Interval (teorie relativity)

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 23. října 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Interval v teorii relativity je analogií vzdálenosti mezi dvěma událostmi v časoprostoru , což je zobecnění euklidovské vzdálenosti mezi dvěma body. Interval je Lorentz-invariantní , to znamená, že se nemění při pohybu z jedné inerciální vztažné soustavy do druhé , a co víc, je invariantní ( skalární ) ve speciální a obecné relativitě.

Tato vlastnost intervalu z něj činí základní koncept, na jehož základě lze v souladu s principem relativity provádět kovariantní formulaci fyzikálních zákonů. Zejména Lorentzovy transformace (transformace souřadnic, včetně času, ponechání záznamu všech základních fyzikálních rovnic beze změny při změně referenční soustavy) lze formálně nalézt jako skupinu transformací, které udržují interval invariantní.

Invariance intervalu posloužila jako základ pro zavedení Minkowského prostoru , ve kterém změna inerciálních vztažných soustav odpovídá „rotacím“ tohoto prostoru, což byla první explicitní formulace konceptu časoprostoru .

Definice

Intervalový čtverec je symetrický bilineární tvar na konfiguračním 4-rozměrném časoprostoru . Se správně zvolenými souřadnicemi (Galilean - lokálně inerciální vztažná soustava s kartézskými prostorovými souřadnicemi a časem ) pro nekonečně malé posunutí v časoprostoru má tvar $x, y, z$ $t$

{\displaystyle ds^{2}=c^{2}\,dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2))

(místně pseudoeuklidovský časoprostor , Menkowského prostor v hlavním řádu, jinými slovy varieta s neurčitou pseudo-Riemannovou metrikou podpisu (+−−−)).

V případě plochého časoprostoru - tedy časoprostoru bez zakřivení , který v moderní fyzice označuje případ absence (nebo zanedbatelné malosti) gravitace - platí stejný výraz pro konečné rozdíly v souřadnicích:

s^{2}=c^{2}(\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}-(\Delta z)^ {2}

(takový prostor je již přesně a globálně Minkowského prostorem, pokud je ovšem topologicky ekvivalentní ve své přirozené topologii). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4))$

Obvykle je interval označen latinským písmenem . $s$

Obecná teorie relativity používá zobecněné pojetí intervalu, které dává přirozené zobecnění vzdálenosti mezi dvěma body. Je zaveden metrický tenzor , od kterého je vyžadována pouze symetrie a nedegenerace . Výraz pro druhou mocninu intervalu mezi dvěma nekonečně blízkými body má tvar ${\displaystyle g_{ik))$

ds^{2}=g_{ij}\,dx^{i}\,dx^{j},\quad i,j=0\dots 3,\quad x^{0}=ct,\ x^{1}=x,\ x^{2}=y,\ x^{3}=z,

kde jsou souřadnicové diferenciály a sumace je implikována přes opakované indexy , to znamená, že tento výraz znamená $dx^{i}$

\sum _{i,j=0}^{3}g_{ij}\,dx^{i}\,dx^{j}.

Všimněte si, že takto definovaná metrika nebude kladně-definitivní kvadratická forma, jak je obvykle vyžadováno v případě správných Riemannových variet. Naopak se rozumí, že vždy nebo téměř vždy lokálně lze souřadnice časoprostoru (referenční rámec) volit tak, že interval pro malou oblast časoprostoru v těchto souřadnicích je zapsán stejně jako je zapsán pro Lorentzovy souřadnice (referenční rámce) v plochém Minkowského prostoru: $t,x,y,z$

ds^{2}=c^{2}\,dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2},

takže bodem časoprostoru existuje nekonečně mnoho čar, které mají nulovou "délku" (při definování délky v časoprostoru jeho "fyzickou metrikou" - tedy jako integrál ) - tvořících světelný kužel ; existuje nekonečně mnoho čar, jejichž délka je skutečná - všechny jsou ve vnitřní oblasti světelného kužele; a existuje nekonečně mnoho takových, jejichž délka je čistě imaginární - v blízkosti daného bodu jsou všechny ve vnější oblasti světelného kužele s vrcholem, pokud jsou hladké. ${\displaystyle {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-c^{2}\,dt^{2))))$

