Grüneisen parametr
Grüneisenův parametr je bezrozměrný parametr, který popisuje vliv změny objemu krystalové mřížky na její vibrační vlastnosti a v důsledku toho vliv změny teploty na velikost nebo dynamiku mřížky . Parametr obvykle označovaný γ je pojmenován po Eduardu Grüneisenovi . Tento pojem je chápán jako jedna termodynamická vlastnost, kterou je vážený průměr mnoha jednotlivých parametrů γ i zahrnutých v původní formulaci Grüneisenova modelu z hlediska fononových nelinearit [ 1] .
Termodynamické definice
Kvůli ekvivalenci mezi mnoha vlastnostmi a deriváty v termodynamice (např. Maxwellovy vztahy ), existuje mnoho formulací Grüneisenova parametru, které jsou stejně pravdivé, což vede k mnoha různým, ale ekvivalentním interpretacím jeho významu.
Některé formulace pro parametr Grüneisen zahrnují:
|
, |
kde V je objem a jsou specifické tepelné kapacity při konstantním tlaku a objemu, E je energie, S je entropie, α je objemový koeficient tepelné roztažnosti a jsou adiabatická a izotermická stlačitelnost , je rychlost zvuku v médiu a ρ je hustota.
Vyjádření pro součinitel tepelné roztažnosti z hlediska měrné tepelné kapacity a stlačitelnosti z hlediska Grüneisenova parametru se také nazývá Grüneisenův zákon [2] .
Grüneisenův parametr pro dokonalé krystaly s párovými interakcemi
Výraz pro Grüneisenův parametr pro ideální krystal s párovou interakcí v d - rozměrném prostoru je zapsán jako [3] :
,![{\displaystyle \Gamma _{0}=-{\frac {1}{2d)){\frac {\Pi '''(a)a^{2}+(d-1)\left[\Pi ' '(a)a-\Pi '(a)\right]}{\Pi ''(a)a+(d-1)\Pi '(a)))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/416b813f37cd85b1aa8943f484c7da0e45386f02)
kde je meziatomový potenciál a rovnovážná mřížková konstanta. Vztah mezi parametrem Grüneisen a Lennard-Jonesovými , Morseovými a Mieovými potenciály je uveden v tabulce.
| Mřížka | Dimenze | Potenciál Lennarda-Jonese | Mi Potenciál | Morseův potenciál |
|---|---|---|---|---|
| Řetěz | ||||
| trojúhelníková mřížka | ||||
| FCC, BCC | ||||
| "Hypermřížky" | ||||
| Obecný vzorec |
Výraz pro Grüneisenův parametr jednorozměrného řetězce s Mieovým potenciálem se přesně shoduje s výsledky MacDonalda a Roye. Pomocí vztahu mezi Grüneisenovým parametrem a meziatomovým potenciálem lze odvodit jednoduchou nutnou a postačující podmínku pro negativní tepelnou roztažnost v dokonalých krystalech s párovými interakcemi.
.
Podrobný popis Grüneisenova parametru nastavuje rigorózní test pro typ meziatomového potenciálu [4] .
Mikroskopická definice z hlediska fononových frekvencí
Fyzikální význam tohoto parametru lze také rozšířit kombinací termodynamiky s rozumným mikroskopickým modelem pro vibrující atomy v krystalu. Když je vratná síla působící na atom posunutý z jeho rovnovážné polohy lineární v posunutí atomu, nezávisí frekvence ω i jednotlivých fononů na objemu krystalu nebo přítomnosti jiných fononů, ani na tepelné roztažnosti ( a tedy γ ) je nula. Když vratná síla závisí na posunutí nelineárně, fononové frekvence ω i se mění s objemem . Grüneisenův parametr individuálního vibračního módu s indexem je definován jako (negativní) logaritmická derivace odpovídající frekvence :
Vztah mezi mikroskopickými a termodynamickými modely
Pomocí kvaziharmonické aproximace pro atomové vibrace lze makroskopický Grüneisenův parametr ( γ ) vztáhnout k popisu toho, jak se vibrační frekvence atomů ( fononů ) uvnitř krystalu mění se změnou objemu (tj. γ i ). Dá se to například ukázat
pokud je definován jako vážený průměr
kde jsou příspěvky jednotlivých fononových módů k tepelné kapacitě takové, že celková tepelná kapacita je rovna
Důkaz
Abyste to dokázali, musíte zavést tepelnou kapacitu na částici ; Pak
.
