Galoisova korespondence

Galoisova korespondence ( Galoisovo spojení ) je řádově-teoretický vztah mezi dvěma matematickými strukturami , slabšími než izomorfismus , zobecňující spojení z Galoisovy teorie mezi podpolemi rozšíření a systémem podgrup odpovídající Galoisovy grupy uspořádaným inkluzí . Koncept lze rozšířit na jakoukoli strukturu vybavenou relací předobjednávky .

Tento koncept představil Garrett Birkhoff v roce 1940 a on a Oystin Ore stanovili základní vlastnosti ve 40. letech [1] . Výchozí definice je antimonotónní , později se v obecné algebře i aplikacích začala častěji používat monotónní definice , alternativní a k ní duální ve smyslu kategorie teoretické .

Galoisův uzávěr je operace, která je uzávěrem tvořeným složením složek Galoisovy korespondence; v antimonotónním případě tvoří uzávěry obě možná složení korespondenčních funkcí, v monotónním případě pouze jedno takové složení.

Galoisova korespondence je široce používána v aplikacích, zejména hraje zásadní roli v analýze formálních pojmů (metodika pro analýzu dat pomocí teorie svazů ).

Antimonotonní korespondence Galois

Antimonotonní definici původně uvedl Birkhoff a přímo odpovídá spojení v Galoisově teorii. Podle této definice se jakákoli dvojice funkcí a mezi částečně uspořádanými množinami a splňující následující vztahy nazývá Galoisova korespondence: $\varphi :A\to B$ $\psi :B\to A$ $A$ $B$

if , then (antimonotonicita ), $a\leqslant a'$ $\varphi (a)\geqslant \varphi (a')$ $\varphi$
if , then (antimonotonicita ), $b\leqslant b'$ $\psi (b)\geqslant \psi (b')$ $\psi$
$\psi (\varphi (a))\geqslant a$ (rozsáhlost ), $\psi \circ \varphi$
$\varphi (\psi (b))\geqslant b$ (rozsáhlost ). $\varphi \circ \psi$

Skladby a se ukázaly být monotónní a mají také idempotentní vlastnost ( a ), jsou tedy uzávěry na resp . $\psi \circ \varphi$ $\varphi \circ \psi$ $(\psi \circ \varphi )\circ (\psi \circ \varphi )=\psi \circ \varphi$ $(\varphi \circ \psi )\circ (\varphi \circ \psi )=\varphi \circ \psi$ $B$ $A$

Definice antimonotonní Galoisovy korespondence pro antimonotonní funkce a následující podmínka ( Jürgen Schmidt , 1953 [2] [3] ): tehdy a jen tehdy, když . $\varphi$ $\psi$ $b\leqslant \varphi (a)$ $a\leqslant \psi (b)$

Analogicky s polárami v analytické geometrii se funkce související s antimonotónní Galoisovou korespondencí nazývají polarity [4] .

Monotónní Galoisova korespondence

Monotónní funkce a jsou v monotónní Galoisově korespondenci, pokud jsou splněny následující podmínky: $\gamma :A\to B$ $\delta :B\to A$

$\gamma (\delta (b))\geqslant b$ ,
$\delta (\gamma (a))\leqslant a$ .

Ekvivalentem této definice je splnění podmínky duální se Schmidtovou podmínkou pro antimonotonní variantu: if a only if , je často brána jako výchozí definice [5] . $b\leqslant \gamma (a)$ $\delta (b)\leqslant a$

V případě monotónní Galoisovy korespondence se také hovoří o konjugaci funkcí, protože v teorii kategorií dává taková korespondence adjungované funktory . Na rozdíl od antimonotonické formy, kde jsou složky korespondence ( polarita ) symetrické, u monotónní korespondence se rozlišuje horní konjugovaná funkce - jejíž hodnoty se podílejí na podmínce vpravo ve vztazích pořadí (v tato definice - , a dolní konjugát - jehož hodnoty se účastní relací pořadí od podmínky vlevo ( ) Někdy se o dolní adjointové funkci říká, že je skew- adjoint (v takovém případě se horní jednoduše nazývá "připojit"). $\gamma$ $\delta$

Operátor uzávěru v monotónní Galoisově korespondenci je složení , zatímco složení není uzávěrem, takže místo toho, aby bylo rozsáhlé, je pro něj splněna inverzní podmínka (funkce s takovým souborem vlastností se někdy nazývá jaderný operátor [6 ] nebo společný uzávěr). $\delta \circ \gamma$ $\gamma \circ \delta$

Doplňkové funktory

Libovolný poset lze považovat za kategorii, ve které se pro každou dvojici objektů množina morfismů skládá z jediného morfismu, pokud je jinak prázdný. Pro kategorie generované tímto způsobem z částečně uspořádaných množin a , jsou zobrazení a , která jsou v monotónní Galoisově korespondenci, adjungovanými funktory . $(A,\leqslant)$ $a,a'\in A$ $\mathrm {Hom} (a,a')$ $a\leqslant a'$ $A$ $B$ $\gamma :A\to B$ $\delta :B\to A$

