Výpočetní mřížka

Vypočtená (výpočtová) mřížka  je množina bodů (uzlů mřížky) specifikovaných v oboru definice nějaké funkce .

Výpočtové sítě se používají při numerickém řešení diferenciálních a integrálních rovnic . Kvalita konstrukce výpočetní sítě do značné míry určuje úspěšnost (neúspěch) numerického řešení rovnice.

Klasifikace a metody pro konstrukci výpočetních sítí

Postup pro konstrukci výpočetní mřížky lze považovat za konstrukci zobrazení jedna ku jedné definičního oboru funkce ( fyzického oboru ) do nějaké výpočetní oblasti , která má jednodušší formu.

Metody algebraické sítě

Algebraické mřížky jsou stavěny řešením algebraických rovnic . Příkladem nejjednodušší mřížky definované na segmentu je množina {xk}={x1, x2 … xK}, kde xk=x1+dx*(k-1). Hodnota dx se v tomto případě nazývá krok výpočetní sítě. Hlavními výhodami algebraických metod je dobrá kontrola nad rozložením uzlů vnitřní sítě a vysoká účinnost jejich numerické implementace, což je důležité zejména při konstrukci adaptivních (během výpočtu překonfigurovaných) sítí. Nevýhodou algebraických metod je, že se zlomy hranic šíří do definičního oboru. Použití diferenciálních metod zpravidla umožňuje získat hladší sítě.

Metody diferenciálního síťování

Konstrukce sítě metodou konformních mapování

Nevýhodou metod pro konstrukci výpočetních mřížek pomocí metody konformních zobrazení je, že jsou vhodné pouze pro konstrukci dvourozměrných mřížek.

Sítě spojené (konzistentní) s hranicí oblasti

Nejjednodušší způsob, jak sestavit výpočetní mřížku, je rozdělit prostor systémem ploch ekvidistantních k základním plochám standardních souřadnicových systémů, což umožňuje výrazně zjednodušit zápis řešených diferenciálních rovnic. Nevýhoda interferenčního konceptu spočívá v tom, že mřížka není spojena s tvarem hranic oblasti - při uvažování oblastí definice libovolné tvarové funkce se žádná ze souřadnic nekryje s hranicí, která vede ke snížení kvality implementace okrajových podmínek a (nebo) k extrémní komplikaci výpočtového algoritmu a v důsledku toho ke zvýšení nákladů na strojový čas. Pomocí křivočarých mřížkových čar je možné dosáhnout shody hranic definičního oboru funkce ( fyzická doména ) a mřížkových čar, což umožňuje zjednodušit záznam okrajových podmínek . Kvůli transformaci souřadnic se však v rovnici k řešení obvykle objevují další členy .

Strukturované (pravidelné) mřížky

V případech, kdy je množina uzlů mřížky uspořádána , se výpočetní mřížka nazývá strukturovaná. Použití strukturovaných mřížek (ve srovnání s nestrukturovanými) zpravidla umožňuje zkrátit dobu výpočtu a zkrátit potřebné množství paměti RAM . Současně postup pro konstrukci křivočaré pravidelné mřížky zpravidla vyžaduje mnoho práce a počítačových zdrojů ve srovnání s postupem pro konstrukci nepravidelné mřížky.

Pravidelná mřížka

Nestrukturované (nepravidelné) mřížky

Nestrukturovaná síťovina

Ortogonální a ortogonální sítě

Pro získání řešení diferenciální rovnice, která má požadovanou přesnost s minimálními výpočetními prostředky, musí mít výpočetní mřížka řadu vlastností. Zejména, jak ukazují zkušenosti mnoha výzkumníků, výpočetní buňky by měly mít malou šikmost, to znamená, že výpočetní mřížka by měla být pokud možno ortogonalizována. Problém konstrukce vícerozměrné ortogonalizované výpočetní sítě je formulován jako problém minimalizace funkcionálu I=int(wQ dV), kde w je váhová funkce, Q je míra ortogonality mřížky. Jako míru Q lze použít součet skalárních součinů tečen k čarám souřadnicové mřížky. Lze ukázat, že variační problém konstrukce ortogonalizované výpočetní sítě je redukován na okrajový problém pro systém Poissonových diferenciálních rovnic. Jak je známo, systém Poissonových rovnic za daných okrajových podmínek popisuje rozložení tepla v uvažovaném objemu, což umožňuje získat hladké čáry mřížky i v případech, kdy jsou hranice fyzické oblasti zalomené. Princip maxima, který platí pro eliptické rovnice, zaručuje dosažení maximálních a minimálních hodnot vypočtených souřadnic na hranicích regionu. Protože se používá systém eliptických rovnic, měly by být jako okrajové podmínky specifikovány buď souřadnice uzlů mřížky na hranicích (Dirichletova podmínka) nebo sklon souřadnicových čar na hranicích (Neumannova podmínka).

Multigrid metoda

Responzivní mřížky

V problémech s nespojitým řešením (včetně problémů dynamiky nadzvukových plynů) je výpočetní doména charakterizována přítomností víceškálových prvků složité nehomogenní struktury. Dostatečně velké zóny mají malé nebo střední gradienty parametrů řešení. Zároveň existují poměrně úzké oblasti, ve kterých gradienty parametrů řešení dosahují velkých hodnot. Jsou to rázové vlny, kontaktní diskontinuity, mezní vrstvy. Pro získání spolehlivého numerického řešení úloh tohoto typu je nutné použít výpočetní sítě s malými prostorovými kroky. V tomto případě jsou výpočetní náklady tak významné, že vzhledem k omezením výpočetní techniky není vždy možné získat dostatečně přesné řešení problémů. V takových případech se stává žádoucí používat dynamicky adaptivní mřížky, které umožňují použití malých prostorových mřížkových rozestupů, kde je to nutné, pro splnění přísných požadavků na numerické metody při zachování středních výpočtových požadavků. Metody dynamicky adaptivních mřížek jsou jedním z nejúčinnějších přístupů ke zlepšení přesnosti numerického řešení ve výpočetních oblastech s několika prostorovými měřítky, které odrážejí nehomogenní strukturu řešení. Hlavní myšlenkou metod dynamicky adaptivních mřížek je zmenšit velikost buněk v těch oblastech výpočetní domény, ve kterých dochází k velkým chybám řešení. Protože ve většině případů je požadované řešení neznámé a nelze určit chybu, kterou je rozdíl mezi přesným a přibližným řešením v určité normě, nejčastěji se jako měřítko řešení používají gradienty nebo rozdíly v parametrech řešení. chyba. Existují dvě fáze adaptačního procesu: práce na kritériu a vlastní adaptační procedury.

adaptační postupy. V literatuře jsou uvedeny následující hlavní přístupy: kompletní regenerace sítě; lokální drcení-slučování buněk; pohyblivé uzly. Úplná regenerace sítě spočívá ve vytvoření nové sítě pomocí informací získaných na staré síti a opětovné interpolaci řešení. Metoda přesouvání uzlů předpokládá, že celkový počet výpočetní sítě je pevný. Jejich redistribuce se také provádí za účelem zvýšení hustoty mřížky v oblastech lokalizace singularit řešení a jeho zředění tam, kde takové singularity chybí. Metoda lokálního dělení-slučování buněk výpočetní mřížky je redukována na zahrnutí dalších uzlů do mřížky v blízkosti lokalizace singularit řešení se současným odstraněním nadbytečných uzlů v oblastech, kde řešení singularity neobsahuje. U dvou krajních metod je nutné zachovat požadovanou kvalitu výpočetní sítě.

Víceblokové mřížky

Literatura

Viz také