Thomsonův problém

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 30. března 2020; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Cílem Thomsonovy úlohy je určit minimální konfiguraci celkové potenciální energie elektrostatického náboje pro N elektronů , ohraničených povrchem jednotkové koule, které se od sebe odpuzují silou danou Coulombovým zákonem . Fyzik J. J. Thomson na tento problém upozornil v roce 1904 poté, co navrhl model atomu, později nazvaný pudingový model , založený na svých znalostech o existenci záporně nabitých elektronů v neutrálně nabitých atomech.

Související problémy zahrnují studium geometrie konfigurace minimální energie a studium chování minimální energie N ve velkém N.

Matematická formulace

Fyzikální systém ztělesněný v Thomsonově problému je speciálním případem jednoho z osmnácti nevyřešených matematických problémů navržených matematikem Stevenem Smalem – „Rozložení bodů na kouli“. Řešení každého problému N elektronů se získá, když konfigurace N elektronů ohraničených povrchem koule o jednotkovém poloměru r = 1 dává globální minimum elektrostatické potenciální energie U(N)

Energie elektrostatické interakce, ke které dochází mezi každým párem elektronů se stejným nábojem ( , elementární náboj elektronu) je určena Coulombovým zákonem, $e_{i}=e_{j}=e$

${\displaystyle {U_{ij}(N)=k_{e}{e_{i}e_{j} \over r_{ij))).))$

zde je Coulombova konstanta a vzdálenost mezi každým párem elektronů umístěných v bodech na kouli, určená vektory a, resp. ${\displaystyle k_{e))$ $r_{ij}=|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|$ ${\displaystyle {r}_{i))$ ${\displaystyle {r}_{j))$

Zjednodušené jednotky a jsou používány bez ztráty hlavního významu. Pak, $e=1$ $k_{e}=1$

${\displaystyle {\U_{ij}(N)={1 \over r_{ij)).))$

Celková potenciální energie elektrostatického náboje každé konfigurace N-elektronů může být vyjádřena jako součet všech párových interakcí.

${\displaystyle U(N)=\sum _{i<j}{\frac {1}{r_{ij}}}.}$

Globální minimalizace přes všechny možné sady N různých bodů je obvykle nalezena pomocí numerických minimalizačních algoritmů.

Příklad

Řešení Thomsonovy úlohy pro dva elektrony se získá, když jsou oba elektrony co nejdále od sebe na opačných stranách počátku, , popř. ${\displaystyle {\displaystyle r_{ij}=2r=2))$

{\displaystyle U(2)={1 \over 2}}.}

Známá řešení

Schématická geometrická řešení matematické Thomsonovy úlohy až pro N = 5 elektronů.

Minimální energetické konfigurace byly přesně definovány pouze v několika případech.

Pro N = 1 je řešení triviální, protože elektron může být umístěn v libovolném bodě povrchu jednotkové koule. Celková energie konfigurace je definována jako nulová, protože elektron není vystaven elektrickému poli v důsledku jiných zdrojů náboje.
Pro N = 2 se optimální konfigurace skládá z elektronů v antipodálních bodech.
Pro N = 3 jsou elektrony ve vrcholech rovnostranného trojúhelníku kolem velkého kruhu.
Pro N = 4 jsou elektrony ve vrcholech pravidelného čtyřstěnu .
Pro N = 5 bylo v roce 2010 získáno matematicky přesné počítačové řešení s elektrony umístěnými ve vrcholech trojúhelníkové dipyramidy.
Pro N = 6 jsou elektrony ve vrcholech pravidelného osmistěnu .
Pro N = 12 jsou elektrony ve vrcholech pravidelného dvacetistěnu .

Je pozoruhodné, že geometrická řešení Thomsonovy úlohy pro N = 4, 6 a 12 elektronů jsou známá jako platónská tělesa, jejichž plochy jsou stejné rovnostranné trojúhelníky. Numerická řešení pro N = 8 a 20 nejsou pravidelné konvexní polyhedrální konfigurace zbývajících dvou platónských těles , jejichž plochy jsou čtvercové a pětiúhelníkové.

Zobecnění

Je také možné dotazovat se na základní stavy částic interagujících s libovolnými potenciály. Abychom byli matematicky přesní, nechť f je klesající reálná funkce. Definujeme energetickou funkci $\sum _{i<j}f(|x_{i}-x_{j}|)$

Tradičně považováno také známé jako jádro Riesz. Pro neintegrovatelná Rieszova jádra platí věta o makové koblize . Pozoruhodné případy zahrnují α = ∞, Tammes problém; α = 1, Thomsonův problém; α = 0, Whiteův problém (pro maximalizaci součinu vzdáleností). ${\displaystyle f(x)=x^{-\alpha ))$

Vztahy k jiným vědeckým otázkám

Thomsonův problém je přirozeným důsledkem Thomsonova modelu švestkového pudinku při absenci jeho jednotného kladného náboje pozadí.

