Matematické kyvadlo

Matematické kyvadlo je oscilátor , což je mechanický systém sestávající z hmotného bodu na konci beztížného neroztažitelného závitu nebo lehké tyče a umístěný v rovnoměrném poli gravitačních sil [1] . Druhý konec závitu (tyče) bývá pevný. Perioda malých vlastních kmitů kyvadla délky L zavěšeného v gravitačním poli je rovna

T_{0}=2\pi {\sqrt {L \over g))

a nezávisí, v první aproximaci, na amplitudě kmitů a hmotnosti kyvadla. Zde g je zrychlení volného pádu .

Matematické kyvadlo je nejjednodušší model fyzického tělesa, které kmitá: nebere v úvahu rozložení hmoty. Skutečné fyzikální kyvadlo však při malých amplitudách kmitá stejně jako matematické kyvadlo se zmenšenou délkou .

Povaha pohybu kyvadla

Matematické kyvadlo s tyčí je schopno kmitat pouze v nějaké jedné rovině (podél nějakého zvoleného vodorovného směru) a jde tedy o soustavu s jedním stupněm volnosti . Pokud je tyč nahrazena neroztažitelným závitem, získá se systém se dvěma stupni volnosti (protože se stanou možné oscilace podél dvou horizontálních souřadnic).

Kyvadlo se při kmitání v jedné rovině pohybuje po oblouku kružnice o poloměru a za přítomnosti dvou stupňů volnosti může opisovat křivky na kouli o stejném poloměru [1] . Často, a to i v případě vlákna, se člověk omezí na analýzu rovinného pohybu; dále se to zvažuje. $L$

Rovnice kyvadla

Vyčleníme-li tečnou složku ( ) v záznamu druhého Newtonova zákona pro matematické kyvadlo , dostaneme výraz $m{\vec {a}}={\vec {F}}$ $ma_{\tau }=F_{\tau })$

mL{\ddot {\theta }}=-mg\sin \theta

protože , a sil gravitace a napětí působících na bod, pouze první složka dává nenulovou složku. V důsledku toho jsou oscilace kyvadla popsány obyčejnou diferenciální rovnicí (DE) tvaru $a_{\tau }={\dot {v}}=d/dt(Ld\theta /dt)$ $F_{\tau }$

{\ddot {\theta }}+{\frac {g}{L}}\sin \theta =0

kde neznámá funkce je úhel odchylky kyvadla v okamžiku od spodní rovnovážné polohy, vyjádřený v radiánech, je délka zavěšení a je zrychlení volného pádu . Předpokládá se, že v systému nedochází k energetickým ztrátám . V oblasti malých úhlů se tato rovnice stává $\theta (t)$ $t$ $L$ $G$ $\sin \theta \approx \theta$

{\ddot {\theta }}+{\frac {g}{L}}\theta =0

K vyřešení DE druhého řádu, tedy k určení pohybového zákona kyvadla, je nutné nastavit dvě počáteční podmínky - úhel a jeho derivaci na . $\theta$ ${\tečka {\theta ))$ $t=0$

Řešení pohybové rovnice

Možné typy řešení

V obecném případě lze řešení DE s počátečními podmínkami pro kyvadlo získat numericky. Možnosti pohybu (v případě, že je kyvadlo hmotným bodem na světelné tyči), jsou kvalitativně prezentovány v animaci. V každém okně je nahoře zobrazena závislost úhlové rychlosti na úhlu . S rostoucím švihem se chování kyvadla stále více odchyluje od režimu harmonických kmitů. ${\tečka {\theta ))$ $\theta$

kyvadlo zavěšené
Malé výkyvy (rozpětí 45°)
Kmity s rozpětím 90°
Oscilace s rozpětím 135°
Oscilace s rozpětím 170°
Fixace v horní poloze
Pohyb blízko separatrixu
otáčení kyvadla

Harmonické vibrace

Rovnice malých kmitů kyvadla v blízkosti spodní rovnovážné polohy, kdy je vhodné nahrazení , se nazývá harmonická rovnice: $\sin \theta \approx \theta$

{\ddot {\theta }}+\omega _{0}^{2}\theta =0

kde je kladná konstanta určená pouze z parametrů kyvadla a mající význam vlastní frekvence kmitání . Kromě toho lze provést přechod na proměnnou „horizontální souřadnice“ (osa leží v rovině výkyvu a je kolmá k závitu ve spodním bodě): $\omega _{0}={\sqrt {g/L}}$ $x=L\sin \theta \approx L\theta$ $X$

{\ddot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0

Malé kmity kyvadla jsou harmonické . To znamená, že posunutí kyvadla z rovnovážné polohy se v čase mění podle sinusového zákona [2] :

x=A\sin(\omega _{0}t+\alpha )

kde je amplituda kmitů kyvadla, je počáteční fáze kmitů. $A$ $\alpha$

Pokud použijeme proměnnou , pak u je nutné nastavit souřadnici a rychlost , což nám umožní najít dvě nezávislé konstanty , ze vztahů a . $X$ $t=0$ $x_{0}$ ${\displaystyle v_{x0))$ $A$ $\alpha$ $x_{0}=A\sin \alpha$ $v_{x0}=A\omega _{0}\cos \alpha$

