Prstencový prostor

Okružní prostor je topologický prostor , jehož každá otevřená množina je spojena s komutativním kruhem „funkcí“ na této množině. V definici schémat se používají zejména kruhové prostory .

Definice

Prstencový prostor je topologický prostor spolu se svazkem komutativních kruhů na něm. Tento svazek se nazývá prostorový strukturální svazek . $(X, {\mathcal O}_{X})$ $X$ ${\mathcal O}_{X}$ $X$

Místně prstencový prostor je prstencový prostor takový, že vlákno snopu v jakémkoli bodě je místní prstenec . ${\mathcal O}_{X}$

Příklady

Jakýkoli topologický prostor může být vybaven strukturou lokálně prstencového prostoru, pokud na něm vezmeme v úvahu svazek spojitých reálně hodnotných funkcí. Vlákno tohoto svazku v bodě x — prstenec zárodků spojitých reálně hodnotných funkcí v x — je lokální prstenec , jehož jediným maximálním ideálem jsou zárodky funkcí, které mizí v x . Podobně hladký rozdělovač s tužkou hladkých funkcí je místně kroužkovaný prostor.

Je -li X algebraická varieta se Zariskiho topologií (např. spektrum nějakého prstence), struktura lokálně prstencového prostoru na něm je zavedena následovně: je množina racionálních funkcí definovaná na celém U . Takový prstencový prostor se nazývá afinní schéma , obecná schémata jsou definována jako výsledek „slepení“ několika afinních schémat. ${\mathcal O}_{X} (U)$

Morfismy prstencových prostorů

Chcete-li zadat morfismus od do , musíte opravit následující informace: $(X, {\mathcal O}_{X})$ $(Y,{\mathcal {O}}_{Y})$

Nepřetržité zobrazení . $f:X\to Y$
Pro každou otevřenou podmnožinu kruhový homomorfismus . $U\in Y$ $\varphi _{U}:{\mathcal {O}}_{Y}(U)\to {\mathcal {O}}_{X}(f^{-1}(U))$

Kruhové homomorfismy musí být konzistentní se strukturou svazku, to znamená, že musí komutovat s restrikčními zobrazeními. Konkrétně, pokud jsou otevřené podmnožiny , musí být následující diagram komutativní: $V_{1}\subset V_{2}$ $Y$

Morfismy místně prstencových prostorů musí splňovat ještě jeden požadavek. Homomorfismy pro každý bod indukují homomorfismus z vrstvy v bodě do vrstvy v bodě . Požaduje se, aby všechny tyto homomorfismy byly lokální , tj. vzaly maximální ideál předobrazu na podmnožinu maximálního ideálu obrazu. $\varphi$ $x\in X$ ${\mathcal {O}}_{Y}$ $f(x)$ ${\mathcal O}_{X}$ $X$

Tangentní prostor

Struktura lokálně prstencových prostorů nám umožňuje zavést smysluplnou definici tečného prostoru v jeho bodě. Zvažte bod v prstencovém prostoru . Uvažujme lokální prstenec (vlákno svazku v x ) s maximálním ideálem . Pak je pole, je vektorový prostor nad tímto polem. Tangentní prostor v bodě je definován jako duál tohoto prostoru. $x\in X$ $(X, {\mathcal O}_{X})$ $R_{x}$ ${\mathfrak {m}}_{x}$ $R_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}$ ${\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2}$ $X$

Myšlenka je tato: prostor tečny se skládá z vektorů, podél kterých lze "odlišit" "funkce" v daném bodě, tedy prvky prstence . Stačí najít způsob, jak derivovat funkce, jejichž hodnota je v daném bodě rovna nule, protože zbytek se od nich liší konstantou, to znamená, že stačí popsat derivace funkcí od . V tomto případě je diferenciál součinu dvou funkcí z roven nule (chceme, aby vzorec pro derivaci součinu zůstal pravdivý). Proto musí vektor přiřadit každému prvku číslo a to je to, co prvky duálního prostoru dělají . $R_{x}$ ${\mathfrak {m}}_{x}$ ${\mathfrak {m}}_{x}$ ${\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2}$

Je snadné zkontrolovat, že v případě hladkých rozdělovačů se svazkem hladkých funkcí se tato definice shoduje s obvyklou. Na druhou stranu v případě topologického prostoru s tužkou spojitých (reálných) funkcí , protože pro spojitou funkci je funkce také spojitá. Proto v tomto případě má tečný prostor v libovolném bodě rozměr 0. ${\mathfrak {m}}_{x}={\mathfrak {m}}_{x}^{2}$ $f(x)$ ${\sqrt {|f(x)|}}$

Literatura

Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). Elements de geometrie algébrique: I. Le langage des schémas. Archivováno 6. března 2016 na Wayback Machine Publications Mathématiques de l'IHÉS 4. Sekce 0.4.
Ringed space - článek z Encyklopedie matematiky . A. L. Onishchik