Pohyblivý prvek

Pohyblivá singularita (nebo pohyblivý singulární bod ) obecného řešení obyčejné diferenciální rovnice je takový singulární bod řešení, který se liší pro různá konkrétní řešení téže rovnice. To znamená, že říkají, že obecné řešení diferenciální rovnice má pohyblivou singularitu, pokud různá konkrétní řešení této rovnice mají singularitu v různých bodech, v závislosti na parametru (například na počátečních podmínkách), který určuje konkrétní konkrétní řešení. [1] . Singulární body, které nezávisí na konkrétním řešení, se nazývají pevné singularity (nebo pevné singulární body ). Pohyblivé singularity hrají důležitou roli při studiu řešení obyčejných diferenciálních rovnic v komplexní rovině [2] .

Příklad

Vezměme si například rovnici

{\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{2y}}

Jeho řešení budou pro libovolnou konstantu c . Tato řešení mají singulární bod v . Tato rovnice má tedy pohyblivou singularitu. $y={\sqrt {xc))$ $x=c$

Lineární diferenciální rovnice

Na druhé straně je známo, že lineární diferenciální rovnice může mít singulární bod pouze v singulárních bodech samotné rovnice. Lineární diferenciální rovnice proto nemůže mít pohyblivou singularitu [2] .

Vlastnost Painlevé

Singulární bod pro komplexní vícehodnotovou funkci se nazývá kritický (nebo větvený bod ), pokud funkce mění hodnotu, když prochází kolem tohoto bodu (například je to kritický bod pro funkci ). $z=0$ ${\sqrt {z))$

O obyčejné diferenciální rovnici se říká, že má vlastnost Painlevého , pokud její řešení nemají kritické pohyblivé singularity.

Například rovnice má řešení , kde je libovolná konstanta. Tato řešení mají pohyblivý singulární nekritický bod . Rovnice má řešení . Singulární bod této rovnice již bude kritický. Rovnice má tedy vlastnost Painlevé, ale ne. $w'=-w^{2}$ ${\displaystyle (c+z)^{-1))$ $C$ $z=-c$ ${\displaystyle w'=-w^{3))$ $(c+2z)^{-1/2}$ $w'=-w^{2}$ ${\displaystyle w'=-w^{3))$

Paul Painlevé a jeho studenti ukázali, že pro rovnice s touto vlastností lze získat obecné řešení. Pokud rovnice nemá vlastnost Painleve, pak zpravidla není možné získat její řešení [2] .

Studium diferenciálních rovnic na Painlevého vlastnosti se nazývá Painlevého analýza .

Historie

Koncept pohyblivého singulárního bodu zavedl Lazar Fuchs . V roce 1884 Fuchs dokázal, že mezi všemi rovnicemi prvního řádu je forma

w'=F(z,w),

pro který je funkce lokálně analytická v prvním argumentu a racionální ve druhém, pouze Riccatiho rovnice nemá pohyblivé kritické singulární body . $F$

Sofia Kovalevskaya , která studovala problém rotace vrcholu, dokázala, že řešení tohoto problému nemají pohyblivé kritické singulární body pouze ve třech případech. Řešení problému v prvních dvou případech již dříve získali Leonhard Euler a Joseph Lagrange . Kovalevskaja obdržela řešení pro třetí případ. Sofya Kovalevskaya tak byla první, kdo objevil výhody diferenciálních rovnic majících vlastnost, kterou nyní nazýváme Painlevého vlastnost. V roce 1888 jí byla za tuto práci udělena Bordenova cena Pařížské akademie věd .

Paul Painlevé studoval kolem roku 1900 diferenciální rovnice druhého řádu

w''=F(z,w,w'),

kde funkce je lokálně analytická v prvním argumentu a racionální v posledních dvou. Painlevé a jeho studenti Bertrand Gambier , René Garnier a další dokázali, že ze všech možných takových rovnic má Painlevého vlastnost pouze 50 kanonických rovnic. Ukázalo se, že 44 z těchto 50 rovnic lze vyjádřit pomocí známých funkcí a pro řešení zbývajících šesti rovnic zavedli Painlevé a Gambier speciální funkce, které se nyní nazývají Painlevé transcendents [2] . $F$

Viz také

Painlevého věta

Poznámky

↑ Bender, Carl M.; Orszag, Steven A. Pokročilé matematické metody pro vědce a inženýry : Asymptotické metody a řada poruch . - Springer, 1999. - S. 7.
↑ 1 2 3 4 N. A. Kudrjašov . Vlastnost Painlevého v teorii diferenciálních rovnic // Soros Educational Journal : Journal. - 1999. - č. 9 . - S. 121-122 . Archivováno z originálu 1. června 2016.