které jsou lineárními kombinacemi funkcí , ale nejsou vlastními funkcemi druhé mocniny orbitálního momentu hybnosti, ale jsou orientovány určitým způsobem vzhledem na jednotkový vektor . [1] . Definice a označení vektorů tohoto typu v literatuře se značně liší, zde je jedna z možností. $\mathbf {Y} _{JM}^{L}(\vartheta ,\varphi )$ ${\mathbf {r))$

\mathbf {X} _{JM}(\theta ,\phi )={\frac {1}{\sqrt {l(l+1)}}}\mathbf {L} Y_{JM}(\ theta ,\phi )={\frac {1}{i{\sqrt {l(l+1))))}\mathbf {r} \times \nabla Y_{JM}(\theta ,\phi )={ \mathbf {Y} _{JM}^{(0)}(\vartheta ,\varphi )=\mathbf {Y} _{JM}^{J}(\vartheta,\varphi )}

- vektory magnetického typu.

{\displaystyle i\mathbf {Y} _{JM}^{(0)}(\vartheta ,\varphi )\times \mathbf {r} ={\mathbf {Y} _{JM}^{(1)} (\vartheta ,\varphi )={\sqrt {\frac {J+1}{2J+1}}}\mathbf {Y} _{JM}^{J-1}(\vartheta ,\varphi )+{ \sqrt {\frac {J}{2J+1}}}\mathbf {Y} _{JM}^{J+1}(\vartheta ,\varphi )))

- vektory elektrického typu

\mathbf {r} Y_{JM}(\vartheta ,\varphi )={\mathbf {Y} _{JM}^{(-1)}(\vartheta ,\varphi )={\sqrt {\ frac {J}{2J+1}}}\mathbf {Y} _{JM}^{J-1}(\vartheta ,\varphi )-{\sqrt {\frac {J+1}{2J+1} }}\mathbf {Y} _{JM}^{J+1}(\vartheta ,\varphi )}

- podélný sférický vektor

Pro vektory tohoto typu jsou generátory skalární sférické funkce bez radiální části. $Y_{JM}(\vartheta ,\varphi )$

Elektrické harmonické . dvakrát vyfoceno ${\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}m1))$ $\mathbf {N} _{e01}$
Elektrické harmonické . dvakrát vyfoceno ${\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}m2))$ $\mathbf {N} _{e02}$
Elektrické harmonické . dvakrát vyfoceno ${\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}m3))$ $\mathbf {N} _{e03}$

Magnetické harmonické . dvakrát vyfoceno ${\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}m1))$ $\mathbf {M} _{e01}$
Magnetické harmonické . dvakrát vyfoceno ${\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}m2))$ $\mathbf {M} _{e02}$
Magnetické harmonické . dvakrát vyfoceno ${\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}m3))$ $\mathbf {M} _{e03}$

Ortogonalita

Řešení Helmholtzovy vektorové rovnice se řídí následujícími vztahy ortogonality [3] :

{\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {L } _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi }{=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{(2n+ 1 )^{2))}{\frac {(n+m)!}{(nm)!}}k^{2}\left\{n\left[z_{n-1}(kr)\right ] ^{2}+(n+1)\left[z_{n+1}(kr)\right]^{2}\right\}}

{\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {M } _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi }{=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{2n+1 }}{\frac {(n+m)!}{(nm)!}}n(n+1)\left[z_{n}(kr)\right]^{2}}

\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi }{=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{(2n+1 )^{2))}{\frac {(n+m)!}{(nm)!}}n(n+1)\left\{(n+1)\left[z_{n-1}( kr)\right]^{2}+n\left[z_{n+1}(kr)\right]^{2}\right\}

{\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {N } _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi }{=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{(2n+ 1 )^{2))}{\frac {(n+m)!}{(nm)!}}n(n+1)k\left\{\left[z_{n-1}(kr)\ right ]^{2}-\left[z_{n+1}(kr)\right]^{2}\right\}}

Všechny ostatní integrály přes úhly mezi různými funkcemi nebo funkcemi s různými indexy se rovnají nule.