"Žádný objev o atomu nemůže být triviální a může urychlit pokrok fyzikální vědy, protože většina přírodní filozofie je výsledkem struktury a mechanismu atomu."

Ačkoli experimentální data vedla k opuštění modelu Thomsonova pudinku jako úplného modelu atomu, bylo zjištěno, že nehomogenity pozorované v numerických energetických řešeních Thomsonovy úlohy odpovídají zaplnění elektronového obalu přirozenými atomy v celém rozsahu. periodická tabulka prvků.

Thomsonův problém také hraje roli při studiu dalších fyzikálních modelů, včetně multielektronových bublin a povrchového uspořádání kapiček tekutého kovu zachycených v Paulových pastích.

Zobecněný Thomsonův problém vzniká například při určování umístění proteinových podjednotek, které tvoří obaly sférických virů. „Částice“ jsou v tomto případě shluky proteinových podjednotek umístěných na skořápce. Mezi další příklady patří pravidelné uspořádání koloidních částic v koloidosomech , navržené k zapouzdření aktivních složek, jako jsou léky, živiny nebo živé buňky, fullerenové struktury atomů uhlíku a teorie odpuzování elektronových párů. Příkladem logaritmických interakcí s dlouhým dosahem jsou Abrikosovovy víry, které by se vytvořily při nízkých teplotách v supravodivém kovovém obalu s velkým elektromagnetickým polem ve středu.

Nejnižší známé energetické konfigurace

V následující tabulce - počet bodů (nábojů) v konfiguraci, - energie, typ symetrie je uveden v zápisu Schoenflies (viz Skupiny bodů ve třech rozměrech ), - polohy nábojů. Většina typů symetrie vyžaduje, aby vektorový součet poloh (a tedy i elektrický dipólový moment ) byl nulový. $N$ $E_1$ $r_{i}$

Je také zvykem brát v úvahu mnohostěn tvořený konvexním trupem hrotů. Je tedy počet vrcholů, kde se vyskytuje daný počet hran, je celkový počet hran, je počet trojúhelníkových ploch, je počet čtyřúhelníkových ploch a je nejmenší úhel reprezentovaný vektory spojenými s nejbližší dvojicí poplatků. Všimněte si, že délky hran obvykle nejsou stejné; tedy (kromě případů N = 4, 6, 12, 24) je konvexní trup pouze topologicky ekvivalentní homogennímu mnohostěnu nebo Johnsonovu tělesu. Poslední jmenované jsou uvedeny v posledním sloupci. $v_{i}$ $E$ $f_3$ ${\displaystyle f_{4))$ $\theta _{1}$

