Plurisubharmonická funkce

Plurisubharmonická funkce je reálná funkce komplexních proměnných v doméně komplexního prostoru , která splňuje následující podmínky: $u=u({\vec {z)))$ $n$ ${\vec {z}}=(z_{1},\;z_{2},\;\ldots ,\;z_{n})$ $D$ $\mathbb {C} ^{n}$ $n\geqslant 1$

$u(z)$ je horní polospojitý všude v ; $D$
$u(z_{0}+\lambda a)$ je subharmonická funkce proměnné v každé připojené složce otevřené množiny pro libovolné pevné body , . $\lambda \in \mathbb {C}$ ${\displaystyle \{\lambda \in \mathbb {C} \mid z_{0}+\lambda a\in D\))$ $z_{0}\in D$ $a\in \mathbb {C} ^{n}$

Příklady

$\ln |f(z)|$ , for , kde je holomorfní funkce v . ${\displaystyle |f(z)|^{p))$ $p\geqslant 0$ $f(z)$ $D$

Související definice

Funkce se nazývá plurisuperharmonická funkce , pokud existuje plurisubharmonická funkce. $v(z)$ $-v(z)$

Vlastnosti

Plurisubharmonické funkce jsou subharmonické, ale obráceně to neplatí pro . $n>1$

Kromě obecných vlastností subharmonických funkcí platí pro plurisubharmonické funkce následující:

$u(z)$ je plurisubharmonická funkce v definičním oboru právě tehdy, když je plurisubharmonická funkce v okolí každého bodu ; $D$ $u(z)$ $z\in D$
lineární kombinace plurisubharmonických funkcí s kladnými koeficienty je plurisubharmonická funkce;
limity rovnoměrně konvergentní a monotónně klesající posloupnosti plurisubharmonických funkcí jsou plurisubharmonické;
pro jakoukoli bodovou střední hodnotu $z_{0}\in D$

\oint \limits _{S_{r}(z_{0})}u

přes kouli o poloměru , je rostoucí funkce přes , konvexní vzhledem k intervalu , pokud je míč umístěn v ; $r$ $r$ $\ln r$ $0<r<R$ $B_{R}(z_{0})$ $D$

pod holomorfním zobrazením se plurisubharmonická funkce stává plurisubharmonickou;
if je spojitá plurisubharmonická funkce v doméně , je uzavřená spojená analytická podmnožina a omezení dosáhne svého maxima na , pak na . $u(z)$ $D$ $E$ $D$ $u|_{E}$ $E$ $u(z)=\mathrm {const}$ $E$

Viz také

pluriharmonická funkce

Literatura

Shabat BV Úvod do komplexní analýzy. Ve 2 svazcích. — M.: Nauka, 1976. — 720 s.
Fuchs B.A. Speciální kapitoly teorie analytických funkcí několika komplexních proměnných. - Moskva: Státní nakladatelství fyzikální a matematické literatury, 1963. - 428 s.