Nedegenerovaný polovodič

Nedegenerovaný polovodič je polovodič, ve kterém se Fermiho hladina nachází v zakázaném pásmu v energetické vzdálenosti větší , než jsou jeho hranice ( je Boltzmannova konstanta, je absolutní teplota), v důsledku čehož nosiče náboje v tomto polovodiči poslouchat Maxwell-Boltzmannovu statistiku. Leží -li Fermiho hladina uvnitř povolených pásem (uvnitř vodivostního pásma v případě polovodiče typu n nebo ve valenčním pásu v případě typu p ), pak se takový polovodič nazývá degenerovaný . $kT$ $k$ $T$

Rozmístění nosičů v zónách

Protože elektrony mají poloviční celočíselný spin, podřizují se Fermi-Diracovým statistikám

f(E)={\frac {1}{1+\exp {\frac {EF}{kT))))

$f(E)$ je pravděpodobnost, že kvantový stav s energií je vyplněn elektronem; je elektrochemický potenciál nebo Fermiho hladina , která obecně závisí na teplotě. Fermiho hladinu lze také definovat jako energii kvantového stavu, jejíž pravděpodobnost naplnění je za daných podmínek rovna 1/2. $E$ $F$

For má tvar nespojité funkce: $T=0\quad$ $f(E)$

for , což znamená, že všechny kvantové stavy s takovými energiemi jsou naplněny elektrony; $E<F\quad$ $f(E)=1$

pro , takže odpovídající kvantové stavy jsou volné. $E>F\quad$ $f(E)=0$

V , je Fermiho funkce znázorněna jako spojitá křivka a v úzkém energetickém rozsahu řádu několika v blízkosti bodu se rychle mění z 1 na 0. Rozmazání Fermiho funkce je tím větší, čím vyšší je teplota. $T>0\quad$ $kT$ $E=F$

Výpočet statistických veličin je značně zjednodušen, leží-li v energetickém pásmu a je vzdálen od okraje vodivostního pásma o několik . Pak to může být uvažováno ve Fermi-Diracově rozdělení a přechází do Maxwell-Boltzmannovy distribuce klasické statistiky . V tomto případě elektronový plyn není degenerovaný. $F$ $E_{c}$ $kT$ $\exp {\frac {EF}{kT}}\gg 1$ $f(E)=C\exp {\frac {EF}{kT))$

Podobně v polovodiči typu p je pro absenci degenerace děrového plynu nutné, aby Fermiho hladina také ležela uvnitř zakázaného pásu a byla umístěna nad energií o několik . $F$ $E_{v}$ $kT$

Opačný případ, kdy se Fermiho hladina nachází uvnitř vodivostního pásma nebo uvnitř valenčního pásma, je případ degenerovaného elektronu, respektive děrového plynu. V tomto případě je nutné použít rozvod Fermi-Dirac.

Koncentrace nosičů v zónách

Koncentrace elektronů ve vodivém pásu je popsána výrazem

n=\int \limits _{E_{c}}^{\infty }f(E)\rho _{c}(E)dE=N_{c}\Phi _{1/2}(\ xi)

$\xi ={\frac {F-E_{c}}{kT}}$ je chemický potenciál pro elektrony (přesněji jeho bezrozměrná hodnota),

$\rho _{c}(E)={\frac {1}{V}}{\frac {dN}{dE}}$ - hustota elektronových stavů ve vodivém pásmu - počet stavů na jednotkový energetický interval na jednotku objemu,

$N_{c}=2\left({\frac {m_{c}kT}{2\pi \hbar ^{2}}}\right)^{3/2}$ je efektivní hustota stavů ve vodivém pásmu.

Hodnota integrálu závisí pouze na chemickém potenciálu a teplotě. Tento integrál je známý jako Fermi-Diracův integrál s indexem 1/2: $\Phi _{1/2}(\xi )$

\Phi _{1/2}(\xi )={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x^ {1/2}}{1+\exp {(x-\xi )}}}

Výpočet koncentrace děr ve valenčním pásmu se provádí obdobně, rozdíl od předchozího případu je pouze v tom, že je použita hustota stavů ve valenčním pásmu a nikoli počet obsazených, ale počet neobsazených stavů. v úvahu : $\rho _{v}(E)$ $f_{p}=(1-f)$

p=\int \limits _{-\infty }^{E_{v}}f_{p}(E)\rho _{v}(E)dE=N_{v}\Phi _{1/ 2}(\eta)

$N_{v}=2\left({\frac {m_{v}kT}{2\pi \hbar ^{2}}}\right)^{3/2}$ je efektivní hustota stavů ve valenčním pásmu,

$\eta ={\frac {E_{v}-F}{kT))$ je chemický potenciál pro díry, bezrozměrný parametr charakterizující polohu Fermiho hladiny vzhledem k okraji valenčního pásu.

Pro nedegenerované polovodiče je významný pouze konec Fermiho rozdělení, který lze aproximovat Maxwell-Boltzmannovým rozdělením. V tomto případě má Fermi-Diracův integrál tvar a koncentrace nosičů v pásmech jsou určeny výrazy: $\Phi _{1/2}(\xi )=\exp {\xi }$

n=N_{c}\exp {\frac {-(E_{c}-F)}{kT))

p=N_{v}\exp {\frac {E_{v}-F}{kT))

Faktor před exponentem udává pravděpodobnost naplnění kvantového stavu energií (nebo energií v případě děr ) elektrony. V důsledku toho se pro nedegenerovaný polovodič ukazuje koncentrace mobilních elektronů stejná, jako kdyby místo spojitého rozložení stavů v pásmu byly v každé objemové jednotce stavy se stejnou energií . $E_{c}$ $E_{v}$ $N_{c}$ $E_{c}$

Argumentujeme obdobně, při výpočtu koncentrace děr lze valenční pásmo nahradit množinou stavů se stejnou energií , jejichž počet v každé jednotce objemu je . $E_{v}$ $N_v$

V nedegenerovaných polovodičích je koncentrace majoritních nosičů malá ve srovnání s efektivními hustotami stavů . U degenerovaných polovodičů je tomu naopak. Porovnáním naměřených hodnot koncentrací elektronů a děr s hodnotami , lze tedy okamžitě zjistit, zda je daný polovodič degenerovaný či nikoliv. $N_{v},N_{c}$ $N_{v},N_{c}$

Poměr závisí především na poloze Fermiho hladiny vzhledem k okrajům pásma. Z výrazů pro koncentrace je vidět , že koncentrace mobilních nosičů náboje bude vyšší v pásmu, ke kterému se Fermiho hladina nachází blíže. Proto se u polovodičů typu n Fermiho hladina nachází v horní polovině zakázaného pásu a u polovodičů typu p ve spodní polovině. Součin hustoty elektronu a děr pro nedegenerovaný polovodič však nezávisí na poloze Fermiho hladiny a je roven . ${\frac {n}{p))$ $n,p$ $np=N_{c}N_{v}\exp {\frac {-E_{g}}{kT}}$

Literatura

Bonch-Bruevich V. L. , Kalašnikov S. G. Fyzika polovodičů. — Moskva: Nauka, 1977.
Lebedev AI Fyzika polovodičových součástek . - Fizmatlit Moskva, 2008. - 488 s. - ISBN 978-5-9221-0995-6.