N	E 1	Symetrie	${\displaystyle \left\|\sum \mathbf {r} _{i}\right\|}$	${\displaystyle v_{3}}$	${\displaystyle v_{4}}$	${\displaystyle v_{5))$	${\displaystyle v_{6))$	${\displaystyle v_{7))$	${\displaystyle v_{8))$	E	${\displaystyle f_{3))$	${\displaystyle f_{4))$	$\theta _{1}$	Ekvivalentní mnohostěn
2	0,500000000	${\displaystyle D_{\infty h))$	0	—	—	—	—	—	—	jeden	—	—	180 000°	dvuagon
3	1,732050808	${\displaystyle D_{3h))$	0	—	—	—	—	—	—	3	jeden	—	120 000°	trojúhelník
čtyři	3,674234614	${\displaystyle T_{d))$	0	čtyři	0	0	0	0	0	6	čtyři	0	109,471°	čtyřstěn
5	6,474691495	${\displaystyle D_{3h))$	0	2	3	0	0	0	0	9	6	0	90 000°	trojúhelníková dipyramida
6	9,985281374	$O_{h}$	0	0	6	0	0	0	0	12	osm	0	90 000°	osmistěn
7	+14,452977414	${\displaystyle D_{5h))$	0	0	5	2	0	0	0	patnáct	deset	0	72 000°	pětiúhelníková dipyramida
osm	+19,675287861	${\displaystyle D_{4d))$	0	0	osm	0	0	0	0	16	osm	2	71,694°	čtvercový antihranol
9	+25,759986531	${\displaystyle D_{3h))$	0	0	3	6	0	0	0	21	čtrnáct	0	69,190°	trojboký hranol
deset	+32,716949460	${\displaystyle D_{4d))$	0	0	2	osm	0	0	0	24	16	0	64,996°	Gyro protáhlá čtvercová dipyramida
jedenáct	+40,596450510	${\displaystyle C_{2v))$	0,013219635	0	2	osm	jeden	0	0	27	osmnáct	0	58,540°	dvacetistěn stlačený hranou
12	+49,165253058	$I_{h}$	0	0	0	12	0	0	0	třicet	dvacet	0	63,435°	dvacetistěn
13	+58,853230612	${\displaystyle C_{2v))$	0,008820367	0	jeden	deset	2	0	0	33	22	0	52,317°	—
čtrnáct	+69,306363297	${\displaystyle D_{6d))$	0	0	0	12	2	0	0	36	24	0	52,866°	zkroucená podlouhlá šestihranná dipyramida
patnáct	+80,670244114	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	3	0	0	39	26	0	49,225°	—
16	+92,911655302	$T$	0	0	0	12	čtyři	0	0	42	28	0	48,936°	—
17	+106,050404829	${\displaystyle D_{5h))$	0	0	0	12	5	0	0	45	třicet	0	50,108°	—
osmnáct	+120,084467447	${\displaystyle D_{4d))$	0	0	2	osm	osm	0	0	48	32	0	47,534°	—
19	+135,089467557	${\displaystyle C_{2v))$	0,000135163	0	0	čtrnáct	5	0	0	padesáti	32	jeden	44,910°	—
dvacet	+150,881568334	${\displaystyle D_{3h))$	0	0	0	12	osm	0	0	54	36	0	46,093°	—
21	+167,641622399	${\displaystyle C_{2v))$	0,001406124	0	jeden	deset	deset	0	0	57	38	0	44,321°	—
22	+185,287536149	${\displaystyle T_{d))$	0	0	0	12	deset	0	0	60	40	0	43,302°	—
23	+203,930190663	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	jedenáct	0	0	63	42	0	41,481°	—
24	+223,347074052	$Ó$	0	0	0	24	0	0	0	60	32	6	42,065°	snub kostka
25	+243,812760299	$C_{S}$	0,001021305	0	0	čtrnáct	jedenáct	0	0	68	44	jeden	39,610°	—
26	+265,133326317	$C_{2}$	0,001919065	0	0	12	čtrnáct	0	0	72	48	0	38,842°	—
27	+287,302615033	${\displaystyle D_{5h))$	0	0	0	12	patnáct	0	0	75	padesáti	0	39,940°	—
28	+310,491542358	$T$	0	0	0	12	16	0	0	78	52	0	37,824°	—
29	+334,634439920	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	17	0	0	81	54	0	36,391°	—
třicet	+359,603945904	$D_{2}$	0	0	0	12	osmnáct	0	0	84	56	0	36,942°	—
31	+385,530838063	${\displaystyle C_{3v))$	0,003204712	0	0	12	19	0	0	87	58	0	36,373°	—
32	+412,261274651	$I_{h}$	0	0	0	12	dvacet	0	0	90	60	0	37,377°	—
33	+440,204057448	$C_{s}$	0,004356481	0	0	patnáct	17	jeden	0	92	60	jeden	33,700°	—
34	+468,904853281	$D_{2}$	0	0	0	12	22	0	0	96	64	0	33,273°	—
35	+498,569872491	$C_{2}$	0,000419208	0	0	12	23	0	0	99	66	0	33,100°	—
36	+529,122408375	$D_{2}$	0	0	0	12	24	0	0	102	68	0	33,229°	—
37	+560,618887731	${\displaystyle D_{5h))$	0	0	0	12	25	0	0	105	70	0	32,332°	—
38	+593,038503566	${\displaystyle D_{6d))$	0	0	0	12	26	0	0	108	72	0	33,236°	—
39	+626,389009017	${\displaystyle D_{3h))$	0	0	0	12	27	0	0	111	74	0	32,053°	—
40	+660,675278835	${\displaystyle T_{d))$	0	0	0	12	28	0	0	114	76	0	31,916°	—
41	+695,916744342	${\displaystyle D_{3h))$	0	0	0	12	29	0	0	117	78	0	31,528°	—