Případ nelineárních oscilací

Pro kyvadlo, které kmitá s velkou amplitudou, je zákon pohybu složitější:

\sin {\frac {\theta }{2}}=\varkappa \cdot \operatorname {sn} (\omega _{0}t;\varkappa ),

kde je jakobánský sinus . Pro to je periodická funkce, pro malou se shoduje s obvyklým goniometrickým sinem. $\operatorname {sn}$ $\varkappa<1$ $\varkappa$

Parametr je definován výrazem $\varkappa$

\varkappa ={\frac {\varepsilon +\omega _{0}^{2}}{2\omega _{0}^{2}}},\quad \varepsilon ={\frac {E} {mL^{2}}}

Doba kmitání nelineárního kyvadla je

T={\frac {2\pi }{\Omega )),\quad \Omega ={\frac {\pi }{2)){\frac {\omega _{0)){K(\ varkappa)}}

kde K je eliptický integrál prvního druhu.

Pro výpočty je prakticky vhodné rozšířit eliptický integrál v řadě:

T=T_{0}\left\{1+\left({\frac {1}{2}\right)^{2}\sin ^{2}\left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}\sin ^{4}\left({\ frac {\theta _{0}}{2}}\right)+\tečky +\left[{\frac {\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!} }\right]^{2}\sin ^{2n}\left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)+\tečky \right\}

kde je perioda malých kmitů, je maximální úhel vychýlení kyvadla od svislice. $T_{0}=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g))}$ $\theta _{0}$

V úhlech do 1 radiánu (≈ 60°) s přijatelnou přesností (chyba menší než 1 %) se můžeme omezit na první aproximaci:

T=T_{0}\left(1+{\frac {1}{4}}\sin ^{2}\left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right )\že jo)

Vzorec přesné periody s kvadratickou konvergencí pro jakýkoli úhel maximální odchylky je diskutován ve vydání American Mathematical Society Notes ze září 2012 [3] :

T={\frac {2\pi }{M{\big (}\cos(\theta _{0}/2){\big )}}}{\sqrt {\frac {L}{g }}}

kde je aritmeticko-geometrický průměr čísel 1 a . $M(s)$ $s$

Pohyb podél separatrix

Pohyb kyvadla podél separatrix je neperiodický. V nekonečně vzdáleném časovém okamžiku začne padat z krajní horní polohy nějakým směrem s nulovou rychlostí, postupně ji zvedne a pak se zastaví a vrátí se do původní polohy.

Fakta

I přes svou jednoduchost je matematické kyvadlo spojeno s řadou zajímavých jevů.

Pokud je amplituda kmitání kyvadla blízká , to znamená, že pohyb kyvadla ve fázové rovině je blízko separatrixu , pak při působení malé periodické hnací síly systém vykazuje chaotické chování . Jedná se o jeden z nejjednodušších mechanických systémů, ve kterém vzniká chaos pod vlivem periodické poruchy [4] . $\pi$
Pokud závěsný bod není pevný, ale kmitá, pak může mít kyvadlo novou rovnovážnou polohu. Pokud bod zavěšení kolísá nahoru a dolů dostatečně rychle, pak kyvadlo získá stabilní polohu hlavou dolů. Takový systém se nazývá Kapitzovo kyvadlo .
V podmínkách rotace Země se při dostatečně dlouhém závěsném závitu bude rovina, ve které kmitá kyvadlo, pomalu otáčet vůči zemskému povrchu ve směru opačném ke směru rotace Země ( Foucaultovo kyvadlo ).

Poznámky

↑ 1 2 Šéfredaktor A. M. Prochorov. Kyvadlo // Fyzikální encyklopedický slovník. — M.: Sovětská encyklopedie . - 1983. (Ruština) - Článek ve fyzikálním encyklopedickém slovníku
↑ Rychlost a zrychlení kyvadla při harmonických oscilacích se také mění v čase podle sinusového zákona.
↑ Adlaj S. Výmluvný vzorec pro obvod elipsy // Notices of the AMS . - 2012. - Sv. 59 , č. 8 . - S. 1096-1097 . — ISSN 1088-9477 .
↑ V. V. Vecheslavov. Chaotická vrstva kyvadla při nízkých a středních frekvencích poruch // Časopis technické fyziky. - 2004. - T. 74 , č. 5 . - S. 1-5 . Archivováno z originálu 14. února 2017.

Odkazy

Kolekce apletů Java , které modelují chování matematických kyvadel, zejména Kapitzova kyvadla .
Java applet , který simuluje kmitání matematického kyvadla v přítomnosti viskózního tření s vykreslováním fázové trajektorie .
Vzdělávací film "Matematické a fyzikální kyvadlo", produkce SSSR