Explicitní pohled

Pojďme si představit notaci . Explicitní forma magnetických a elektrických harmonických má následující formu: $\rho =kr$

{\begin{aligned}{\mathbf {M} _{emn}(k,\mathbf {r} )={{\frac {-m}{\sin(\theta )))\sin(m \varphi )P_{n}^{m}(\cos(\theta ))}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\theta }-}\\{-\cos(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\varphi }\end{ zarovnaný}}

{\begin{aligned}{\mathbf {M} _{omn}(k,\mathbf {r} )={{\frac {m}{\sin(\theta )))\cos(m\ varphi )P_{n}^{m}(\cos(\theta))))z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\theta }-\\{-\sin(m\varphi ) {\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\varphi }}\end{aligned }}

{\begin{aligned}{\mathbf {N} _{emn}(k,\mathbf {r} )={\frac {z_{n}(\rho )}{\rho }}\cos( m\varphi )n(n+1)P_{n}^{m}(\cos(\theta ))\mathbf {e} _{\mathbf {r} }+}\\{+\cos(m\ varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta ))}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\ rho ))\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\theta }-\\{-m\sin(m\varphi ){\frac {P_{n} ^{m}(\cos(\theta ))}{\sin(\theta )}}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\ rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned))

{\begin{aligned}\mathbf {N} _{omn}&(k,\mathbf {r} )={\frac {z_{n}(\rho )}{\rho }}\sin( m\varphi )n(n+1)P_{n}^{m}(\cos(\theta ))\mathbf {e} _{\mathbf {r} }+\\&+\sin(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho } }\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\theta }+\\&+{m\cos(m\varphi ){\frac {P_{n}^ {m}(\cos(\theta ))}{\sin(\theta )}}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned))

Je vidět, že magnetické harmonické nemají žádnou radiální složku. U elektrických harmonických klesá radiální složka rychleji než úhlová, takže ji lze u velkých zanedbat. Kromě toho pro elektrické a magnetické harmonické se shodnými indexy se úhlové složky shodují až do permutace polárních a azimutálních jednotkových vektorů, to znamená, že vektory elektrických a magnetických harmonických jsou v absolutní hodnotě stejné a kolmé ke každému z nich. jiný. $\rho$ $\rho$

Explicitní tvar podélných harmonických:

{\begin{aligned}\mathbf {L} _{^{e}_{o}{mn}}&(k,\mathbf {r} )={\frac {\partial }{\partial r }}z_{n}(kr)P_{n}^{m}(\cos \theta ){^{\cos }_{\sin }}{m\varphi }\mathbf {e} _{r}+ \\&{\frac {1}{r}}z_{n}(kr){\frac {\partial }{\partial \theta }}P_{n}^{m}(\cos \theta ){^ {\cos }_{\sin }}m\varphi \mathbf {e} _{\theta }\mp \\&\mp {\frac {m}{r\sin \theta }}z_{n} (kr )P_{n}^{m}(\cos \theta ){^{\sin }_{\cos }}m\varphi \mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned))

Rotace a inverze souřadnicového systému

Během rotace se vektorové sférické harmonické navzájem transformují stejným způsobem jako odpovídající skalární sférické funkce , které se generují pro určitý typ vektorové harmonické. Pokud jsou například generující funkce běžné sférické funkce , pak budou vektorové harmonické také transformovány pomocí Wignerových D-matic [1] [8] [9]

{\hat {D}}(\alpha ,\beta ,\gamma )\mathbf {Y} _{JM}^{(s)}(\theta ,\varphi )=\součet _{m'= -\ell }^{\ell }[D_{MM'}^{(\ell )}(\alpha ,\beta ,\gamma )]^{*}\mathbf {Y} _{JM'}^{( s)}(\theta,\varphi),

Chování v zatáčkách je stejné pro elektrické, magnetické a podélné harmonické.

Při invertování se elektrické a podélné sférické harmonické chovají stejně jako skalární sférické funkce, tzn.

