V teorii grup se Tietzeovy transformace používají k transformaci původní definice skupiny na jinou, často jednodušší definici stejné skupiny . Transformace jsou pojmenovány po Heinrichu Tietzovi , který je navrhl v článku z roku 1908.
Skupina je specifikována z hlediska generátorů a vztahů . Formálně řečeno, definice skupiny je dvojice sestávající z množiny generátorů a množiny slov z volné skupiny nad generátory, které jsou považovány za vztahy. Tietzeho transformace jsou postaveny na elementárních krocích, z nichž každý zřejmým způsobem převádí úlohu na úlohu izomorfní grupy . V roce 1908 Tietze ukázal, že jakoukoli jinou úlohu lze získat z původní úlohy pro skupinu G opakovanou aplikací čtyř typů transformací uvedených níže [1] .
Pokud lze poměr odvodit z existujících poměrů, lze je přidat do úkolu bez změny skupiny. Nechť G=〈 x | x 3 =1 〉 je konečný úkol cyklické grupy řádu 3. Vynásobením obou stran x 3 =1 x 3 dostaneme x 6 = x 3 = 1, takže x 6 = 1 je odvoditelné z x 3 = 1. Potom G=〈 x | x 3 =1, x 6 =1 〉je další úkol stejné skupiny.
Pokud lze poměr odvodit z jiných poměrů, lze jej z úlohy odstranit bez změny skupiny. V úloze G = 〈x | x 3 = 1, x 6 = 1 〉 poměr x 6 = 1 lze odvodit z x 3 = 1, takže jej lze odstranit. Všimněte si však, že pokud z definice grupy odstraníme vztah x 3 = 1, definice G = 〈x | x 6 = 1 〉 definuje cyklickou skupinu řádu 6 a již nedefinuje stejnou skupinu. Měli byste být opatrní a poměr odstranit pouze v případě, že jej lze odvodit ze zbývajících poměrů.
Vzhledem ke skupinovému přiřazení lze přidat nový generátor, který je v původních generátorech vyjádřen jako slovo. Vycházeje ze specifikace G = 〈x | x 3 = 1 〉 a nastavením y = x 2 dostaneme novou úlohu G = 〈x , y | x 3 = 1, y = x 2〉 definující stejnou skupinu.
Pokud je vztah p = V , kde p je generátor a V je slovo, které neobsahuje p , lze generátor odstranit. V tomto případě by měly být všechny výskyty p jinými slovy nahrazeny V . Je dána elementární abelovská grupa řádu 4, G=〈 x,y,z | x = yz, y 2 =1, z 2 =1, x=x −1〉 lze nahradit G = 〈y , z | y 2 = 1, z 2 = 1, ( yz ) = ( yz ) −1〉 odstraněním x .
Nechť G = 〈x , y | x 3 = 1, y 2 = 1, ( xy ) 2 = 1 〉 je přiřazení symetrické grupy stupně tři. Generátor x odpovídá permutaci (1,2,3) a generátor y odpovídá permutaci (2,3). Pomocí Tietzeho transformace můžeme tento úkol převést na G = 〈y , z | ( zy ) 3 = 1, y 2 = 1, z 2 = 1 〉, kde z odpovídá permutaci (1,2).
| G = 〈x , y | x 3 = 1, y 2 = 1, ( xy ) 2 = 1〉 | (počáteční stav) |
| G = 〈x , y , z | x 3 = 1, y 2 = 1, ( xy ) 2 = 1, z = xy〉 | Pravidlo 3 - přidat generátor z |
| G = 〈x , y , z | x 3 = 1, y 2 = 1, ( xy ) 2 = 1, x = zy〉 | Pravidla 1 a 2 - přidejte x = z y −1 = zy a odeberte z = xy |
| G = 〈y , z | ( zy ) 3 = 1, y 2 = 1, z 2 = 1〉 | Pravidlo 4 - odstranit generátor x |