Problém s Gaussovým kruhem

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 11. dubna 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Problém Gaussova kruhu je problém určení počtu bodů celočíselné mřížky , které spadají do kružnice o poloměru r se středem v počátku. První úspěch při řešení tohoto problému dosáhl Gauss a problém je po něm pojmenován.

Problém

V kružnici v s poloměrem se středem v počátku je nutné určit počet bodů uvnitř kružnice, které mají tvar ( m , n ), kde m a n jsou celá čísla. Protože v kartézských souřadnicích je rovnice kružnice dána vzorcem: x 2 + y 2 = r 2 , bude ekvivalentní formulace problému otázka: kolik dvojic celých čísel m a n splňuje nerovnost $\mathbb {R} ^{2}$ $r\geqslant 0$

m^{2}+n^{2}\leqslant r^{2}.

Pokud pro dané r označíme požadovanou hodnotu N ( r ), pak následující seznam uvádí hodnoty N ( r ) pro hodnoty poloměru celého čísla r mezi 0 a 10:

1, 5 , 13 , 29 , 49, 81 , 113 , 149 , 197 , 253, 317 ( OEIS sekvence A000328 ).

Meze hodnot a hypotézy

Protože plocha kružnice o poloměru r je dána π r 2 , dalo by se očekávat, že počet bodů bude kolem π r 2 . Ve skutečnosti je hodnota o něco větší než tato hodnota o určitou korekci E ( r )

N(r)=\pi r^{2}+E(r)

Hledání horní hranice této korekce je podstatou problému.

Gauss to ukázal [1]

E(r)\leqslant 2{\sqrt {2}}\pi r.

Hardy [2] a nezávisle Edmund Landau našli menší hraniční hodnotu tím, že to ukázali

E(r)\neq o\left(r^{1/2}(\log r)^{1/4}\right),

v o-malém zápisu . Existuje hypotéza [3] , že skutečná hodnota je

E(r)=O\left(r^{1/2+\varepsilon }\right).

Pokud přepíšeme poslední výraz jako , pak aktuální hranice čísla t jsou ${\displaystyle \|E(r)\|\leqslant Cr^{t))$

{\frac {1}{2}}<t\leqslant {\frac {131}{208}}=0{,}6298\ldots ,

kde dolní hranici odvodili Hardy a Landau v roce 1915 a horní hranici prokázal Martin Huxley v roce 2000 [4] .

V roce 2007 Sylvain Cappell a Julius Shaneson přispěli do arXiv článkem obsahujícím důkaz hranice [5] . $O(r^{{\frac {1}{2}}+\epsilon })$

Přesné znázornění

Hodnota N ( r ) může být reprezentována jako součet některých sekvencí. Pokud použijete funkci zaokrouhlení dolů , pak lze hodnotu vyjádřit jako [6]

N(r)=1+4\sum _{i=0}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+1}}\right\ rpodlaží -\left\lpatro {\frac {r^{2}}{4i+3}}\pravé\rpodlaží \pravé).

Mnohem jednodušeji vypadá reprezentace pomocí funkce r 2 ( n ), která je definována jako počet způsobů reprezentace čísla n jako součtu dvou čtverců. V tomto případě [1]

N(r)=\sum _{n=0}^{r^{2}}r_{2}(n).

Zobecnění

Přestože prvotní formulace problému hovořila o celočíselných svazech v kruhu, není důvod se zdržovat pouze u kruhu. Můžete nastavit úkol najít počet bodů mřížky v jiných obrazcích nebo kuželech . Dirichletův „Problém dělitele“ je ekvivalentní tomuto problému, když je kruh nahrazen hyperbolou [3] . Problém můžete také rozšířit do vyšších dimenzí a mluvit o počtu bodů uvnitř n-rozměrné koule nebo jiného objektu. Lze opustit geometrickou reprezentaci problému a přejít k diofantinským nerovnostem.

Problém kruhu pro relativně prvočísla

Dalším zobecněním může být výpočet počtu řešení koprimých celých čísel m a n rovnice

m^{2}+n^{2}\leqslant r^{2}.

Tento problém je známý jako kruhový problém pro prvočísla nebo kruhový problém pro primitivní čísla [7] Pokud počet takových řešení označíme V ( r ), pak V ( r ) pro malé celočíselné hodnoty poloměru r jsou

0, 4 , 8 , 16 , 32 , 48 , 72 , 88 , 120 , 152, 192, ... sekvence A175341 v OEIS .

S použitím stejných myšlenek jako u obvyklého Gaussova problému a ze skutečnosti, že pravděpodobnost, že dvě čísla jsou koprimá, je 6/ π 2 , je relativně snadné ukázat, že

V(r)={\tfrac {6}{\pi }}r^{2}+O(r^{1+\varepsilon }).

Stejně jako v obvyklém nastavení je problém pro relativně prvočísla snížit exponent v korekci. V současnosti je nejznámějším exponentem , pokud přijmeme Riemannovu hypotézu [7] . Bez přijetí Riemannovy hypotézy je nejlepší horní mez ${\tfrac {221}{304}}+\epsilon$

V(r)={\tfrac {6}{\pi }}r^{2}+O(r\exp(-c(\log r)^{3/5}(\log \log r ^{2})^{-1/5}))

pro nějakou kladnou konstantu c [7] .

Zejména hranice tvarové opravy pro any jsou neznámé , pokud není přijata Riemannova hypotéza. $1-\epsilon$ $\epsilon > 0$

Viz také

geometrie čísel

Poznámky

↑ 12 G.H. _ Hardy, Ramanujan: Dvanáct přednášek o předmětech navržených jeho životem a dílem, 3. vydání. New York: Chelsea, (1999), s. 67.
↑ G.H. Hardy, O vyjádření čísla jako součtu dvou čtverců , Quart. J Math. 46 , (1915), str. 263-283.
↑ 12 R.K. _ Guy, Nevyřešené problémy v teorii čísel, Třetí vydání , Springer, (2004), s. 365-366.
↑ MN Huxley, Celočíselné body, exponenciální součty a Riemannova zeta funkce , Teorie čísel pro tisíciletí, II (Urbana, IL, 2000) s. 275–290, A. K. Peters, Natick, MA, 2002, MR : 1956254 .
↑ S. Cappell a J. Shaneson, Některé problémy v teorii čísel I: Problém kruhu , arXiv : math/0702613 , (2007).
↑ D. Hilbert a S. Cohn-Vossen, Geometrie a představivost , New York: Chelsea, (1999), s. 37-38.
↑ 1 2 3 J. Wu, O problému primitivního kruhu , Monatsh. Matematika. 135 (2002), str. 69-81.

Odkazy

Weisstein, Eric W. Gauss's Circle Problem (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .