Numerická diferenciace

Numerická derivace je soubor metod pro přibližný výpočet hodnoty derivace nějaké funkce , uvedené v tabulce nebo mající složité analytické vyjádření.

Konečné rozdíly

Derivace funkce v bodě je definována pomocí limity : $F$ $X$

f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h)).

V čitateli zlomku pod znaménkem limity je konečný rozdíl funkce , ve jmenovateli je krok tohoto rozdílu. Nejjednodušší metodou pro aproximaci derivace je proto použití konečných diferencí funkce s nějakým dostatečně malým krokem . Například výraz $F$ $F$ $h$

{\frac {f(x+h)-f(x)}{h))

aproximuje derivaci funkce v bodě až do hodnoty úměrné . Použití výrazu $F$ $X$ $h$

{\frac {f(x+h)-f(xh)}{2h))

umožňuje snížit chybu aproximace na hodnotu úměrnou . $h^{2}$

Konečné rozdíly mohou také aproximovat deriváty vyššího řádu.

Interpolace

Pokud jsou známy hodnoty funkce v některých uzlech , pak je možné sestrojit interpolační polynom (například v Lagrangeově formě nebo v Newtonově formě ) a přibližně nastavit $F$ ${\displaystyle x_{0},x_{1},\ldots ,x_{N))$ $P_{N} (x)$

f^{(r)}(x)\přibližně P_{N}^{(r)}(x),\;0\leq r\leq N.

Takové výrazy se nazývají numerické derivační vzorce.

Někdy spolu s přibližnou rovností je možné (například pomocí Taylorova vzorce ) získat přesnou rovnost obsahující zbytek , nazývaný chyba numerické derivace: $R(x)$

f^{(r)}(x)=P_{N}^{(r)}(x)+R(x),\;0\leq r\leq N.

Takové výrazy se nazývají vzorce numerického derivování se zbytkovými členy. Míra, s jakou hodnota vstupuje do zbytku, se nazývá řád chyby numerického derivačního vzorce. $h={\mbox{max}}\{x_{i}-x_{i-1}\,|\,i=1,\ldots ,N\}$

Následuje několik vzorců pro numerickou derivaci se zbytkovými členy pro první a druhou derivaci pro ekvidistantní uzly s konstantním krokem , získaných pomocí Lagrangeova vzorce: $({r=1})$ $({r=2})$ ${h>0}{101}$

$r=1,\;N=1$ (dva uzly):

f'(x_{0})={\frac {f_{1}-f_{0}}{h}}-{\frac {h}{2}}f''(\xi ),

f'(x_{1})={\frac {f_{1}-f_{0}}{h}}+{\frac {h}{2}}f''(\xi ).

$r=1,\;N=2$ (tři uzly):

f'(x_{0})={\frac {-3f_{0}+4f_{1}-f_{2}}{2h}}+{\frac {h^{2}}{3} }f'''(\xi ),

f'(x_{1})={\frac {f_{2}-f_{0}}{2h}}-{\frac {h^{2}}{6}}f'''( \xi ),

f'(x_{2})={\frac {f_{0}-4f_{1}+3f_{2}}{2h}}+{\frac {h^{2}}{3}} f'''(\xi ).

$r=2,\;N=2$ (tři uzly):

f''(x_{0})={\frac {f_{0}-2f_{1}+f_{2}}{h^{2}}}-hf'''(\xi ),

f''(x_{1})={\frac {f_{0}-2f_{1}+f_{2}}{h^{2}}}-{\frac {h^{2} }{12}}f^{(4)}(\xi),

f''(x_{2})={\frac {f_{0}-2f_{1}+f_{2}}{h^{2}}}+hf'''(\xi ).

$r=2,\;N=3$ (čtyři uzly):

f''(x_{0})={\frac {2f_{0}-5f_{1}+4f_{2}-f_{3}}{h^{2}}}+{\frac { 11h^{2}}{12}}f^{(4)}(\xi),

f''(x_{1})={\frac {f_{0}-2f_{1}+f_{2}}{h^{2}}}-{\frac {h^{2} }{12}}f^{(4)}(\xi),

f''(x_{2})={\frac {f_{1}-2f_{2}+f_{3}}{h^{2}}}-{\frac {h^{2} }{12}}f^{(4)}(\xi),

f''(x_{3})={\frac {-f_{0}+4f_{1}-5f_{2}+2f_{3}}{h^{2}}}+{\frac {11h^{2}}{12}}f^{(4)}(\xi).

Zde , , a je nějaký mezilehlý bod mezi největším a nejmenším z uzlů. $f_{i}=f(x_{i})$ $i=0,\ldots ,N$ $\xi$

V obecném případě lze koeficienty numerických derivačních vzorců vypočítat pro libovolnou síť uzlů a libovolné pořadí derivace.

Závažná chyba

Ve vzorcích numerické derivace s konstantním krokem jsou hodnoty funkce děleny , kde je pořadí vypočítané derivace. Proto pro malé, neodstranitelné chyby v hodnotách funkce mají silný vliv na výsledek numerické derivace. Vzniká tedy problém výběru optimálního kroku , protože chyba samotné metody má tendenci k nule a fatální chyba roste. Výsledkem je, že celková chyba, ke které dochází během numerického derivování, se může neomezeně zvyšovat při . Proto je problém numerické diferenciace považován za špatně položený . $h$ $F$ $h^{r}$ $r$ $h$ $F$ $h$ $h\do {0}$ $h\do {0}$

Komplexní čísla

Klasické aproximace pomocí konečných diferencí obsahují nevyhnutelnou chybu a jsou špatně podmíněné . Pokud je však funkce holomorfní , nabývá reálných hodnot na reálné čáře a lze ji vyhodnotit v libovolném okolí jakéhokoli reálného bodu na komplexní rovině , lze její derivaci vypočítat stabilními metodami. Například první derivaci lze vypočítat pomocí vzorce se složitým krokem [1] : $F$

f'(x)={\frac {{\mbox{Im}}(f(x+ih))}{h}}+O\left(h^{2}\right),

kde je pomyslná jednotka . Tento vzorec lze získat z následujícího rozšíření Taylorovy řady : $i$

f(x+ih)=f(x)+ihf'(x)-h^{2}{\frac {f''(x)}{2!)}}-ih^{3}{ \ frac {f'''(x)}{3!}}+\ldots .

Obecně lze derivace libovolného řádu vypočítat pomocí Cauchyho integrálního vzorce :

f^{(n)}(a)={\frac {n!}{2\pi i))\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{(za)^{ n+1}}}\,\mathrm {d} z.

Integrál lze vypočítat přibližně .

Literatura

Bakhvalov N. S. , Zhidkov N. P. , Kobelkov G. M. Numerické metody. - 3. vyd., dodat. a přepracováno. — M. : BINOM. Vědomostní laboratoř, 2004. - 636 s., ill. — ISBN 5-94774-175-X .
Berezin, I. S. , Zhidkov N. P. Výpočtové metody. Svazek I. - 2. vyd., stereotypní - M .: Fizmatgiz . 1962.
Mysovskikh I.P. Přednášky o výpočtových metodách. – M.: Věda. 1982. - 342 s.

Poznámky

↑ Komplexní kroková diferenciace

Viz také

Diferenciální počet

Hlavní

soukromé pohledy

Diferenční operátory
( v různých souřadnicích )

První objednávka	Operátor Nabla Spád Divergence Rotor Helmholtzian
druhá objednávka	Eliptický operátor Laplaceův operátor Laplaceův vektorový operátor Operátor D'Alembert Operátor Laplace-Beltrami
vyšší řády	Hypoeliptický operátor

související témata