42	+732,078107544	${\displaystyle D_{5h))$	0	0	0	12	třicet	0	0	120	80	0	31,245°	—
43	+769,190846459	${\displaystyle C_{2v))$	0,000399668	0	0	12	31	0	0	123	82	0	30,867°	—
44	+807,174263085	$O_{h}$	0	0	0	24	dvacet	0	0	120	72	6	31,258°	—
45	+846,188401061	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	33	0	0	129	86	0	30,207°	—
46	+886,167113639	$T$	0	0	0	12	34	0	0	132	88	0	29,790°	—
47	+927,059270680	$C_{s}$	0,002482914	0	0	čtrnáct	33	0	0	134	88	jeden	28,787°	—
48	+968,713455344	$Ó$	0	0	0	24	24	0	0	132	80	6	29,690°	—
49	+1011,557182654	$C_{{3}}$	0,001529341	0	0	12	37	0	0	141	94	0	28,387°	—
padesáti	+1055,182314726	${\displaystyle D_{6d))$	0	0	0	12	38	0	0	144	96	0	29,231°	—
51	+1099,819290319	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	39	0	0	147	98	0	28,165°	—
52	+1145,418964319	$C_{{3}}$	0,000457327	0	0	12	40	0	0	150	100	0	27,670°	—
53	+1191,922290416	$C_{{2v}}$	0,000278469	0	0	osmnáct	35	0	0	150	96	3	27,137°	—
54	+1239,361474729	$C_{2}$	0,000137870	0	0	12	42	0	0	156	104	0	27,030°	—
55	+1287,772720783	$C_{2}$	0,000391696	0	0	12	43	0	0	159	106	0	26,615°	—
56	+1337,094945276	$D_{2}$	0	0	0	12	44	0	0	162	108	0	26,683°	—
57	+1387,383229253	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	45	0	0	165	110	0	26,702°	—
58	+1438,618250640	$D_{2}$	0	0	0	12	46	0	0	168	112	0	26,155°	—
59	+1490,773335279	$C_{2}$	0,000154286	0	0	čtrnáct	43	2	0	171	114	0	26,170°	—
60	+1543,830400976	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	48	0	0	174	116	0	25,958°	—
61	+1597,941830199	$C_{1}$	0,001091717	0	0	12	49	0	0	177	118	0	25,392°	—
62	+1652,909409898	$D_{5}$	0	0	0	12	padesáti	0	0	180	120	0	25,880°	—
63	+1708,879681503	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	51	0	0	183	122	0	25,257°	—
64	+1765,802577927	$D_{2}$	0	0	0	12	52	0	0	186	124	0	24,920°	—
65	+1823,667960264	$C_{2}$	0,000399515	0	0	12	53	0	0	189	126	0	24,527°	—
66	+1882,441525304	$C_{2}$	0,000776245	0	0	12	54	0	0	192	128	0	24,765°	—
67	+1942,122700406	$D_{5}$	0	0	0	12	55	0	0	195	130	0	24,727°	—
68	+2002,874701749	$D_{2}$	0	0	0	12	56	0	0	198	132	0	24,433°	—
69	+2064,533483235	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	57	0	0	201	134	0	24,137°	—
70	+2127.100901551	${\displaystyle D_{2d))$	0	0	0	12	padesáti	0	0	200	128	čtyři	24,291°	—
71	+2190,649906425	$C_{2}$	0,001256769	0	0	čtrnáct	55	2	0	207	138	0	23,803°	—
72	+2255,001190975	$já$	0	0	0	12	60	0	0	210	140	0	24,492°	—
73	+2320,633883745	$C_{2}$	0,001572959	0	0	12	61	0	0	213	142	0	22,810°	—
74	+2387,072981838	$C_{2}$	0,000641539	0	0	12	62	0	0	216	144	0	22,966°	—
75	+2454,369689040	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	63	0	0	219	146	0	22,736°	—
76	+2522,674871841	$C_{2}$	0,000943474	0	0	12	64	0	0	222	148	0	22,886°	—
77	+2591,850152354	$D_{5}$	0	0	0	12	65	0	0	225	150	0	23,286°	—
78	+2662,046474566	$T_{h}$	0	0	0	12	66	0	0	228	152	0	23,426°	—
79	+2733,248357479	$C_{s}$	0,000702921	0	0	12	63	jeden	0	230	152	jeden	22,636°	—
80	+2805,355875981	${\displaystyle D_{4d))$	0	0	0	16	64	0	0	232	152	2	22,778°	—
81	+2878,522829664	$C_{2}$	0,000194289	0	0	12	69	0	0	237	158	0	21,892°	—
82	+2952,569675286	$D_{2}$	0	0	0	12	70	0	0	240	160	0	22,206°	—
83	+3027,528488921	$C_{2}$	0,000339815	0	0	čtrnáct	67	2	0	243	162	0	21,646°	—
84	+3103,465124431	$C_{2}$	0,000401973	0	0	12	72	0	0	246	164	0	21,513°	—
85	+3180,361442939	$C_{2}$	0,000416581	0	0	12	73	0	0	249	166	0	21,498°	—
86	+3258,211605713	$C_{2}$	0,001378932	0	0	12	74	0	0	252	168	0	21,522°	—
87	+3337,000750014	$C_{2}$	0,000754863	0	0	12	75	0	0	255	170	0	21,456°	—
88	+3416,720196758	$D_{2}$	0	0	0	12	76	0	0	258	172	0	21,486°	—
89	+3497,439018625	$C_{2}$	0,000070891	0	0	12	77	0	0	261	174	0	21,182°	—
