Norm (teorie pole)

Norma je zobrazení prvků konečného rozšíření E pole K do původního pole K , definovaného takto:

Nechť E je konečné rozšíření pole K stupně n , je nějaký prvek pole E . Protože E je vektorový prostor nad K , tento prvek definuje lineární transformaci . Tato transformace v nějaké bázi může být spojena s maticí . Determinant této matice se nazývá norma prvku α . Protože v jiné bázi bude zobrazení odpovídat podobné matici se stejným determinantem, norma nezávisí na zvolené bázi, to znamená, že prvek rozšíření může být jednoznačně spojen s její normou. Označuje se nebo jednoduše , pokud je jasné, o jaké rozšíření se jedná. $\alpha$ $x\mapsto \alpha x$ $N_{K}^{E}(\alpha )$ $N(\alpha )$

Vlastnosti

$N(\alpha )=0$ pokud a jen tehdy . $\alpha =0$
$N_{K}^{E}(\alpha )=\alpha ^{[E:K]}$ pro každého $\alpha \v K$
$N(\alpha \beta )=N(\alpha )\cdot N(\beta )$
Norma je tranzitivní, to znamená pro řetězec rozšíření , který máme $K\podmnožina E\podmnožina F$ $N_{K}^{E}(N_{E}^{F}(\alpha ))=N_{K}^{F}(\alpha )$
Jestliže E = K ( α ) je jednoduché algebraické rozšíření a f ( x ) = x n + a n -1 x n -1 + … + a 1 x+ a 0 je tedy minimální polynom α ${\displaystyle N_{K}^{E}(\alpha )=(-1)^{n}a_{0))$

Vyjádření normy pomocí automorfismů E nad K

Nechť σ 1 , σ 2 … σ m jsou všechny automorfismy E , které udržují prvky pole K neměnné . Jestliže E je Galoisovo rozšíření , pak m je rovno stupni [ E : K ] = n . Potom pro normu existuje následující výraz:

$N_{K}^{E}(\alpha )=\sigma _{1}(\alpha )\sigma _{2}(\alpha )\ldots \sigma _{m}(\alpha )$

Jestliže E není separovatelné, pak m≠n , ale n je násobek m a podíl je nějaká mocnina charakteristiky p .

Pak $N_{K}^{E}(\alpha )=(\sigma _{1}(\alpha )\sigma _{2}(\alpha )\ldots \sigma _{m}(\alpha )) ^{n/m}.$

Příklad

Nechť R je těleso reálných čísel , C těleso komplexních čísel považovaných za rozšíření R. Potom v základu násobení by odpovídá matici $(1,i)$ $a+bi$

{\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}

Determinant této matice je , tedy druhá mocnina obvyklého modulu komplexního čísla . Všimněte si, že tato norma je obvykle definována jako a to dobře souhlasí se skutečností, že jediným netriviálním automorfismem oboru komplexních čísel je komplexní konjugace . $a^{2}+b^{2}$ $|z|^{2}=z{\bar {z)),$

Viz také

Literatura

Van der Waerden B. L. Algebra. — M .: Nauka, 1975.
Zarissky O., Samuel P. Komutativní algebra. - M. : IL, 1963. - T. 1.
Leng S. Algebra. — M .: Mir, 1967.