Operátor Sobel

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 26. srpna 2014; kontroly vyžadují 14 úprav .

Sobelův operátor je diskrétní diferenciální operátor , který vypočítává přibližnou hodnotu gradientu jasu obrazu . Výsledkem použití Sobelova operátoru v každém bodě obrázku je buď vektor gradientu jasu v tomto bodě, nebo jeho norma . Používá se zejména v oblasti zpracování obrazu , často se používá v algoritmech detekce hran .

Popis

Sobelův operátor je založen na konvoluci obrazu pomocí malých oddělitelných celočíselných filtrů ve vertikálním a horizontálním směru, takže je poměrně snadné jej vypočítat. Na druhou stranu jím používaná aproximace gradientu je dost drsná, zejména pro vysokofrekvenční oscilace obrazu.

Operátor vypočítá gradient jasu obrazu v každém bodě. Takto se zjistí směr největšího nárůstu jasu a velikost jeho změny v tomto směru. Výsledek ukazuje, jak „ostře“ nebo „hladce“ se v každém bodě mění jas obrazu, a tedy pravděpodobnost nalezení bodu na hraně a také orientace hrany. V praxi je výpočet velikosti změny jasu (pravděpodobnost příslušnosti k obličeji) spolehlivější a snáze interpretovatelný než výpočet směru.

Matematicky je gradient funkce dvou proměnných pro každý bod obrazu (což je funkce jasu) dvourozměrný vektor , jehož složkami jsou horizontální a vertikální derivace jasu obrazu. V každém bodě obrázku je gradientní vektor orientován ve směru největšího nárůstu jasu a jeho délka odpovídá velikosti změny jasu. To znamená, že výsledkem Sobelova operátoru v bodě ležícím v oblasti konstantní jasnosti bude nulový vektor a v bodě ležícím na hranici oblastí různé jasnosti vektor překračující hranici ve směru rostoucí jasnosti. .

Formalizace

Přísně vzato, operátor používá jádra, se kterými je původní obrázek konvolvován, k výpočtu přibližných hodnot horizontálních a vertikálních derivací. Dovolit být původní obrázek a a být dva obrázky, na kterých každý bod obsahuje přibližné derivace s ohledem na a s ohledem na . Vypočítávají se takto: $3 krát 3$ $\mathbf {A}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{x))$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{y))$ $x$ $y$

\mathbf {G} _{y}={\begin{bmatrix}-1&-2&-1\\0&0&0\\+1&+2&+1\\\end{bmatrix))*\mathbf {A} \quad {\mbox{and}}\quad \mathbf {G} _{x}={\begin{bmatrix}-1&0&+1\\-2&0&+2\\-1&0&+1\end{bmatrix}}* \mathbf {A}

kde označuje dvourozměrnou konvoluční operaci. $*$

Souřadnice se zde zvyšuje "doprava" a - "dolů". V každém bodě obrázku lze vypočítat přibližnou hodnotu hodnoty gradientu pomocí získaných přibližných hodnot derivací: $x$ $y$

{\mathbf {G}}={\sqrt {({\mathbf {G}}_{x}}^{2}+{{\mathbf {G}}_{y}}^{2}}}

(myšleno prvek po prvku).

Pomocí těchto informací můžeme také vypočítat směr gradientu:

{\mathbf {\Theta }}=\jméno operátora {arctan}\left(({\mathbf {G}}_{y} \over {\mathbf {G}}_{x}}\right)

kde například úhel Θ je nula pro vertikální hranici, která má temnou stranu vlevo.

Upřesnění

Protože funkce jasu je známá pouze v diskrétních bodech, nemůžeme určit derivace, dokud nenastavíme jas jako diferencovatelnou funkci , která prochází těmito body. S tímto dodatečným předpokladem lze derivaci funkce diferencovatelného jasu vypočítat z funkce, ze které jsou měření vzata - obrazových bodů. Ukazuje se, že derivace v libovolném jednotlivém bodě jsou funkcemi jasu ze všech bodů na obrázku. Aproximace jejich derivací však lze určit s větší či menší mírou přesnosti.

Sobelův operátor je nepřesnější aproximací gradientu obrazu, ale pro praktické aplikace v mnoha problémech je dostatečně kvalitní. Přesněji řečeno, operátor používá pouze hodnoty intenzity v blízkosti každého pixelu k získání aproximace odpovídajícího gradientu obrazu a k odhadu gradientu používá pouze celočíselné hodnoty hmotnosti jasu. $3 krát 3$

Rozšíření o další počet dimenzí

Sobelův operátor se skládá ze dvou samostatných operací [1] :

Vyhlazení pomocí trojúhelníkového filtru ve směru kolmém na derivaci: $h(-1)=1;\quad h(0)=2;\quad h(1)=1.$
Nalezení jednoduché centrální změny ve směru derivace: $h'(-1)=1;\quad h'(0)=0;\quad h'(1)=-1.$

Vzorce Sobelova filtru pro derivace obrázků v různých prostorech pro : $x,y,z,t\in(0,-1,1)$

jednorozměrný prostor : $h_{x}'(x)=h'(x);$
dvourozměrný : $h_{x}'(x,y)=h'(x)h(y);$
trojrozměrný : $h_{x}'(x,y,z)=h'(x)h(y)h(z);$
čtyřrozměrný : $h_{x}'(x,y,z,t)=h'(x)h(y)h(z)h(t).$

Zde je příklad trojrozměrného Sobelova jádra pro osu : $z$

h_{z}'(:,:,-1)={\begin{bmatrix}+1&+2&+1\\+2&+4&+2\\+1&+2&+1\end{bmatrix} };\quad h_{z}'(:,:,0)={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix));\quad h_{z}'(:,:,1 )={\begin{bmatrix}-1&-2&-1\\-2&-4&-2\\-1&-2&-1\end{bmatrix)).