90	+3579,091222723	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	78	0	0	264	176	0	21,230°	—
91	+3661,713699320	$C_{2}$	0,000033221	0	0	12	79	0	0	267	178	0	21,105°	—
92	+3745,291636241	$D_{2}$	0	0	0	12	80	0	0	270	180	0	21,026°	—
93	+3829,844338421	$C_{2}$	0,000213246	0	0	12	81	0	0	273	182	0	20,751°	—
94	+3915,309269620	$D_{2}$	0	0	0	12	82	0	0	276	184	0	20,952°	—
95	+4001,771675565	$C_{2}$	0,000116638	0	0	12	83	0	0	279	186	0	20,711°	—
96	+4089,154010060	$C_{2}$	0,000036310	0	0	12	84	0	0	282	188	0	20,687°	—
97	+4177,533599622	$C_{2}$	0,000096437	0	0	12	85	0	0	285	190	0	20,450°	—
98	+4266,822464156	$C_{2}$	0,000112916	0	0	12	86	0	0	288	192	0	20,422°	—
99	+4357,139163132	$C_{2}$	0,000156508	0	0	12	87	0	0	291	194	0	20,284°	—
100	+4448,350634331	$T$	0	0	0	12	88	0	0	294	196	0	20,297°	—
101	+4540,590051694	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	89	0	0	297	198	0	20,011°	—
102	+4633,736565899	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	90	0	0	300	200	0	20,040°	—
103	+4727,836616833	$C_{2}$	0,000201245	0	0	12	91	0	0	303	202	0	19,907°	—
104	+4822,876522746	$D_{6}$	0	0	0	12	92	0	0	306	204	0	19,957°	—
105	+4919,000637616	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	93	0	0	309	206	0	19,842°	—
106	+5015,984595705	${\displaystyle D_{2))$	0	0	0	12	94	0	0	312	208	0	19,658°	—
107	+5113,953547724	$C_{2}$	0,000064137	0	0	12	95	0	0	315	210	0	19,327°	—
108	+5212,813507831	$C_{2}$	0,000432525	0	0	12	96	0	0	318	212	0	19,327°	—
109	+5312,735079920	$C_{2}$	0,000647299	0	0	čtrnáct	93	2	0	321	214	0	19,103°	—
110	+5413,549294192	$D_{6}$	0	0	0	12	98	0	0	324	216	0	19,476°	—
111	+5515,293214587	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	99	0	0	327	218	0	19,255°	—
112	+5618,044882327	$D_{5}$	0	0	0	12	100	0	0	330	220	0	19,351°	—
113	+5721,824978027	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	101	0	0	333	222	0	18,978°	—
114	+5826,521572163	$C_{2}$	0,000149772	0	0	12	102	0	0	336	224	0	18,836°	—
115	+5932,181285777	$C_{{3}}$	0,000049972	0	0	12	103	0	0	339	226	0	18,458°	—
116	+6038,815593579	$C_{2}$	0,000259726	0	0	12	104	0	0	342	228	0	18,386°	—
117	+6146,342446579	$C_{2}$	0,000127609	0	0	12	105	0	0	345	230	0	18,566°	—
118	+6254,877027790	$C_{2}$	0,000332475	0	0	12	106	0	0	348	232	0	18,455°	—
119	+6364,347317479	$C_{2}$	0,000685590	0	0	12	107	0	0	351	234	0	18,336°	—
120	+6474,756324980	$C_{s}$	0,001373062	0	0	12	108	0	0	354	236	0	18,418°	—
121	+6586,121949584	$C_{{3}}$	0,000838863	0	0	12	109	0	0	357	238	0	18,199°	—
122	+6698,374499261	$I_{h}$	0	0	0	12	110	0	0	360	240	0	18,612°	—
123	+6811,827228174	$C_{{2v}}$	0,001939754	0	0	čtrnáct	107	2	0	363	242	0	17,840°	—
124	+6926,169974193	$D_{2}$	0	0	0	12	112	0	0	366	244	0	18,111°	—
125	+7041,473264023	$C_{2}$	0,000088274	0	0	12	113	0	0	369	246	0	17,867°	—
126	+7157,669224867	${\displaystyle D_{4))$	0	0	2	16	100	osm	0	372	248	0	17,920°	—
127	+7274,819504675	$D_{5}$	0	0	0	12	115	0	0	375	250	0	17,877°	—
128	+7393,007443068	$C_{2}$	0,000054132	0	0	12	116	0	0	378	252	0	17,814°	—
129	+7512,107319268	$C_{2}$	0,000030099	0	0	12	117	0	0	381	254	0	17,743°	—
130	+7632,167378912	$C_{2}$	0,000025622	0	0	12	118	0	0	384	256	0	17,683°	—
131	+7753,205166941	$C_{2}$	0,000305133	0	0	12	119	0	0	387	258	0	17,511°	—
132	+7875,045342797	$já$	0	0	0	12	120	0	0	390	260	0	17,958°	—
133	+7998,179212898	$C_{{3}}$	0,000591438	0	0	12	121	0	0	393	262	0	17,133°	—
134	+8122,089721194	$C_{2}$	0,000470268	0	0	12	122	0	0	396	264	0	17,214°	—
135	+8246,909486992	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	123	0	0	399	266	0	17,431°	—
136	+8372,743302539	$T$	0	0	0	12	124	0	0	402	268	0	17,485°	—
137	+8499,534494782	$D_{5}$	0	0	0	12	125	0	0	405	270	0	17,560°	—
