Vysochansky-Petuninova nerovnost

V teorii pravděpodobnosti dává Vysochansky- Petuninova nerovnost dolní mez pravděpodobnosti , s níž je náhodná veličina s konečným rozptylem v intervalu, jehož hranice jsou dány jako určitá část směrodatné odchylky od střední hodnoty této náhodné veličiny. Na druhou stranu je to ekvivalentní tvrzení, že nerovnost označuje horní hranici pravděpodobnosti, že náhodná veličina bude mimo tento interval. Jediným omezením funkce hustoty pravděpodobnosti je, že musí být unimodální a mít konečný rozptyl. (Z toho vyplývá, že taková funkce hustoty distribuce je spojitá s výjimkou bodu modu, který může mít pravděpodobnost větší než nula). Tato nerovnost platí také pro ostře zkosená rozdělení, čímž se nastavují hranice pro množinu hodnot náhodné proměnné, které spadají do určitého intervalu.

Nechť X je náhodná veličina s unimodálním rozdělením, střední hodnotou a konečným nenulovým rozptylem . Pak pro jakoukoli , $\mu$ $\sigma ^{2}$ $\lambda >{\sqrt {8 \over 3}}\cca 1,63299$

P(\left|X-\mu \right|\geq \lambda \sigma )\leq {\frac {4}{9\lambda ^{2))}.

Je také ukázáno, že v případě, kdy , existují asymetrická rozdělení, u kterých je hranice porušena. $\lambda <{\sqrt {8 \over 3}}$ $4 \over {9\lambda ^{2}}$

Tato věta posiluje Čebyševovu nerovnost , včetně zlomku , kvůli skutečnosti, že omezení unimodality je uvaleno na hustotu distribuce náhodné veličiny. $4\over 9$

V aplikacích matematické statistiky se velmi často používá heuristické pravidlo, ve kterém , což odpovídá horní hranici pravděpodobnosti , a tím je sestrojena mez, která zahrnuje 95,06 % hodnoty náhodné veličiny. V případě normálního rozdělení se skóre zlepšuje na 99,73 %. $\lambda =3$ ${4 \over 81}\cca 0,04938$

Viz také

Gaussova nerovnost , podobný výsledek, kdy je vzdálenost převzata z režimu spíše než ze střední hodnoty.

Zdroje

Vysochansky D. F., Petunin Yu. I. Zdůvodnění pravidla 3-sigma pro unimodální distribuce. — Teorie pravděpodobnosti a mat. statistika, 1979, no. 21, str. 23-35.