Generující funkce pravděpodobností

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 29. srpna 2017; kontroly vyžadují 4 úpravy .

V teorii pravděpodobnosti je generující funkce pravděpodobností jednotlivé náhodné veličiny mocninnou řadou pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Funkce generující pravděpodobnost se často používají ke stručnému popisu jejich posloupnosti pravděpodobností P(X=i) pro náhodnou veličinu X , se schopností aplikovat teorii mocninných řad s nezápornými koeficienty.

Definice

Jednorozměrný případ

Pokud je X diskrétní náhodná proměnná s nezápornými celočíselnými hodnotami {0,1, ...}, pak pravděpodobnost generující funkce náhodné proměnné X je definována jako

{\displaystyle G(z)=M(z^{X})=\sum _{x=0}^{\infty }p(x)z^{x))

kde p je pravděpodobnostní funkce X. Všimněte si, že označovací indexy G X a p X se často používají pro zdůraznění toho, že se týkají konkrétní náhodné veličiny X a jejího rozdělení. Mocninná řada konverguje absolutně, alespoň pro všechna komplexní čísla z, |z| < 1; v mnoha příkladech je poloměr konvergence větší.

Vícerozměrné pouzdro

Pokud X = (X 1 ,...,X d ) je diskrétní náhodná proměnná nabývající hodnot z d-rozměrné nezáporné celočíselné mřížky {0,1, ...} d , pak pravděpodobnost generující funkce X je definováno jako

G(z)=G(z_{1},...,z_{d})=M(z_{1}^{X_{1}}...z_{d}^{X_{d }})=\součet _{x_{1},...,x_{d}=0}^{\infty }p(x_{1},...,x_{d})z_{1}^ {x_{1}}...z_{d}^{x_{d}}

kde p je pravděpodobnostní funkce X. Mocninná řada konverguje absolutně minimálně pro všechny komplexní vektory z = (z 1 ,...,z d ) ∈ ℂ d s maximem {|z 1 |,...,|z d |} ≤ 1.)

Vlastnosti

Mocninná řada

Generující funkce pravděpodobností se řídí všemi pravidly mocninných řad s nezápornými koeficienty. Konkrétně G(1 − ) = 1, kde G(1 − ) = lim z→1 G(z) zdola, protože součet pravděpodobností se musí rovnat 1. Poloměr konvergence libovolné generující pravděpodobnostní funkce musí být alespoň 1 podle Abelovy věty pro mocninné řady s nezápornými koeficienty.

Pravděpodobnosti a očekávání

Následující vlastnosti vám umožňují odvodit různé základní veličiny spojené s : $X$

1. Pravděpodobnostní funkce je obnovena použitím derivace $X$ $G$

p(k)=P(X=k)={\frac {G^{(k)}(0)}{k!)}}

2. Z vlastnosti 1 vyplývá, že pokud náhodné veličiny a mají stejné tvořící funkce pravděpodobností ( = ), pak .Tedy pokud a mají stejné tvořící funkce pravděpodobností, pak mají také stejná rozdělení. $X$ $Y$ $G_{X}$ $G_{Y}$ $p_{X}(k)=p_{Y}(k)$ $X$ $Y$

3. Normalizaci funkce hustoty lze vyjádřit pomocí generující funkce

M(1)=G(1^{-})=\sum _{i=0}^{\infty }p(i)=1

Matematické očekávání X je dáno jako

M(X)=G'(1^{-})

Obecněji, k-tý faktoriální moment , X je dán vztahem

E(X(X-1)...(X-k+1)))

M\left({\frac {X!}{(Xk)!}}\right)=G^{(k)}(1^{-}),k\geq 0

Rozptyl X je tedy dán jako

{\displaystyle D(X)=G''(1^{-})+G'(1^{-})-[G'(1^{-})]^{2))

4. , kde je náhodná veličina. je generující funkcí pravděpodobností a je generující funkcí momentů. $G_{X}(e^{t})=M_{X}(t)$ $X$ $G_{X}(t)$ $M_{X}(t)$