138	+8627,406389880	$C_{2}$	0,000473576	0	0	12	126	0	0	408	272	0	16,924°	—
139	+8756,227056057	$C_{2}$	0,000404228	0	0	12	127	0	0	411	274	0	16,673°	—
140	+8885,980609041	$C_{1}$	0,000630351	0	0	13	126	jeden	0	414	276	0	16,773°	—
141	+9016,615349190	$C_{{2v}}$	0,000376365	0	0	čtrnáct	126	0	jeden	417	278	0	16,962°	—
142	+9148,271579993	$C_{2}$	0,000550138	0	0	12	130	0	0	420	280	0	16,840°	—
143	+9280,839851192	$C_{2}$	0,000255449	0	0	12	131	0	0	423	282	0	16,782°	—
144	+9414,371794460	$D_{2}$	0	0	0	12	132	0	0	426	284	0	16,953°	—
145	+9548,928837232	$C_{s}$	0,000094938	0	0	12	133	0	0	429	286	0	16,841°	—
146	+9684,381825575	$D_{2}$	0	0	0	12	134	0	0	432	288	0	16,905°	—
147	+9820,932378373	$C_{2}$	0,000636651	0	0	12	135	0	0	435	290	0	16,458°	—
148	+9958,406004270	$C_{2}$	0,000203701	0	0	12	136	0	0	438	292	0	16,627°	—
149	+10096,859907397	$C_{1}$	0,000638186	0	0	čtrnáct	133	2	0	441	294	0	16,344°	—
150	+10236,196436701	$T$	0	0	0	12	138	0	0	444	296	0	16,405°	—
151	+10376,571469275	$C_{2}$	0,000153836	0	0	12	139	0	0	447	298	0	16,163°	—
152	+10517,867592878	$D_{2}$	0	0	0	12	140	0	0	450	300	0	16,117°	—
153	+10660,082748237	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	141	0	0	453	302	0	16,390°	—
154	+10803,372421141	$C_{2}$	0,000735800	0	0	12	142	0	0	456	304	0	16,078°	—
155	+10947,574692279	$C_{2}$	0,000603670	0	0	12	143	0	0	459	306	0	15,990°	—
156	+11092,798311456	$C_{2}$	0,000508534	0	0	12	144	0	0	462	308	0	15,822°	—
157	+11238,903041156	$C_{2}$	0,000357679	0	0	12	145	0	0	465	310	0	15,948°	—
158	+11385,990186197	$C_{2}$	0,000921918	0	0	12	146	0	0	468	312	0	15,987°	—
159	+11534,023960956	$C_{2}$	0,000381457	0	0	12	147	0	0	471	314	0	15,960°	—
160	+11683,054805549	$D_{2}$	0	0	0	12	148	0	0	474	316	0	15,961°	—
161	+11833,084739465	$C_{2}$	0,000056447	0	0	12	149	0	0	477	318	0	15,810°	—
162	+11984,050335814	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	150	0	0	480	320	0	15,813°	—
163	+12136,013053220	$C_{2}$	0,000120798	0	0	12	151	0	0	483	322	0	15,675°	—
164	+12288,930105320	$D_{2}$	0	0	0	12	152	0	0	486	324	0	15,655°	—
165	+12442,804451373	$C_{2}$	0,000091119	0	0	12	153	0	0	489	326	0	15,651°	—
166	+12597,649071323	${\displaystyle D_{2d))$	0	0	0	16	146	čtyři	0	492	328	0	15,607°	—
167	+12753,469429750	$C_{2}$	0,000097382	0	0	12	155	0	0	495	330	0	15 600°	—
168	+12910,212672268	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	156	0	0	498	332	0	15,655°	—
169	+13068,006451127	$C_{s}$	0,000068102	0	0	13	155	jeden	0	501	334	0	15,537°	—
170	+13226,681078541	${\displaystyle D_{2d))$	0	0	0	12	158	0	0	504	336	0	15,569°	—
171	+13386,355930717	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	159	0	0	507	338	0	15,497°	—
172	+13547,018108787	$C_{{2v}}$	0,000547291	0	0	čtrnáct	156	2	0	510	340	0	15,292°	—
173	+13708,635243034	$C_{s}$	0,000286544	0	0	12	161	0	0	513	342	0	15,225°	—
174	+13871,187092292	$D_{2}$	0	0	0	12	162	0	0	516	344	0	15,366°	—
175	+14034,781306929	$C_{2}$	0,000026686	0	0	12	163	0	0	519	346	0	15,252°	—
176	+14199,354775632	$C_{1}$	0,000283978	0	0	12	164	0	0	522	348	0	15,101°	—
177	+14364,837545298	$D_{5}$	0	0	0	12	165	0	0	525	350	0	15,269°	—
178	+14531,309552587	$D_{2}$	0	0	0	12	166	0	0	528	352	0	15,145°	—
179	+14698,754594220	$C_{1}$	0,000125113	0	0	13	165	jeden	0	531	354	0	14,968°	—
180	+14867,099927525	$D_{2}$	0	0	0	12	168	0	0	534	356	0	15,067°	—
181	+15036,467239769	$C_{2}$	0,000304193	0	0	12	169	0	0	537	358	0	15,002°	—
182	+15206,730610906	$D_{5}$	0	0	0	12	170	0	0	540	360	0	15,155°	—
183	+15378,166571028	$C_{1}$	0,000467899	0	0	12	171	0	0	543	362	0	14,747°	—
184	+15550,421450311	$T$	0	0	0	12	172	0	0	546	364	0	14,932°	—
185	+15723,720074072	$C_{2}$	0,000389762	0	0	12	173	0	0	549	366	0	14,775°	—
