Homogenní diferenciální rovnice

Existují dva koncepty homogenity diferenciálních rovnic .

Jednotnost v argumentu

O obyčejné rovnici prvního řádu se říká , že je homogenní vzhledem k x a y , pokud je funkce homogenní stupně 0: $y'=f(x,y)$ $f(x,y)$

f(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{0}f(x,y)=f(x,y)

Homogenní funkce může být reprezentována jako funkce : ${\frac {y}{x))$

\ f(x,y)=f\left(1,{\frac {y}{x}}\right)=g\left({\frac {y}{x}}\right)

Použijeme substituci a poté použijeme pravidlo součinu : . Potom se diferenciální rovnice redukuje na rovnici s oddělitelnými proměnnými: ${\frac {y}{x}}=u$ ${\frac {d(ux)}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u{\frac {dx}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+ u$ $y'=f(x,y)$

u'x+u=g(u)\Šipka doprava {\frac {du}{ug(u)))+{\frac {dx}{x}}=0

Jednotnost na pravé straně

Diferenciální rovnice je homogenní, pokud neobsahuje volný člen – člen, který nezávisí na neznámé funkci. Můžeme tedy říci, že rovnice je homogenní, jestliže . $F(y,y',y'',\ldots )=G(x)$ $G(x)\ekviv 0$

Jestliže , jeden mluví o nehomogenní diferenciální rovnici . $G(x)\neq 0$

Právě pro řešení lineárních homogenních diferenciálních rovnic byla vybudována celá teorie, k čemuž přispělo naplnění jejich principu superpozice .

Homogenní diferenciální rovnice

Jednotnost v argumentu

Jednotnost na pravé straně

Viz také