Konjugované funktory jsou také zobrazení a ( je kategorie duální k , tj. získaná inverzí morfismů), které jsou v antimonotónní Galoisově korespondenci [7] . $\varphi :A\to B^{\mathrm {op} }$ $\psi :B\to A^{\mathrm {op} }$ $A^{\mathrm {op} }$ $A$

Vlastnosti

Skládání korespondence

Galoisova korespondence, v antimonotonické i monotónní formě, může být podrobena operaci složení — pokud jsou v Galoisově korespondenci uvedeny dvojice zobrazení a , pak složení je: $(\varphi _{1}:A\to B,\psi _{1}:B\to A)$ $(\varphi _{2}:B\to C,\psi _{2}:C\to B$

(\varphi _{2},\psi _{2})\circ (\varphi _{1},\psi _{1})=(\varphi _{2}\circ \varphi _{1 },\psi _{1}\circ \psi _{2})

je opět Galoisova korespondence.

Příklady

Galoisova teorie a zobecnění

V Galoisově teorii je ustavena korespondence mezi systémem mezilehlých podpolí algebraického rozšíření pole a systémem podgrup Galoisovy grupy tohoto rozšíření. $L\supset K$

Příklad z Galoisovy teorie lze přirozeně zobecnit: namísto grupy automorfismu pole lze uvažovat libovolnou grupu , působící na množinu mapování , a zobrazení mezi booleovskými hodnotami a . V tomto případě jsou mapování a , definovaná takto: $G$ $U$ $\cdot :G\times U\to U$ ${\mathcal {P}}U$ ${\mathcal {P}}G$ $\varphi :{\mathcal {P}}U\to {\mathcal {P}}G$ $\psi :{\mathcal {P}}G\to {\mathcal {P}}U$

{\displaystyle \varphi (X)=\{\sigma \mid u\in X\Rightarrow \sigma \cdot u=u\))

(vybere podskupinu v , ponechá všechny body na místě pod akcí ),

G

u\in X

\cdot

{\displaystyle \psi (S)=\{u\mid \sigma \in S\Rightarrow \sigma \cdot u=u\))

(přidruží k množině množinu pevných bodů automorfismů pod akcí )

S\subseteq G

\cdot

jsou v antimonotonní Galoisově korespondenci [7] .

Následující zobecnění spočívá v uvažování libovolných množin, mezi nimiž je dán libovolný binární vztah , a zobrazení mezi booleovskými hodnotami těchto množin a , které jsou definovány tímto způsobem: $\star \subseteq A\times B$ ${\mathcal {P}}A$ ${\mathcal {P}}B$

{\displaystyle \varphi (X)=\{y\in B\mid \forall (x\in X)x\star y\))

{\displaystyle \psi (Y)=\{x\in A\mid \forall (y\in Y)x\star y\))

V tomto případě a jsou také v antimonotónní korespondenci Galois. $\varphi$ $\psi$

Boolean a zobecnění

Boolean uspořádaný inkluzí libovolné množiny a některé její pevné podmnožiny může být spojen s monotónní Galoisovou korespondencí mezi zobrazeními definovanou takto: ${\mathcal {P}}A$ $F\subseteq A$ $\varphi ,\psi :{\mathcal {P}}A\to {\mathcal {P}}A$

\varphi (X)=F\cap X

\psi (X)=X\cup (A\setminus F)

Takový vztah lze vytvořit v jakékoli Heytingově algebře , zejména v jakékoli Booleově algebře (v Booleových algebřech z hlediska algebry logiky hraje roli horní sdružená funkce konjunkce a dolní sdružená funkce materiální implikací ) .

Kompletní mříže

Poznámky

↑ Gretzer, 1981 , str. 78.
↑ J. Schmidt. Beitrage zur Filtertheorie. II (německy) // Mathematische Nachrichten . - 1953. - Bd. 10 , č. 53 . - S. 197-232 .
↑ Birkhoff, 1984 , s. 165.
↑ Birkhoff, 1984 , s. 163.
↑ Giertz, 2003 , str. 22.
↑ Giertz, 2003 , str. 26.
↑ 1 2 McLane, 2004 , str. 114.

Literatura

Birkhoff G. Teorie mřížky. — M .: Nauka , 1984. — 567 s.
G. Gierz, K. H. Hofmann, K. Keimel, J. D. Lawson, M. Mislow, D. S. Scott . Galoisova spojení // Spojité svazy a domény. - Cambridge: Cambridge University Press , 2003. - S. 22-35. — 629 s. — (Encyklopedie matematiky a jejích aplikací, sv. 93).
Gretzer G. Obecná teorie svazů. — M .: Mir , 1981. — 456 s.
McLane S. Kapitola 4. Adjungované funktory // Kategorie pro pracujícího matematika / Per. z angličtiny. vyd. V. A. Artamonová. - M .: Fizmatlit, 2004. - S. 95-128. — 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Øysteinská ruda. Galois Connexions (anglicky) // Transactions of the American Mathematical Society . - 1944. - Sv. 55 . - str. 493-513 . — ISSN 0002-9947 . - doi : 10.1090/S0002-9947-1944-0010555-7 .