186	+15897,897437048	$C_{1}$	0,000389762	0	0	12	174	0	0	552	368	0	14,739°	—
187	+16072,975186320	$D_{5}$	0	0	0	12	175	0	0	555	370	0	14,848°	—
188	+16249,222678879	$D_{2}$	0	0	0	12	176	0	0	558	372	0	14,740°	—
189	+16426,371938862	$C_{2}$	0,000020732	0	0	12	177	0	0	561	374	0	14,671°	—
190	+16604,428338501	$C_{{3}}$	0,000586804	0	0	12	178	0	0	564	376	0	14,501°	—
191	+16783,452219362	$C_{1}$	0,001129202	0	0	13	177	jeden	0	567	378	0	14,195°	—
192	+16963,338386460	$já$	0	0	0	12	180	0	0	570	380	0	14,819°	—
193	+17144,564740880	$C_{2}$	0,000985192	0	0	12	181	0	0	573	382	0	14,144°	—
194	+17326,616136471	$C_{1}$	0,000322358	0	0	12	182	0	0	576	384	0	14,350°	—
195	+17509,489303930	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	183	0	0	579	386	0	14,375°	—
196	+17693,460548082	$C_{2}$	0,000315907	0	0	12	184	0	0	582	388	0	14,251°	—
197	+17878,340162571	$D_{5}$	0	0	0	12	185	0	0	585	390	0	14,147°	—
198	+18064,262177195	$C_{2}$	0,000011149	0	0	12	186	0	0	588	392	0	14,237°	—
199	+18251,082495640	$C_{1}$	0,000534779	0	0	12	187	0	0	591	394	0	14,153°	—
200	+18438,842717530	$D_{2}$	0	0	0	12	188	0	0	594	396	0	14,222°	—
201	+18627,591226244	$C_{1}$	0,001048859	0	0	13	187	jeden	0	597	398	0	13,830°	—
202	+18817,204718262	$D_{5}$	0	0	0	12	190	0	0	600	400	0	14,189°	—
203	+19007,981204580	$C_{s}$	0,000600343	0	0	12	191	0	0	603	402	0	13,977°	—
204	+19199,540775603	$T_{h}$	0	0	0	12	192	0	0	606	404	0	14,291°	—
212	+20768,053085964	$já$	0	0	0	12	200	0	0	630	420	0	14,118°	—
214	+21169,910410375	$T$	0	0	0	12	202	0	0	636	424	0	13,771°	—
216	+21575,596377869	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	204	0	0	642	428	0	13,735°	—
217	+21779,856080418	$D_{5}$	0	0	0	12	205	0	0	645	430	0	13,902°	—
232	+24961,252318934	$T$	0	0	0	12	220	0	0	690	460	0	13,260°	—
255	+30264,424251281	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	243	0	0	+759	506	0	12,565°	—
256	+30506,687515847	$T$	0	0	0	12	244	0	0	762	508	0	12,572°	—
257	+30749,941417346	$D_{5}$	0	0	0	12	245	0	0	765	510	0	12,672°	—
272	+34515,193292681	$I_{h}$	0	0	0	12	260	0	0	810	540	0	12,335°	—
282	+37147,294418462	$já$	0	0	0	12	270	0	0	840	560	0	12,166°	—
292	+39877,008012909	$D_{5}$	0	0	0	12	280	0	0	870	580	0	11,857°	—
306	+43862,569780797	$T_{h}$	0	0	0	12	294	0	0	912	608	0	11,628°	—
312	+45629,313804002	$C_{2}$	0,000306163	0	0	12	300	0	0	930	620	0	11,299°	—
315	+46525,825643432	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	303	0	0	+939	626	0	11,337°	—
317	+47128,310344520	$D_{5}$	0	0	0	12	305	0	0	945	630	0	11,423°	—
318	+47431,056020043	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	306	0	0	+948	632	0	11,219°	—
334	+52407,728127822	$T$	0	0	0	12	322	0	0	+996	664	0	11,058°	—
348	+56967,472454334	$T_{h}$	0	0	0	12	336	0	0	1038	692	0	10,721°	—
357	+59999,922939598	$D_{5}$	0	0	0	12	345	0	0	1065	710	0	10,728°	—
358	+60341,830924588	$T$	0	0	0	12	346	0	0	1068	712	0	10,647°	—
372	+65230,027122557	$já$	0	0	0	12	360	0	0	1110	740	0	10,531°	—
382	+68839,426839215	$D_{5}$	0	0	0	12	370	0	0	1140	760	0	10,379°	—
390	+71797,035335953	$T_{h}$	0	0	0	12	378	0	0	1164	+776	0	10,222°	—
392	+72546,258370889	$já$	0	0	0	12	380	0	0	1170	780	0	10,278°	—
400	+75582,448512213	$T$	0	0	0	12	388	0	0	+1194	+796	0	10,068°	—
402	+76351,192432673	$D_{5}$	0	0	0	12	390	0	0	1200	800	0	10,099°	—
432	+88353,709681956	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	24	396	12	0	1290	860	0	9,556°	—
448	+95115,546986209	$T$	0	0	0	24	412	12	0	1338	892	0	9,322°	—
460	+100351,763108673	$T$	0	0	0	24	424	12	0	1374	916	0	9,297°	—
468	+103920,871715127	$S_{6}$	0	0	0	24	432	12	0	1398	+932	0	9,120°	—
470	+104822,886324279	$S_{6}$	0	0	0	24	434	12	0	1404	+936	0	9,059°	—

