Rovnoúhlé čáry

Rovnoúhlé čáry jsou rodinou čar v euklidovském prostoru tak, že úhel mezi libovolnými dvěma úsečkami z této množiny je stejný.

Výpočet maximálního počtu rovnoúhelníkových čar v n -rozměrném euklidovském prostoru je obtížný problém a obecně nevyřešený, i když hranice jsou známé. Maximální počet rovnoúhelníkových čar ve dvourozměrném prostoru je 3 - můžete kreslit čáry přes protilehlé vrcholy pravidelného šestiúhelníku, pak každá čára protne další dvě pod úhlem 120 stupňů. Maximální počet v trojrozměrném prostoru je 6 - můžete kreslit čáry přes opačné vrcholy dvacetistěnu . Maximální počet v dimenzích 1 až 18 je uveden v Encyclopedia of Integer Sequences :

1, 3, 6, 6, 10, 16, 28, 28, 28, 28, 28, 28, 28, 28, 36, 40, 48, 48, ...

Konkrétně maximální počet rovnoúhelníkových čar v prostoru dimenze 7 je 28. Tyto čáry můžete získat následovně: vezměte vektor (-3, -3, 1, 1, 1, 1, 1, 1) a vytvořit všech 28 vektorů permutací vektorových prvků. Bodový součin jakýchkoli dvou z těchto čar je 8, pokud jsou na stejné pozici dvě 3, a v opačném případě -8. Čáry, na kterých tyto vektory leží, jsou tedy rovnoúhlé. Všech 28 vektorů je však ortogonálních k vektoru (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) v , takže všechny leží v 7rozměrném podprostoru. Ve skutečnosti je těchto 28 vektorů (a k nim negativních vektorů), až do rotací, 56 vrcholy 3 21 polytopu . Jinými slovy, jsou to váhové vektory 56-rozměrné reprezentace Lieovy grupy E 7 .

Rovnoúhlé čáry jsou ekvivalentní dvěma grafům . Nechť je dána množina rovnoúhelníkových čar a c se rovná kosinusu společného úhlu. Předpokládáme, že úhel není 90°, protože se jedná o triviální případ (není zajímavý, protože čáry jsou pouze souřadnicové osy). Pak se c nerovná nule. Čáry můžeme posunout tak, aby procházely počátkem. Na každém řádku zvolíme jeden jednotkový vektor. Tvoříme matici M skalárních součinů . Tato matice má 1 na diagonále a ± c jinde a je také symetrická. Odečteme- li matici identity E a vydělíme c , dostaneme symetrickou matici s nulovou úhlopříčkou a ± 1 mimo úhlopříčku. A toto je matice sousednosti dvou grafů. Naopak libovolný dvougraf lze znázornit jako množinu rovnoúhelníkových čar [1] .

Poznámky

  1. ↑ van Lint, Seidel, 1966 .

Literatura