Stačí tedy dokázat
.
Levá strana:
![{\displaystyle \sum _{i}\gamma _{i}c_{V,i}=\součet _{i}\left[-{\frac {V}{\omega _{i))}{\frac {\částečná \omega _{i}}{\částečná V}}\pravá]\levá[k_{B}\levá({\frac {\hbar \omega _{i}}{k_{B}T}} \right)^{2}{\frac {\exp \left({\frac {\hbar \omega _{i}}{k_{B}T}}\right)}{\left[\exp \left( {\frac {\hbar \omega _{i}}{k_{B}T}}\right)-1\right]^{2}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94021637ae32993e80762bf3851d6159add42235)
Pravá strana:
![{\displaystyle \alpha VK_{T}=\left[{\frac {1}{V}}\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P}\right] V\left[-V\left({\frac {\partial P}{\partial V}}\right)_{T}\right]=-V\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\vpravo)_{P}\vlevo({\frac {\částečné P}{\částečné V}}\vpravo)_{T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa77712684609ab62610a7335907153325945b7d)
Navíc ( Maxwellovy vztahy ):
Tuto derivaci lze snadno určit v kvaziharmonické aproximaci, protože pouze ω i jsou V - závislé.
![{\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial V))={\frac {\partial }{\partial V))\left\{-\sum _{i}k_{B}\ln \left [1-\exp \left(-{\frac {\hbar \omega _{i}(V)}{k_{B}T}}\right)\right]+\sum _{i}{\frac { 1}{T)){\frac {\hbar \omega _{i}(V)}{\exp \left({\frac {\hbar \omega _{i}(V)}{k_{B}T }}\vpravo)-1}}\vpravo\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42b350989a89f7313fa30ac595cf1c95f37ef7ea)
![{\displaystyle V{\frac {\partial S}{\partial V))=-\sum _{i}{\frac {V}{\omega _{i))}{\frac {\partial \omega _ {i}}{\částečné V}}\;\;k_{B}\left({\frac {\hbar \omega _{i}}{k_{B}T}}\right)^{2}{ \frac {\exp \left({\frac {\hbar \omega _{i}}{k_{B}T}}\right)}{\left[\exp \left({\frac {\hbar \omega _{i}}{k_{B}T}}\right)-1\right]^{2}}}=\součet _{i}\gamma _{i}c_{V,i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f81aaa8a6dac86203c58b62597d2975975e87a0)
To dává
Odkazy
Poznámky
- ↑ Grüneisen, E., Theorie des festen Zustandes einatomiger Elemente , < https://zenodo.org/record/1424250 > Archivováno 2. září 2019 na Wayback Machine
- ↑ A. E. Meyerovich. Gruneisenův zákon // Fyzická encyklopedie : [v 5 svazcích] / Ch. vyd. A. M. Prochorov . - M .: Sovětská encyklopedie (sv. 1-2); Velká ruská encyklopedie (sv. 3-5), 1988-1999. — ISBN 5-85270-034-7 .
- ↑ Krivtsov, AM & Kuzkin, VA (2011), Odvození stavových rovnic pro ideální krystaly jednoduché struktury , Mechanika pevných látek sv. 46 (3): 387–399 , DOI 10.3103/S002565441103006X
- ↑ LJ; porter. Význam Gruneisenových parametrů při rozvoji interatomových potenciálů // J. Appl . Phys. : deník. - 1997. - Sv. 82 , č. 11 . - doi : 10.1063/1.366305 .