Stavový prostor je jednou z hlavních metod pro popis chování dynamického systému v teorii řízení . Pohyb systému ve stavovém prostoru odráží změnu jeho stavů .
Stavový prostor se obvykle nazývá fázový prostor dynamického systému a trajektorie pohybu reprezentujícího bodu v tomto prostoru se nazývá fázová trajektorie . [B:1] [B:2] [A:1]
Ve stavovém prostoru je vytvořen model dynamického systému , zahrnující množinu vstupních, výstupních a stavových proměnných , propojených diferenciálními rovnicemi prvního řádu, které jsou zapsány v maticovém tvaru. Na rozdíl od popisu přenosových funkcí a jiných metod ve frekvenční oblasti vám stavový prostor umožňuje pracovat nejen s lineárními systémy a nulovými počátečními podmínkami. Navíc je relativně snadné pracovat s MIMO systémy ve stavovém prostoru .
Pro případ lineárního systému se vstupy, výstupy a stavovými proměnnými je popis:
kde
; ; ; , , , , : je stavový vektor , jehož prvky se nazývají systémové stavy je výstupní vektor , je řídicí vektor , je systémová matice , je řídicí matice , je výstupní matice, je dopředná matice .Matice je často nulová, což znamená, že v systému neexistuje žádná explicitní dopředná vazba .
U diskrétních systémů není záznam rovnic v prostoru založen na diferenciálních , ale na diferenčních rovnicích:
Nelineární dynamický systém n-tého řádu lze popsat jako systém n rovnic 1. řádu:
nebo v kompaktnější podobě:
.První rovnice je stavová rovnice , druhá je výstupní rovnice .
LinearizaceV některých případech je možné linearizovat popis dynamického systému pro okolí pracovního bodu . V ustáleném stavu platí pro pracovní bod následující výraz:
Představení notace:
Rozšíření stavové rovnice v Taylorově řadě , omezené prvními dvěma členy, dává následující výraz:
Při parciálních derivacích vektorové funkce vzhledem k vektoru stavových proměnných a vektoru vstupních akcí získáme jakobiánské matice odpovídajících systémů funkcí :
.Podobně pro funkci exit:
Vezmeme-li v úvahu , bude mít linearizovaný popis dynamického systému v blízkosti pracovního bodu podobu:
kde
.Kyvadlo je klasický volný nelineární systém . Matematicky je pohyb kyvadla popsán následujícím vztahem:
kde
V tomto případě budou rovnice ve stavovém prostoru vypadat takto:
kde
Zápis stavových rovnic v obecném tvaru:
.Linearizovaná matice systému pro model kyvadla v blízkosti bodu rovnováhy má tvar:
Při absenci tření v závěsu ( k = 0 ) dostaneme pohybovou rovnici matematického kyvadla :