Cesta (topologie)

V matematice  je cesta v topologickém prostoru X spojité zobrazení f z jednotkového intervalu I = [0,1] až X

Počáteční bod cesty je f (0) a koncový bod  je f (1). Často mluvíme o "cestě z x do y ", kde x a y  jsou počáteční a koncové body cesty. Všimněte si, že cesta není jen podmnožinou X , která „vypadá jako“ křivka , ale zahrnuje také parametrizaci . Například zobrazení f ( x ) = x ag ( x ) = x 2 představují dvě různé cesty od 0 do 1 na reálné čáře.

Smyčka v prostoru X se základním bodem x ∈ X  je cesta z x do x . Smyčku lze také definovat jako zobrazení f  : I → X s f (0) = f (1) nebo jako spojité zobrazení z jednotkové kružnice S 1 až X

To vyplývá ze skutečnosti, že S 1 lze považovat za kvocientový prostor I , když 0 je ztotožňováno s 1. Množina všech smyček v X tvoří prostor nazývaný prostor smyček prostoru X [1] .

Topologický prostor, ve kterém existuje cesta spojující libovolné dva body, se nazývá cesta spojená . Libovolný prostor lze rozdělit na množinu lineárně spojených komponent . Množinu lineárně spojených složek prostoru X často značíme π 0 ( X );.

Lze také definovat cesty a smyčky ve špičatých prostorech , které jsou důležité v teorii homotopie . Jestliže X je topologický prostor s rozlišujícím bodem x 0 , pak cesta v X  je cesta, jejíž počáteční bod je x 0 . Podobně smyčka v X  je smyčka v x 0 .

Homotopie cesty

Cesty a smyčky jsou ústřední objekty studia v odvětví algebraické topologie zvané teorie homotopie . Homotopie cest zpřesňuje pojem kontinuální deformace cesty při zachování konců cesty.

Konkrétně homotopie cest v X  je rodina cest f t  : I → X indexovaných I tak, že

• f t (0) = x 0 a f t (1) = x 1 jsou pevné.
• zobrazení F  : I × I → X dané vztahem F ( s , t ) = f t ( s ) je spojité.

O drahách f 0 a f 1 se říká, že jsou homotopické (nebo přesněji lineárně homotopické ), pokud jsou spojeny homotopií. Podobně lze definovat homotopii smyčky, která zachovává základní bod.

Relace homotopie je relací ekvivalence pro cesty v topologickém prostoru. Třída ekvivalence cesty f podle tohoto vztahu se nazývá třída homotopie f a často se označuje [ f ].

Složení cest

Zřejmým způsobem je možné vytvořit kompozici cest v topologickém prostoru. Nechť f  je cesta z x do y a g  je cesta z y do z . Cesta fg je definována jako cesta získaná nejprve průchodem f a poté g :

Je jasné, že složení dráhy je definováno pouze tehdy, pokud se koncový bod f shoduje s počátečním bodem g . Pokud vezmeme v úvahu smyčky v bodě x 0 , pak složení cesty je binární operace .

Složení cesty, pokud je definováno, není asociativní operace kvůli rozdílu v parametrizaci. Je však asociativní až do homotopie. To znamená, [( fg ) h ] = [ f ( gh )]. Složení cesty definuje strukturu skupiny na množině tříd homotopických smyček v X se základním bodem x 0 . Výsledná grupa se nazývá základní grupa X s vyznačeným bodem x 0 a obvykle se označuje π 1 ( X , x 0 ).

Cestu v X lze definovat jako spojité zobrazení intervalu [0, a ] do X pro jakékoli reálné a ≥ 0. Cesta f tohoto tvaru má délku | f | definováno jako a . Složení cesty je pak definováno jako dříve s následující změnou:

Zatímco v předchozí definici f , g a fg mají délku 1, tato definice dává | fg | = | f | + | g |. Co v dřívější definici vedlo k porušení asociativnosti, bylo to, že ačkoli ( fg ) h a f ( gh ) měly stejnou délku, konkrétně 1, střed ( fg ) h skončil mezi g a h , zatímco střed f ( gh ) bylo mezi f a g . V upravené definici ( fg ) mají h a f ( gh ) stejnou délku, konkrétně | f |+| g |+| h | a stejné středy nalezené v (| f |+| g |+| h |)/2 pro oba ( fg ) h a f ( gh ). A dokonce mají stejnou parametrizaci.

Základní grupoid

Jakýkoli topologický prostor X dává vzniknout kategorii, jejíž objekty jsou body X a jejíž morfismy jsou třídy homotopie cest. Protože jakýkoli morfismus v této kategorii je izomorfismus , tato kategorie je grupoid , nazývaný základní grupoid X. Smyčky v této kategorii jsou endomorfismy (všechny jsou vlastně automorfismy ). Grupa automorfismu bodu x 0 v X  je jednoduše základní grupa v X . Jeden může definovat základní grupoid na jakékoli podmnožině A z X pomocí homotopických tříd cest spojujících body v A .

Literatura

• Ronald Brown. Topologie a grupoidy. - Deganwy, Spojené království, 2006. - ISBN 1-4196-2722-8 .

• Petr May. Stručný kurz algebraické topologie. - Chicago, IL: University of Chicago Press, 1999. - ISBN 10: 0226511820 13: 9780226511825.

• James R. Munkres. topologie. — 2ed. - NJ: Prentice Hall, 2000. - ISBN 0-13-181629-2 .
• John Frank Adams. Prostory nekonečné smyčky. - Princeton University Press, 1978. - T. 90. - (Annals of mathematic studies). — ISBN 9780691082066 .
• O.Ya Viro, O.A. Ivanov, N. Yu. Netsvetaev, V.M. Kharlamov. Elementární topologie. - M. : MTSNMO, 2010. - ISBN 978-5-94057-587-0 .

1. ↑ Adams, 1978 , str. 3.