Operátor (fyzika)

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 16. března 2020; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Operátor v kvantové mechanice je lineární mapování , které působí na vlnovou funkci , což je funkce s komplexní hodnotou, která poskytuje nejúplnější popis stavu systému. Operátory jsou označeny velkými latinskými písmeny s circumflexem nahoře. Například:

${\klobouk {A)],{\klobouk {B)],{\klobouk {C)),\tečky$

Operátor působí na funkci napravo (také se říká, že je aplikován na funkci nebo násoben funkcí):

${\klobouček {A}}\Psi _{1}=\Psi _{2}$

Kvantová mechanika využívá matematické vlastnosti lineárních samoadjungovaných (hermitovských) operátorů , že každý z nich má vlastní vektory a reálné vlastní hodnoty . Fungují jako hodnoty fyzikálních veličin odpovídající danému operátoru .

Aritmetické operace na operátorech

Operátor se nazývá součet (rozdíl) operátorů, pokud je pro kteroukoli funkci z definičního oboru všech tří operátorů splněna následující podmínka: ${\klobouk {C}}$ ${\klobouček {A},{\klobouček {B}}$ $\ \Psi$

${\klobouk {C}}\Psi ={\klobouček {A}}\Psi \pm {\klobouk {B}}\Psi$

Operátor se nazývá součin operátorů, pokud je pro jakoukoli funkci splněna následující podmínka: ${\klobouk {C}}$ ${\klobouček {A},{\klobouček {B}}$ $\ \Psi$

${\klobouk {C}}\Psi ={\klobouk {A}}({\klobouk {B}}\Psi )$

Obecně

{\klobouk {A}}{\klobouk {B}}\ne ={\klobouk {B}}{\klobouk {A}}

Pokud , pak se říká , že operátoři dojíždějí . Komutátor operátora je definován jako ${\klobouk {A}}{\klobouk {B}}={\klobouk {B}}{\klobouk {A}}$ ${\klobouček {A},{\klobouček {B}}$

$[{\klobouk {A)],{\klobouk {B}}]={\klobouk {A}}{\klobouk {B}}-{\klobouk {B}}{\klobouk {A}}$

Vlastní čísla a vlastní funkce operátoru

Pokud existuje rovnost:

${\hat {A}}\Psi =a\Psi ,$

pak volají vlastní hodnotu operátoru a funkce se nazývá vlastní funkce operátoru odpovídající danému vlastnímu číslu. Nejčastěji má operátor sadu vlastních hodnot: Sada všech vlastních hodnot se nazývá spektrum operátoru . $\A$ ${\klobouk {A}}$ $\ \Psi$ ${\klobouk {A}),$ $\ a_{1},a_{2},\tečky ,a_{n},\tečky$

Lineární a samoadjungované operátory

Operátor se nazývá lineární , pokud je splněna podmínka pro jakýkoli pár: ${\klobouk {L}}$ $\varphi _{{i}},C_{{i}}$

${\hat {L}}\součet _{{i}}C_{{i}}\varphi _{{i}}=\sum _{{i}}C_{{i}}{\hat {L} }\varphi_{{i}}.$

Operátor se nazývá samoadjungovaný ( Hermitian ), pokud je pro kterýkoli splněna následující podmínka: ${\klobouk {A}}$ $\Psi ,\varphi$

$\left\langle \Psi |{\klobouk {A}}\varphi \right\rangle =\left\langle {\klobouk {A}}\Psi |\varphi \right\rangle$

Navíc součet samoadjungovaných operátorů je samoadjungovaný operátor. Produktem samoadjungovaných operátorů je samoadjungovaný operátor, pokud dojíždějí. Vlastní hodnoty samoadjungovaných operátorů jsou vždy skutečné. Vlastní funkce samoadjungovaných operátorů odpovídající různým vlastním číslům jsou ortogonální .

Operátory používané v kvantové fyzice

Hlavními charakteristikami fyzikálního systému v kvantové fyzice jsou pozorovatelné veličiny a stavy .

V kvantové fyzice jsou pozorovatelné veličiny spojovány s lineárními samoadjungovanými operátory v komplexním oddělitelném Hilbertově prostoru a stavy jsou spojovány s třídami normalizovaných prvků tohoto prostoru (s normou 1). Děje se tak hlavně ze dvou důvodů:

Vlastní čísla samoadjungovaných operátorů odpovídající konkrétním hodnotám fyzikálních veličin jsou reálná čísla , tedy to, čím se experimentátoři v praxi zabývají (odečty přístrojů, výsledky výpočtů atd.).

Jedna a tatáž kvantová částice může být současně v sadě kvantových stavů , které jsou charakterizovány sadou vlastních hodnot odpovídajícího operátoru. Může to být konečná množina (nespojitý rozsah hodnot), interval ( souvislý rozsah hodnot) nebo smíšená množina.

V kvantové fyzice existuje „nepřísné“ pravidlo pro konstrukci operátoru fyzikálních veličin: vztah mezi operátory je obecně stejný jako mezi odpovídajícími klasickými veličinami. Na základě tohoto pravidla byli zavedeni následující operátoři (v souřadnicovém zastoupení):

Operátor souřadnic :

${\hat {{\mathbf {x}}}}=x$

Úkolem souřadnicového operátoru je násobení vektorem souřadnic.

Operátor hybnosti :

${\hat {{\mathbf {p}}}}=-i\hbar \nabla$

Zde je imaginární jednotka a operátor nabla . $\i$ $\nabla$

Operátor kinetické energie :

${\hat {T}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta$

Zde je Diracova konstanta , Laplaceův operátor . $\hbar$ $\Delta$

Potenciální energetický operátor :

${\hat {U}}=U(x,y,z,t)$

Činnost operátoru je zde redukována na násobení funkcí.

Hamilton operátor :

${\klobouk {H}}={\klobouk {T}}+{\klobouk {U}}$

Operátor hybnosti :

${\hat {{\mathbf {L}}}}=-i\hbar [{\mathbf {r}},\nabla ]$ . Tato forma byla zvolena také z důvodů souvisejících s Noetherovou větou a skupinou SO(3) .

operátor rotace :

V nejdůležitějším případě rotace 1/2 má operátor rotace tvar: , kde ${\hat {s}}={\frac {1}{2}}{\hat {\sigma }}$

${\hat {\sigma }}_{{x}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$ , , - tzv. Pauliho matrice . Tento druh je podobný předchozímu, ale je spojen se skupinou SU(2) . ${\hat {\sigma }}_{{y}}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}$ ${\hat {\sigma }}_{{z}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

Viz také

Literatura

Landau L. D. , Lifshits E. M. " Theoretical Physics ", v 10 svazcích, v. 3, "Kvantová mechanika (nerelativistická teorie)", 5. vyd., M., Fizmatlit, 2002, 808 s., ISBN 5-9221-0057 -2 (vol. 3);
"Funkční analýza", ed. 2, rev. a doplňkové (Série "Reference Mathematical Library"), kolektiv autorů, eds. S. G. Kerin , Moskva, "Nauka", 1972, 517,2 F 94