{\hat {I}}\mathbf {N} _{JM}(\theta ,\varphi )=(-1)^{J}\mathbf {N} _{JM}(\theta ,\varphi ),

a magnetické mají opačnou paritu:

{\hat {I}}\mathbf {M} _{JM}(\theta ,\varphi )=(-1)^{J+1}\mathbf {M} _{JM}(\theta , \varphi ),

Rozpínání rovinné vlny a integrální vztahy

V této části budeme používat následující zápis

{\begin{aligned}Y_{emn}&=\cos m\varphi P_{n}^{m}(\cos \theta )\\Y_{omn}&=\sin m\varphi P_{n }^{m}(\cos \theta )\end{aligned}}

\mathbf {X} _{^{e}_{o}mn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k))\right)=\nabla \times \left(\mathbf {k} Y_{^{o}_{e}mn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k))\right)\right)

\mathbf {Z} _{^{o}_{e}mn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k))\right)=i{\frac {\mathbf {k } }{k))\times \mathbf {X} _{^{e}_{o}mn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k))\right)

V případě, že místo sférických Besselových funkcí lze pomocí expanzního vzorce komplexního exponentu ve sférických funkcích získat následující integrální vztahy: [10] $z_n$

{\displaystyle \mathbf {N} _{pmn}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{4\pi }}\int \mathbf {Z} _{pmn} \left({\frac {\mathbf {k} }{k))\right)e^{i\mathbf {k} \mathbf {r} }d\Omega _{k))

{\displaystyle \mathbf {M} _{pmn}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{4\pi }}\int \mathbf {X} _{pmn} \left({\frac {\mathbf {k} }{k))\right)e^{i\mathbf {k} \mathbf {r} }d\Omega _{k))

V případě, že místo sférických Hankelových funkcí musí být použity jiné expanzní vzorce. [11] [10] Pro vektorové sférické harmonické budou získány následující vztahy: $z_n$

\mathbf {M} _{pmn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{2\pi k}}\iint _{ -\infty }^{\infty }dk_{\|}{\frac {e^{i\left(k_{x}x+k_{y}y\pm k_{z}z\right))){k_ {z}}}\left[\mathbf {X} _{pmn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)\right]

\mathbf {N} _{pmn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{2\pi k}}\iint _{ -\infty }^{\infty }dk_{\|}{\frac {e^{i\left(k_{x}x+k_{y}y\pm k_{z}z\right))){k_ {z}}}\left[\mathbf {Z} _{pmn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)\right]

kde , a horní index znamená, že jsou použity sférické Hankelovy funkce. ${\displaystyle k_{z}={\sqrt {k^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2))))$ $(3)$

Odkazy

↑ 1 2 3 Varshalovich D. A. , Moskalev A. N., Chersonsky V. K. Kvantová teorie momentu hybnosti. Archivní kopie ze dne 11. listopadu 2007 na Wayback Machine - L .: Nauka, 1975.
↑ Boren K., Huffman D. Absorpce a rozptyl světla malými částicemi. - M .: Mir, 1986. - S. 221-222. — 660 s.
↑ 1 2 Stratton J. Elektromagnetická teorie. — NY, McGraw. - S. 392-423.
↑ Akhiezer A.I., Berestetsky V.B. Kvantová elektrodynamika. - 4. - M. , 1981.
↑ R. G. Barrera, G. A. Estévez a J. Giraldo, Vektorové sférické harmonické a jejich aplikace na magnetostatiku , Eur. J Phys. 6 287-294 (1985)
↑ Jackson J. Klasická elektrodynamika. — M .: Mir , 1965.
↑ R. Alaee, C. Rockstuhl, I. Fernandez-Corbaton, Exact Multipolar Decompositions with Applications in Nanophotonics , Advanced Optical Materials 2019, 7, 1800783.
↑ H. Zhang, Yi. Han, Adiční teorém pro sférické vektorové vlnové funkce a její aplikace na tvarové koeficienty svazku. J. Opt. soc. Dopoledne. B, 25(2):255-260, únor 2008.
↑ S. Stein, Adiční teorémy pro sférické vlnové funkce , Quarterly of Applied Mathematics, 19(1):15-24, 1961.
↑ 1 2 B. Stout, Sférické harmonické mřížkové součty pro mřížky. In: Popov E, redaktor. Mřížky: teorie a numerické aplikace. Institut Fresnel, Universite d'Aix-Marseille 6 (2012). . Získáno 29. prosince 2019. Archivováno z originálu dne 21. prosince 2018. (neurčitý)
↑ R. C. Wittmann, Spherical wave operator and the translation formulas, IEEE Transactions on Antennas and Propagation 36, 1078-1087 (1988) . Získáno 29. prosince 2019. Archivováno z originálu dne 29. prosince 2019. (neurčitý)