Sada bez součtu

Bezsoučtová množina - množina, která nezahrnuje součty svých prvků, se používá v aditivní kombinatorice a aditivní teorii čísel . Formálně je podmnožina abelovské skupiny bez součtu, pokud se její součtová množina neprotíná s . Jinými slovy, je bez součtu, pokud rovnice nemá řešení pro . $A$ $G$ $A+A$ $A$ $A$ $a+b=c$ $a,b,c\in A$

Například množina lichých čísel je bezsoučtová podmnožina celých čísel a množina tvoří bezsoučtou podmnožinu množiny (pro sudé ). $\{N/2+1,\tečky ,N\}$ $\{1,\tečky ,N\}$ $N$

Fermatův poslední teorém říká, že množina nenulových mocnin je bez celých čísel podmnožina celých čísel pro . $n$ $n > 2$

Několik otázek o sadách bez součtu:

Kolik bezsoučtových podmnožin množiny existuje pro daný ? Ben Green [1] a Alexander Sapozhenko [2] ukázali, že odpověď zní , jak navrhuje Cameron-Erdős dohad [3] [4] . $\{1,\tečky ,N\}$ $N$ $O(2^{{N/2}})$
Kolik bezsoučtových podmnožin obsahuje abelovská skupina ? [5] $G$
Jaká je velikost největší podmnožiny bez součtu obsažené v abelovské skupině ? [5] $G$

Bezsoučtová množina se nazývá maximální , pokud ji neobsahuje žádná větší bezsoučtová množina.

Odkazy

↑ Ben Green, The Cameron-Erdős conjecture , Bulletin of the London Mathematical Society 36 (2004) s.769-778
↑ Sapozhenko, Alexander Antonovich ( 2003 ), The Cameron-Erdős conjecture, Reports of the Academy of Sciences , Vol. 393 (6): 749–752
↑ PJ Cameron a P. Erdős, O počtu množin celých čísel s různými vlastnostmi , Teorie čísel (Banff, 1988), de Gruyter, Berlin 1990, s.61-79
↑ Viz také A007865
↑ 1 2 Ben Green a Imre Ruzsa, Sum-free sety v abelianských skupinách , 2005.