Znak intervalového čtverce je záležitostí konvence. Lze to zvolit (a historicky bylo) i naopak. V dnešní době se možná častěji používá výběr znamení, jak je uvedeno výše v tomto článku. Někdy je však vhodnější opak, použije-li se Minkowského a často příhodná interpretace časové souřadnice jako čistě imaginární.
Číslování souřadnic je také předmětem dohody, ale v moderní literatuře se nejčastěji číslují jako zde - od 0 do 3 a index 0 je přiřazen časové souřadnici. $x^i$
V teoretických konstrukcích využívajících časoprostor vyšší dimenze se definice intervalu přirozeně zobecňuje přidáním určitého počtu prostorových souřadnic k součtu. V tomto případě se nejčastěji (i když ne vždy) předpokládá, že časová souřadnice zůstává jedinečná, to znamená, že obvykle pouze jeden člen vstupuje se znaménkem opačným než všechny ostatní.
Varieta s nedegenerovaným intervalem (nebo jinými slovy nedegenerovanou metrikou) se nazývá pseudo-riemannovský , přesněji pseudo-riemannovský, aby se zdůraznil rozdíl od Riemannovy variety , ve které metrika - na rozdíl od intervalu - je kladně definitní, jako obvyklá euklidovská vzdálenost.
Definice intervalů se ve speciální a obecné teorii relativity poněkud liší. To je způsobeno skutečností, že interval mezi dvěma libovolnými body Minkowského časoprostoru lze bez problémů zadat jako délku přímky (geodetické), která je spojuje, jak bylo provedeno výše. Pro obecnou formu zakřiveného časoprostoru to však již nelze tak jednoduše provést, protože body mohou být spojeny několika různými geodetiky (nebo dokonce nekonečným počtem z nich). Proto je interval v obecné teorii relativity obvykle určen v nekonečně malém okolí daného bodu, kde se různé geodetiky z něj vycházející ještě neprotínají a vzdálenost podél geodetických linií od jednoho bodu ke druhému se nazývá svět funkce .

Intervalová invariance ve speciální teorii relativity

Použité postuláty

Přímo z principu relativity , homogenity a izotropie prostoru a také homogenity času vyplývá, že při přechodu z jedné IFR (inerciální vztažné soustavy) do druhé IFR zůstává interval nezměněn. Právě tato jeho vlastnost umožňuje formálně odvodit Lorentzovy transformace a dokládá oprávněnost zavedení Minkowského prostoru a neriemannovské metriky.

Na invarianci rychlosti světla zde záleží, protože je známo, že rychlost světla je vždy stejná alespoň v jedné vztažné soustavě a z toho a z principu relativity vyplývá, že musí být stejná v každém IFR . Místo rychlosti světla by se však dala vzít maximální rychlost pohybu těles nebo šíření interakcí, která by také z principu relativity měla být stejná ve všech inerciálních vztažných soustavách. Pokud je maximální rychlost šíření interakcí konečná, musí se z principu relativity shodovat s rychlostí světla, kterou zde jako obvykle označíme . $C$

Pro níže uvedený důkaz je podstatné, že všechny změny prostorových souřadnic a času považujeme za malé (nekonečně malé), to znamená, že vše bude formulováno pro interval mezi dvěma událostmi, které jsou si v prostoru a čase nekonečně blízké.

Důkaz

Pravděpodobně, s ohledem na některá úskalí uvedená v poznámkách, v důkazu z Landauovy učebnice níže, je nejjednodušší nejprve explicitně získat Lorentzovy transformace , z nichž intervalová invariance jednoduše vyplývá.

Nejprve ukažme, že pokud je interval mezi dvěma událostmi roven nule v jednom IFR, pak je roven nule v jakémkoli IRF. Nechť v IFR K událost 1 nastane v určitém okamžiku a událost 2 v okamžiku . Podle podmínky je interval mezi nimi roven 0, tzn ${\displaystyle x_{1},y_{1},z_{1))$ $t_{1}$ ${\displaystyle x_{2},y_{2},z_{2))$ $t_{2}$

c^{2}(t_{1}-t_{2})^{2}-(x_{1}-x_{2})^{2}-(y_{1}-y_{2} )^{2}-(z_{1}-z_{2})^{2}=0.

To znamená, že pokud se z bodu 1 do bodu 2 vyšle signál pohybující se rychlostí světla, bude po čase v bodě 2 . Ale kvůli neměnnosti rychlosti světla pro události 1 a 2, uvažované v referenční soustavě K' , můžeme psát podobně $t_{2}-t_{1}$

c^{2}(t_{1}^{'}-t_{2}^{'})^{2}-(x_{1}^{'}-x_{2}^{'} )^{2}-(y_{1}^{'}-y_{2}^{'})^{2}-(z_{1}^{'}-z_{2}^{'})^ {2}=0.

To dokazuje, že rovnost intervalu k nule nezávisí na ISO.

Pro další účely si pamatujte, že uvažujeme interval mezi nekonečně blízkými událostmi, proto to musí být nekonečně malá hodnota. Vzhledem k homogenitě a izotropii prostoru a homogenitě času při změně IFR může být nový interval pouze funkcí starého intervalu a rychlosti nového IFR ve starém IFR, nemůže záviset na souřadnicích a bod nebo čas. Při změně IFR nelze do intervalu přidat člen, který nezávisí na intervalu ve starém IFR, protože pokud je v jednom IFR interval 0, pak v druhém IFR je také 0. Oba intervaly tedy budou být nekonečně malý. Protože jsou intervaly nekonečně malé, musí být úměrné [1] , jako nekonečně malé stejného řádu, protože jeden z nich zaniká právě tehdy, když druhý, jak jsme již zjistili na začátku. To znamená, že při změně ISO se interval transformuje podle pravidla

ds_{2}^{2}=k({\vec {V)))\,ds_{1}^{2}.