Funkce nezávislých náhodných veličin

Funkce generující pravděpodobnost jsou užitečné zejména pro práci s funkcemi nezávislých náhodných veličin . Například:

Jestliže X 1 , X 2 , ..., X n je posloupnost nezávislých (a nemusí být nutně rovnoměrně distribuovaných) náhodných proměnných, a

S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i},

kde a i jsou konstanty, pak je pravděpodobnost generující funkce definována jako

G_{S_{n}}(z)=M(z^{S_{n}})=M(z^{\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i }})=G_{x_{1}}(z^{a_{1}})G_{x_{2}}(z^{a_{2}})...G_{x_{n}}(z ^{a_{n}})

Například pokud

S_{n}=\sum _{i=1}^{n}X_{i},

pak pravděpodobnost generující funkce, G S n (z) , je definována jako

G_{S_{n}}(z)=G_{x_{1}}(z)G_{x_{2}}(z)...G_{x_{n}}(z)

Z toho také vyplývá, že generující funkce rozdílu dvou nezávislých náhodných veličin S = X 1 − X 2 je definována jako

G_{S}(z)=G_{X_{1}}(z)G_{X_{2}}(1/z)

Předpokládejme, že N je také nezávislá, diskrétní náhodná proměnná nabývající nezáporných celočíselných hodnot s pravděpodobností generující funkci G N . Jestliže X 1 , X 2 , ..., X N jsou nezávislé a rovnoměrně rozdělené se společnou pravděpodobnostní funkcí G X , pak

G_{S_{N}}(z)=G_{N}(G_{X}(z))

To lze vidět pomocí zákona úplného očekávání takto:

G_{S_{N}}(z)=M(z^{S_{N}})=M(z^{\sum _{i=1}^{N}X_{i}})= M(M(z^{\součet _{i=1}^{N}X_{i}}|N))=M((G_{X}(z))^{N})=G_{N} (G_{X}(z))

Tato poslední skutečnost je užitečná při studiu Galton-Watsonových procesů.

Nechť N je opět také nezávislá, diskrétní náhodná veličina nabývající nezáporných celočíselných hodnot, s generující funkcí pravděpodobností G N a hustotou pravděpodobnosti f i =P{N=i}. Jestliže X 1 , X 2 , ..., X n jsou nezávislé, ale nerovnoměrně rozdělené náhodné proměnné, kde G X i označuje pravděpodobnost generující funkci X i , pak

G_{S_{N}}(z)=\sum _{i\geq 1}{f_{i}}\prod _{k=1}^{i}{G_{X_{i}}( z)}

Pro rovnoměrně distribuované Xi to zjednodušuje výše uvedenou identitu. V obecném případě je někdy užitečné získat rozklad S N pomocí funkcí generujících pravděpodobnost.

Příklady

Generující funkce pravděpodobností pro konstantní náhodnou veličinu nabývající jedné hodnoty c ( P(X=c) = 1) je

{\displaystyle G(z)=z^{c))

Funkce generující pravděpodobnost pro náhodnou veličinu s binomickým rozdělením je

{\displaystyle G(z)=[(1-p)+pz]^{n))

Je zřejmé, že se jedná o n-násobný součin generování funkcí náhodné veličiny s Bernoulliho rozdělením s parametrem p Generující funkce náhodné veličiny házení poctivé mince tedy je

G(z)=1/2+z/2

Generování funkce pravděpodobnosti pro náhodnou veličinu se záporným binomickým rozdělením s pravděpodobností úspěchu p, držená do r-tého úspěchu

G(z)={\left({\frac {p}{1-(1-p)z}}\right)}^{r}

(Konverguje v )

\left|z\right|<{\frac {1}{1-p))

Je zřejmé, že se jedná o r-násobný součin geometricky rozložených náhodných proměnných generujících funkce s parametrem (1-p)

Funkce generující pravděpodobnost pro Poissonovu náhodnou veličinu s parametrem λ je

G(z)=e^{\lambda {(z-1)))

Odkazy

Johnson, NL; Kotz, S.; Kemp, A. W. (1993) Univariate Discrete distributions (2. vydání). Wiley. ISBN 0-471-54897-9 (oddíl 1.B9)