Parita prodejních a call opcí

Parita put a call je poměr hodnoty evropských put a callů , což znamená, že portfolio s krátkou put a dlouhou call je ekvivalentní forwardu se stejnou realizační cenou .

Důvodem pro zachování parity v hodnotě opcí je požadavek na žádnou arbitráž: je-li cena aktiva vyšší než strike, bude uplatněna kupní opce, pokud je nižší, bude uplatněna prodejní opce. Jednotka aktiva tak bude v každém případě zakoupena za realizační cenu – stejně jako při uplatnění dlouhého forwardového kontraktu.

Parita vyžaduje splnění určitých podmínek. V praxi vedou transakční náklady a náklady na financování (pákový efekt) k odchylce od parity, avšak na likvidních trzích je poměr cen opcí téměř dokonalý.

Podmínky parity

Parita umožňuje replikaci portfolia , a proto vyžaduje minimální předpoklady, konkrétně existenci odpovídajícího forwardového kontraktu . V případě neexistence obchodovatelných forwardových smluv lze forwardovou smlouvu nahradit (ve skutečnosti se sama replikuje) dlouhou pozicí v podkladovém aktivu a financovat ji krátkou hotovostní pozicí, nebo naopak krátkou pozicí v podkladovém aktivu a půjčováním. přijaté peníze za určité období. V obou případech tak vzniká samofinancující portfolio .

Replikace naznačuje, že lze uzavírat derivátové transakce, které vyžadují pákový efekt, a že nákup a prodej způsobí transakční náklady , konkrétně rozpětí nabídky a poptávky . Parita je tedy splněna pouze na ideálním trhu s neomezenou likviditou. Trhy reálného světa však mohou být dostatečně likvidní, aby se ceny opcí blížily k dokonalosti. Devizové trhy hlavních měn nebo trhy hlavních akciových indexů v nekrizových obdobích tedy mají dostatečnou likviditu.

Poměr

Paritu lze vyjádřit několika podobnými způsoby, například:

CP=df\cdot(FK)

kde:

$C$ — aktuální kupní opce,
$P$ je aktuální hodnota prodejní opce,
$D$ – diskontní faktor ,
$F$ — forwardová cena aktiva,
$K$ — realizační cena.

Spotová cena je definována jako . $S=df\cdot F$

Levá strana poměru odpovídá portfoliu s dlouhou kupní opcí a krátkou prodejní opcí a pravá strana odpovídá dlouhému forwardovému kontraktu. U opcí na levé straně se používají hodnoty aktuální ceny a jsou uvedeny v hodnotách budoucích cen, které jsou dány diskontním faktorem, který se převádí na aktuální hodnoty. $F$ $K$ $D$

Při použití ceny místo forwardové ceny se poměr převede do tvaru: $S$ $F$

CP=S-df\cdot K

Původní poměr lze také formulovat jako:

C(t)-P(t)=S(t)-K\cdot B(t,T)

kde:

$C(t)$ je cena kupní opce v čase , $t$
$P(t)$ — náklady na prodejní opci se stejným datem vypršení platnosti,
$Svatý)$ — spotová cena podkladového aktiva,
$K$ - realizační cena,
$B(t,T)$ — aktuální hodnota dluhopisu s nulovým kupónem ve výši 1 USD, což je v podstatě diskontní faktor pro realizační cenu.

Pokud se předpokládá, že úroková sazba dluhopisu je konstantní, pak: $r$

{\displaystyle B(t,T)=e^{-r(Tt)))

Při oceňování evropských akciových opcí se známými dividendami, které budou vypláceny během trvání opce, se poměr převede na:

C(t)-P(t)+D(t)=S(t)-K\cdot B(t,T)

kde D(t) představuje celkovou současnou hodnotu dividend na akcii splatných po zbývající dobu platnosti opcí. Poměr lze také vyjádřit jako:

C(t)-P(t)=S(t)-K\cdot B(t,T)\ -D(t)

Závěr

Za prvé, za předpokladu, že neexistují žádné arbitrážní příležitosti, dvě portfolia, která mají vždy stejný výnos v čase T, musí mít stejnou hodnotu v jakémkoli předchozím čase. Abychom to dokázali, předpokládejme, že v určitém okamžiku t před T bylo jedno portfolio levnější než druhé. Pak bylo možné koupit levnější portfolio a prodat dražší. V čase T bude mít celkové portfolio při jakékoli hodnotě ceny podkladového aktiva hodnotu nula (všechna aktiva a pasiva budou započtena). Zisk, který bude přijat v čase t , bude tedy bez rizika, což je porušení předpokladu neexistence arbitráže.

Paritní poměr odvodíme tak, že vytvoříme dvě portfolia se stejnými výplatami a použijeme výše uvedený racionální cenový princip.

Zvažte call a put opci na nějaké akcie S bez dividend se stejnou realizační cenou K a datem expirace T . Předpokládejte také existenci dluhopisu s nulovým kupónem s nominální hodnotou 1 USD a datem expirace T (tržní cena tohoto dluhopisu může být jakákoli, ale musí se rovnat 1 USD k datu T ).

Označme spotovou cenu S v čase t jako S(t). Nyní vybudujte portfolio long call C a short put P se stejným datem expirace T a strike K. PnL tohoto portfolia je S(T) - K. Také vybudujeme druhé portfolio nákupem jedné akcie a vypůjčením dluhopisů v množství K. PnL druhého portfolia je také S(T) - K v čase T , protože akcie koupené za S(t) budou mít hodnotu S(T) a vypůjčené dluhopisy budou mít hodnotu K.

Identické PnL znamenají, že obě portfolia musí mít stejnou cenu ve stejnou dobu , což je vyjádřeno v následujícím vztahu mezi cenami různých nástrojů: $t$

C(t)-P(t)=S(t)-K\cdot B(t,T)\,

Při absenci arbitrážních příležitostí je tedy splněn výše uvedený vztah, známý jako prodejní a kupní parita , zatímco pro jakékoli tři známé ceny kupní a prodejní opce, dluhopisu a podkladového aktiva (v tomto případě akcie ), lze vypočítat hodnotu čtvrtého nástroje.

Historie

V praxi se opční parita začala používat již ve středověku a formálně ji popsala řada autorů na počátku 20. století.

Michael Knoll v knize The Ancient Roots of Modern Financial Innovation: The Early History of Regulatory Arbitrage popisuje důležitou roli, kterou hrála parita ve vývoji foreclosures. property , což byla obdoba moderní hypotéky ve středověké Anglii.

V roce 1904 publikoval obchodník s arbitráží opcí v New Yorku jménem Nelson The ABC of Options and Arbitrage , který podrobně popisoval paritu . Jeho kniha byla znovuobjevena Espenem Gaarderem Haugem na počátku 21. století, který na ni mnohokrát odkazoval ve své knize Derivatives : Models on Models .

Henry Deutsch v roce 1910 také popsal paritu ve své knize Arbitrage in Bullion , Coins, Bills, Stocks, Shares and Options ), ale méně podrobně než Trader Nelson v roce 1904.

Profesor matematiky Vinzenz Bronzin také odvodil paritu opcí v roce 1908 a použil ji k vývoji řady matematických modelů pro opce. Dílo profesora Bronzina nedávno objevili profesoři Wolfgang Hafner ( německy Wolfgang Hafner ) a Heinz Zimmermann ( německy Heinz Zimmermann ).

Zdá se, že první popis parity v moderní akademické literatuře pochází od Hanse Stolla v The Journal of Finance [1] [2] .

Poznámky

↑ Stoll, Hans R. Vztah mezi cenami prodejních a call opcí // Journal of Finance : deník. - 1969. - prosinec ( roč. 24 , č. 5 ). - S. 801-824 . - doi : 10.2307/2325677 .
↑ Citováno například v Derman, Emanuel. Iluze dynamické replikace (neopr.) // Kvantitativní finance. - 2005. - T. 5: 4 , č. 4 . - S. 323-326 . - doi : 10.1080/14697680500305105 .