Vzhledem k izotropii prostoru nemůže k záviset na směru rychlosti, pouze na jejím modulu .

To znamená [2] , že když vezmeme v úvahu změnu intervalu během přechodu ze systému 1 do systému 2 a pak zpět, vzhledem k tomu, že V je stejné pro přímé a inverzní transformace z izotropie prostoru a principu relativity ( druhý systém vypadá k nerozeznání od prvního, jak vypadá první systém od druhého), máme

ds_{2}^{2}=K(V)\,ds_{1}^{2},

ds_{1}^{2}=K(V)\,ds_{2}^{2},

a proto (protože ) ${\displaystyle ds_{1}=ds_{1))$

K^{2}(V)=1

pro jakýkoli V.

Zbývá zahodit případ K = −1. To lze provést zvážením tří ISO a změnou intervalu mezi nimi. Provedení sekvenčního přechodu z prvního CO na třetí, přes druhý, máme

ds_{3}^{2}=K^{2}\,ds_{1}^{2},

a pro přímý přechod z prvního na třetí:

ds_{3}^{2}=K\,ds_{1}^{2}.

To ukazuje, že , a proto zůstává pouze varianta $K^{2}=K$

k(V)=1

pro libovolné V , to znamená, že se interval při změně ISO nemění.

Na závěr lze poznamenat, že invariance nekonečně malých intervalů implikuje invarianci konečných, protože ty jsou získány jednoduchou integrací infinitezimálů.

Význam znaku intervalového čtverce

Pokud , pak se interval nazývá timelike . Časový interval mezi událostmi znamená, že existuje takový referenční rámec, ve kterém se obě události odehrály na stejném místě. Ještě důležitější je, že časový interval mezi událostmi znamená, že mohou být v příčinné souvislosti . Je snadné ověřit, že pro kauzálně související události , protože jakákoliv interakce se šíří rychlostí ne větší než c , a odpovídá událostem spojeným se signálem šířícím se rychlostí světla. Tento signál nemusí být zrovna lehký, může to být gravitační vlna , obecně jakákoli bezhmotná částice , nebo dokonce dosud neobjevená interakce. Podstatné je pouze to, aby existovala maximální rychlost šíření interakce, která je stejná pro všechny vztažné soustavy a rovná se, jak vyplývá z Maxwellových rovnic , rychlosti světla. $ds^{2}\geqslant 0$ $ds^{2}\geqslant 0$ $ds=0$
Pokud , pak se interval nazývá prostorový , což znamená, že si můžete vybrat takovou inerciální vztažnou soustavu, ve které se obě události odehrály současně. Události, jejichž interval je prostorový, jak je naznačeno výše, nemohou být kauzálně spojeny, protože i signál šířící se přímočaře by se k tomu musel pohybovat rychleji, než je rychlost světla. $ds^{2}\leqslant 0$
Jestliže , pak se interval nazývá světlo podobný (někdy izotropní nebo nulový). Směry v Minkowski prostoru podél kterého interval je 0 být řekl, aby byl izotropní . Variety se také nazývají izotropní, pokud je tvar shodně roven 0. Světlo se vždy šíří podél izotropních směrů. $ds^{2}=0$ $ds^2$

Poznámka . Protože interval sám o sobě je invariantní, je zřejmé, že znaménko jeho druhé mocniny se také ukazuje jako invariantní. Proto zde uvedená klasifikace intervalů na tomto základě nezávisí na referenčním systému.

Viz také

Poznámky

↑ Tato pasáž důkazu v Landauově a Lifshitzově učebnici je i přes svou zdánlivou jednoduchost poněkud netriviální. Možná se zde Landau se svou láskou k vtipům rozhodl ověřit, jak dobře čtenáři rozumí podání, které je zdánlivě jednoduché, ale obsahuje nepostřehnutelná úskalí. I když samozřejmě v určitém smyslu uvažované tvrzení musí být pravdivé, alespoň na základě správného výsledku dokazování. Podrobná diskuse o tom, proč se koeficient ukáže být jen číslem, které nezávisí například na úhlu mezi vektorem rychlosti a vektorem spojujícím body událostí, jejichž interval mezi nimi je uvažován, je však v tento důkaz: navrhuje se obnovit jej čtenáři.
↑ Od tohoto bodu je důkaz oproti Landauově důkazu poněkud zjednodušený, ale vezmeme-li za prokázané to, co již bylo do tohoto bodu prokázáno, podle Landauova výkladu stačí následující.

Literatura

Landau L. D. , Lifshits E. M. Teorie pole. - 7. vydání, přepracované. — M .: Nauka , 1988. — 512 s. - (" Teoretická fyzika ", svazek II). — ISBN 5-02-014420-7 .