Pseudoharmonické vibrace

Pseudoharmonické kmitání je druh kmitání, u kterého vratná síla (síla, která má tendenci vrátit těleso do rovnovážného stavu) není lineární ve velikosti výchylky. Jinými slovy, jedná se o vibrace, u kterých „pružnost“ systému závisí na výtlaku.

Oscilační rovnice

Obecný tvar rovnice pseudoharmonických kmitů:

m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=F(x,x^{2},x^{3},\tečky )

Pokud je možné zanedbat všechny členy F, které jsou nelineární v x, pak se tato rovnice změní na rovnici harmonických kmitů .

Příklady

Na obou koncích je upevněn elastický beztížný drát délky 2l. Uprostřed drátu je upevněno zatížení o hmotnosti m. V počátečním okamžiku je zatížení odstraněno z rovnovážné polohy o vzdálenost a << l a uvolněno bez počáteční rychlosti. Tažná síla drátu je P, jeho průřez je F a Youngův modul je E. Rovnice kmitání v tomto případě bude zapsána jako:

m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-{\frac {2Px}{l}}-{\frac {EFx^{3}}{l^{ 3}}}

Řešení této rovnice může být reprezentováno jako:

x=a\,\operatorname {cn} \left({\sqrt {\frac {2Pl+EFa^{2}}{ml^{3}}}}t\right)

Zde symbol označuje Jacobiho eliptickou funkci . Doba takových oscilací se rovná: $\operatorname {cn}$

T=4{\sqrt {\frac {ml^{3}}{2Pl+EFa^{2}}}}K\left({\sqrt {\frac {EFa^{2}}{4Pl^ {2}+2EFa^{2}}}}\right)

Zde je K úplný normální eliptický integrál prvního druhu

Viz také

Harmonické vibrace

Literatura

Yu.S. Sikorského obyčejné diferenciální rovnice //M., URSS, 2005