Inverzní hyperbolické funkce

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 21. října 2021; kontroly vyžadují 5 úprav .

Inverzní hyperbolické funkce (také známé jako plošné funkce nebo plošné funkce ) jsou rodinou základních funkcí definovaných jako inverzní funkce k hyperbolickým funkcím . Tyto funkce určují plochu sektoru jednotkové hyperboly x 2 − y 2 = 1 stejným způsobem, jako inverzní goniometrické funkce určují délku oblouku jednotkové kružnice x 2 + y 2 = 1 . Pro tyto funkce se často používají označení arcsinh, arcsh, arccosh, arcch atd., ačkoli tato označení jsou, přísně vzato, chybná, protože předpona arc je zkratka pro arcus (arc) a vztahuje se tedy pouze na inverzní goniometrické funkce , pak jako ar znamená oblast . Správnější zápisy jsou arsinh, arsh atd. a názvy inverzní hyperbolický sinus , areaine atd. Používají se také [1] názvy hyperbolický areasinus , hyperbolický areakosinus atd., ale slovo „ hyperbolický “ je zde nadbytečné, protože předpona „ area “ jasně naznačuje, že funkce patří do rodiny inverzních hyperbolických funkcí . Někdy se názvy odpovídajících funkcí píší s pomlčkou : area-sine , area-cosine atd.

V komplexní rovině jsou hyperbolické funkce periodické a jejich inverzní funkce jsou vícehodnotové. Proto je, podobně jako inverzní goniometrické funkce, obvyklé psát plošné funkce velkým písmenem, pokud je myšlena množina hodnot funkce ( logaritmus v příslušné definici funkce je také chápán jako obecná hodnota logaritmu, označovaná od Ln). Hlavní hodnoty odpovídajících funkcí jsou psány malým písmenem.

V ruské literatuře se označení většiny přímých a inverzních hyperbolických funkcí (a také částí goniometrických funkcí) liší od anglických označení.

Název funkce	Označení v ruské literatuře	Označení v anglické literatuře
areainus	arsh	arsinh, sinh −1
areacosine	oblouk	arcosh, cosh -1
plošná tečna	arth	artanh, tanh −1
plošná tečna	oblouk	arcoth, coth -1
plošný výběr	arsch, arsech	arsech, sech -1
oblastcosekant	arcsch	arcsch, csch− 1

Definice funkcí

V komplexní rovině lze hlavní hodnoty funkcí určit pomocí vzorců:

areainus

\operatorname {arsh}\,z=\ln(z+{\sqrt {z^{2}+1}}\,);

areacosine

\operatorname {arch} \,z=\ln(z+{\sqrt {z^{2}-1)))

plošná tečna

\operatorname {arth}\,z={\tfrac 12}\ln \left({\frac {1+z}{1-z}}\right);

plošná tečna

\operatorname {arcth}\,z={\tfrac 12}\ln \left({\frac {z+1}{z-1}}\right);

plošný výběr

\operatorname {arsech} \,z=\ln \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt ({\frac {1}{z^{2}}}-1}} \že jo);

oblastcosekant

\operatorname {arcsch}\,z=\ln \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt ({\frac {1}{z^{2}}}+1}}\,\ že jo).

Odmocniny v těchto vzorcích jsou hlavní hodnoty odmocniny (to znamená, pokud reprezentujete komplexní číslo z jako v ), a logaritmické funkce jsou funkcemi komplexní proměnné. U skutečných argumentů lze například provést určitá zjednodušení, která ne vždy platí pro hlavní hodnoty odmocnin. ${\sqrt {z}}={\sqrt {r}}\,e^{i\varphi /2},$ ${\displaystyle z=re^{i\varphi ))$ $-\pi <\varphi \leq \pi$ ${\sqrt {x+1}}{\sqrt {x-1}}={\sqrt {x^{2}-1)),$

Rozšíření řady

Inverzní hyperbolické funkce lze rozšířit do řad :

{\begin{aligned}\operatorname {arsh} \,x&=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}} +\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\ cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty } \left({\frac {(-1)^{n}(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right){\frac {x^{2n+1}}{(2n+ 1 )}},\qquad \left|x\right|<1.\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {arch} \,x&=\ln 2x-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2 }}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\ frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln 2x-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2))}\right){\frac { x^{-2n}}{(2n)}},\qquad x>1.\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {arth} \,x&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{ \frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1 )}},\qquad \left|x\right|<1.\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {arcsch} \,x=\operatorname {arsh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}-\left({\frac {1 }{2}}\right){\frac {x^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac { x^{-5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-7} }{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n }(n!)^{2))}\right){\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|>1. \end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {arsech} \,x=\operatorname {arch} {\frac {1}{x}}&=\ln {\frac {2}{x}}-\left (\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4} }\right){\frac {x^{4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln {\frac {2}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }\left( {\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n}}{2n}},\qquad 0<x\leq 1.\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {arcth} \,x=\operatorname {arth} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}+{\frac {x^{- 3}}{3}}+{\frac {x^{-5}}{5}}+{\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots \\&=\součet _{ n=0}^{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|>1.\end{aligned} }