Podle předpokladu, jestliže , p je mnohostěn tvořený konvexním obalem o m bodech, q je počet čtyřúhelníkových ploch p , pak řešení pro m elektronů je f ( m ): . ${\displaystyle {\displaystyle m=n+2))$ ${\displaystyle {\displaystyle f(m)=0^{n}+3n-q))$

Odkazy

Thomson, Joseph John (březen 1904). „O struktuře atomu: studium stability a period oscilací řady tělísek umístěných v pravidelných intervalech po obvodu kruhu; s aplikací výsledků do teorie atomové struktury“ (PDF). Filosofický časopis . Řada 6. 7 (39): 237-265. doi: 10.1080/14786440409463107. Archivováno z originálu (PDF) dne 13. prosince 2013.
Smale, S. (1998)."Matematické problémy příštího století". "Matematická inteligence".
Föppl, L. (1912). "Stabilní uspořádání elektronů v atomu" od J. Rain Angew. Matematika (141): 251-301
Schwartz, Richard (2010). „Pětielektronový případ Thomsonova problému“. arXiv: 1001.3702 ;[math.MG].
^ Landkof N. S. Základy moderní teorie potenciálu. Překlad z ruštiny od A.P. Dukhovského. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, skupina 180. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1972. x + 424 stran.
^ Hardin D.P.; Saff, E. B. Discretizing manifolds through points of minimum energy. Poznámky Amer. Matematika Soc. 51 (2004), č. 10, 1186-1194
^ Levine, Y.; Arenzon, JJ (2003). „Proč se náboje dostávají na povrch: zobecněný Thomsonův problém“ . Europhys. Lett . 63 (3): 415. arXiv: cond-mat/0302524 . doi: 10.1209/epl/i2003-00546-1 .
^ Sir J. J. Thomson, Romanovova přednáška, 1914 (atomová teorie)
LaFave Jr, Tim (2013). „Souvztažnosti mezi Thomsonovým klasickým elektrostatickým problémem a atomovou elektronovou strukturou“. Journal of Electrostatics . 71(6): 1029-1035. arXiv: 1403.2591 . doi: 10.1016/j.elstat.2013.10.001.
Kevin Brown. „Konfigurace minimální elektronové energie na kouli“ . Získáno 2014-05-01.
" Sloane's A008486 (viz komentář 3. února 2017) ". Elektronická encyklopedie celočíselných sekvencí . Nadace OEIS. Přijato 2017-02-08