Technické detaily

Jak vyplývá z definice, Sobelův operátor lze implementovat pomocí jednoduchých technických a softwarových nástrojů: k aproximaci vektoru gradientu je potřeba pouze osm pixelů kolem bodu obrazu a celočíselná aritmetika. Oba výše popsané diskrétní filtry lze navíc oddělit:

{\begin{bmatrix}+1&0&-1\\+2&0&-2\\+1&0&-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix} }{\begin{bmatrix}+1&0&-1\end{bmatrix));\quad \quad {\begin{bmatrix}+1&+2&+1\\0&0&0\\-1&-2&-1\end{bmatrix} }={\begin{bmatrix}+1\\0\\-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2&1\end{bmatrix}},

a dvě derivace a , lze nyní vypočítat jako ${\displaystyle \mathbf {G} _{x))$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{y))$

\mathbf {G} _{x}={\begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix}}*\left({\begin{bmatrix}+1&0&-1\end{bmatrix }}*\mathbf {A} \right);\quad \quad \mathbf {G} _{y}={\begin{bmatrix}+1\\0\\-1\end{bmatrix}}*\left ({\begin{bmatrix}1&2&1\end{bmatrix}}*\mathbf {A} \right).

Oddělení těchto výpočtů může vést ke snížení aritmetických operací s každým pixelem.

Použití konvoluce na skupinu pixelů může být reprezentováno pseudokódem : $K$ $P$

N(x, y) = Součet { K(i, j).P(xi, yj)}, pro i, j od -1 do 1.

N(x, y) je výsledkem aplikace konvoluční matice K na P.

Softwarová implementace operátoru Sobel dokáže efektivně využít SIMD rozšíření instrukční sady moderních procesorů (tzv. kódová vektorizace), přičemž zisk v rychlosti výpočtu operátoru může být až pětinásobný oproti vysoko- implementace úrovně [2] . Ruční kódování v jazyce symbolických instrukcí vám umožňuje překonat rychlost kompilátorů, jako je Microsoft Visual C++ a Intel C++ Compiler .

Výpočet Sobelova operátoru je jednoduše paralelizován do libovolného počtu vláken (v limitu lze každý bod výsledného obrázku vypočítat nezávisle na jeho sousedech). Pokud jsou například dva procesory ( jádra ), horní polovinu snímku může zpracovávat jeden z nich a dolní jeden druhý.

Příklady

Výsledkem použití Sobelova operátoru je dvourozměrná gradientová mapa pro každý bod. Lze jej zpracovat a zobrazit jako obrázek, na kterém budou oblasti s velkou hodnotou gradientu (většinou okraje) viditelné jako bílé čáry. Níže uvedené obrázky to ilustrují jednoduchým obrázkem jako příklad:

Operátor Scharr

Sobelův operátor vyhlazuje rušivé efekty na obraz způsobené čistě centrálním diferenciálním operátorem , ale nemá plnou rotační symetrii . Scharr zkoumal zlepšení této vlastnosti a dospěl k závěru, že nejlepší výsledky dává následující jádro [3] [4] :

${\begin{bmatrix}+3&+10&+3\\0&0&0\\-3&-10&-3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}+3&0&-3\\+10&0&-10\\ +3&0&-3\end{bmatrix}}.$

Viz také

Digitální zpracování obrazu
počítačové vidění
Zvýraznění okrajů
Operátor Canny
Spád
Cross Roberts operátor (nejjednodušší operátor detekce hran)
Diskrétní Laplaceův operátor
Operátor Pruitt

Poznámky

↑ K. Engel (2006), Real-time volume graphics, , str. 112-114
↑ Vatutin E.I., Miroshnichenko S.Yu., Titov V.S. Softwarová optimalizace operátora Sobel pomocí SIMD rozšíření procesorů rodiny x86 . Telekomunikace. 2006. č. 6. S. 12-16. (2006). Získáno 9. března 2010. Archivováno z originálu dne 13. dubna 2012. (neurčitý)
↑ Scharr, Hanno, 2000, disertační práce (v Německu), Optimální operátoři v digitálním zpracování obrazu .
↑ B. Jähne, H. Scharr a S. Körkel. Principy návrhu filtrů. In Příručka počítačového vidění a aplikací. Academic Press, 1999.

Literatura

Sobel I., Feldman G. "A 3x3 Isotropic Gradient Operator for Image Processing", 1968 (nepublikováno).
Duda R., Hart P. Klasifikace vzorů a analýza scény. - John Wiley and Sons, 1973. - S. 271-272. (Duda R., Hart P. Rozpoznávání vzorů a analýza scény. Z angličtiny přeložili Weinstein G.G. a Vasilkovsky A.M. - M.: Mir, 1976.)

Odkazy

Seznam odkazů na díla Irwina Sobela Archivováno 28. prosince 2009 na Wayback Machine v projektu Digital Bibliography & Library Project
Analýza snížení chyb operátora Sobel
Operátory výběru hranic odolné vůči šumu
Operátor Sobel Archivováno 9. května 2011 na Wayback Machine v OpenCV