Asymptotická expanze arsh x je dána vztahem

\operatorname {arsh}\,x=\ln 2x+\součet \limits _{{n=1}}^{\infty }{\left({-1}\right)^{{n-1}}{\ frac {{\left({2n-1}\right)!!}}{{2n\left({2n}\right)!!}}}}{\frac {1}{{x^{{2n} }}}}.

Deriváty

Funkce $f(x)$	Derivát $f'(x)$	Poznámka
$\mathrm {arsh} \ x$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1))))$	Důkaz ${\displaystyle (arsh(x))'=(\ln {(x+{\sqrt {x^{2}+1)))})'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{ 2}+1))))\cdot (x+{\sqrt {x^{2}+1)))'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1))} }\cdot ((x)'+({\sqrt {x^{2}+1)))')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1)))) \cdot (1+({\sqrt {x^{2}+1}})')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}}}\cdot (1 +{\frac {1}{2{\sqrt {x^{2}+1))))\cdot (x^{2}+1)')={\frac {1}{x+{\sqrt { x^{2}+1))))\cdot (1+{\frac {2x}{2{\sqrt {x^{2}+1)))))={\frac {1}{x+{ \sqrt {x^{2}+1))))\cdot ({\frac {x+{\sqrt {x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}} )={\frac {x+{\sqrt {x^{2}+1}}}{(x+{\sqrt {x^{2}+1}})\cdot ({\sqrt {x^{2} +1)))))={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1))))$
$\mathrm {arch} \ x$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1))))$	Důkaz ${\displaystyle (arch(x))'=(\ln {(x+{\sqrt {x^{2}-1)))})'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{ 2}-1))))\cdot (x+{\sqrt {x^{2}-1)))'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1))} }\cdot ((x)'+({\sqrt {x^{2}-1)))')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1)))) \cdot (1+({\sqrt {x^{2}-1}})')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}}}\cdot (1 +{\frac {1}{2{\sqrt {x^{2}-1))))\cdot (x^{2}-1)')={\frac {1}{x+{\sqrt { x^{2}-1))))\cdot (1+{\frac {2x}{2{\sqrt {x^{2}-1)))))={\frac {1}{x+{ \sqrt {x^{2}-1))))\cdot ({\frac {x+{\sqrt {x^{2}-1}}}{\sqrt {x^{2}-1}}} )={\frac {x+{\sqrt {x^{2}-1}}}{(x+{\sqrt {x^{2}-1}})\cdot ({\sqrt {x^{2} -1)))))={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1))))$
$\mathrm {arth} \x$	${\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2))))$	Důkaz $({\displaystyle \mathrm {arth} \ x})'={\biggl (}{\frac {1}{2))\cdot \ln {\biggl (}{\frac {1+x} {1-x}}{\biggl )}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-x}{1+x}}\cdot {\biggl ( }{\frac {1+x}{1-x}}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-x}{1+x}}\cdot {\frac {(1+x)'(1-x)-(1+x)(1-x)'}{(1-x)^{2))}={\frac {1}{2} }\cdot {\frac {1-x}{1+x}}\cdot {\frac {2}{(1-x)^{2}}}={\frac {1}{1-x^{ 2}}}$
$\mathrm {arcth} \x$	${\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2))))$	Důkaz $({\displaystyle \mathrm {arcth} \ x})'={\biggl (}{\frac {1}{2))\cdot \ln {\biggl (}{\frac {x+1} {x-1}}{\biggl )}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {x-1}{x+1}}\cdot {\biggl ( }{\frac {x+1}{x-1}}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {x-1}{x+1}}\cdot {\frac {(x+1)'(x-1)-(x+1)(x-1)'}{(x-1)^{2))}={\frac {1}{2} }\cdot {\frac {x-1}{x+1}}\cdot {\frac {-2}{(x-1)^{2}}}={\frac {1}{1-x^ {2}}}$
$\mathrm {arsech} \x$	${\displaystyle -{\frac {1}{x(x+1){\sqrt {\frac {1-x}{1+x)))))))$
$\mathrm {arcsch} \x$	${\displaystyle -{\frac {1}{x(x+1){\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2))))))))))$