Symetrická monoidální kategorie

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 7. září 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

V teorii kategorií je symetrická monoidní kategorie monoidní kategorie, ve které je operace tensorového součinu „co nejvíce komutativní“. V symetrické monoidální kategorii je izomorfismus vybrán pro jakékoli objekty a všechny tyto izomorfismy dohromady tvoří přirozenou rodinu. $\gamma _{A,B}:A\otimes B\rightarrow B\otimes A$

Formální definice

Symetrická monoidní kategorie je monoidní kategorie , ve které je izomorfismus vybrán pro libovolné dva objekty a , a následující hexagonální diagram také dojíždí : $\gamma _{A,B}:A\otimes B\rightarrow B\otimes A$ $\gamma _{B,A}\circ \gamma _{A,B}=Id$

Příklady

Jakákoli kartézská uzavřená kategorie je symetrická uzavřená monoidní kategorie. To uvádí příklady jako Set a Cat (kategorie sad a kategorie malých kategorií).
Vektorové prostory nad pevným polem k s tenzorovým součinem tvoří monoidní kategorii. Zobrazení definované na rozložitelných prvcích formy a rozšířené o linearitu zjevně definuje strukturu symetrické monoidní kategorie na něm. $V\otimes W\to W\otimes V$ $v\otimes w$

Monoidní kategorie s uzlováním

Vázaná monoidální kategorie je zobecněním symetrické monoidální kategorie; už to nevyžaduje . Namísto komutativnosti jednoho hexagonálního diagramu je však třeba vyžadovat komutativitu dvou: $\gamma _{B,A}\circ \gamma _{A,B}={\text{Id))$

V symetrickém případě oba tyto diagramy také komutují, ale komutativnost jednoho z nich vyplývá z komutativnosti druhého a vlastnosti . $\gamma _{B,A}\circ \gamma _{A,B}={\text{Id))$

Název copánkové monoidální kategorie pochází ze skupiny copánků . Ve skutečnosti jsou tyto pojmy hluboce propojeny. Pro monoidní kategorii s uzlováním stejně jako pro obyčejnou monoidní kategorii platí věta o koherenci, která říká, že jakýkoli diagram, na jehož šipkách jsou napsány kompozice a inverze, je komutativní. Přesněji řečeno, v monoidálním uzlování kategorie B jsou jakékoli dva přirozeně izomorfní funktory od B n do B konstruované z aplikací na argumenty a závorky přirozeně izomorfní jedinečným kanonickým způsobem. Každá šipka, na které je napsána transformace, složená z výše uvedených symbolů, může být spojena s prvkem skupiny copu (například transformace je spojena s „kroucením“ dvou vláken, je snadné vidět, že ) . Ukazuje se, že dva takové funktory jsou přirozeně izomorfní, pokud odpovídají stejnému prvku copánkové grupy. $\gamma ,\alpha ,\lambda ,\rho ,e,\otimes ,{\text{Id))$ $\otimes$ $\gamma$ $\gamma _{B,A}\circ \gamma _{A,B}\neq {\text{Id))$

Symetrické monoidní funktory

Monoidální funktor F mezi symetrickými monoidními kategoriemi C a D se nazývá symetrický, jestliže příslušná přirozená transformace komutuje s , to znamená, že pro libovolné A , B kategorie C komutuje následující diagram: $\phi$ $\lambda$

Symetrické monoidní přirozené přeměny

Monoidní přirozená transformace mezi monoidními funktory a mezi monoidními kategoriemi: je přirozená transformace taková, že následující dva diagramy komutují: $(F,\Phi ,\phi )$ $(G,\Gamma ,\gamma )$ $C\to D$ $\alpha :C\to D$

Symetrické monoidní přirozené transformace nevyžadují žádné další podmínky kromě toho, že působí mezi symetrickými monoidními funktory.

Monoidní ekvivalence

C a D jsou symetricky monoidní ekvivalentní kategorie , pokud existují symetrické monoidní funktory a symetrické monoidní přirozené izomorfismy a . $F:C\to D$ $G:D\to C$ $FG\Leftarrow 1_{C}$ $GF\Leftarrow 1_{D}$

MacLane dokázal teorém, že jakákoli symetrická monoidní kategorie je monoidálně (symetricky) ekvivalentní striktní monoidální (a symetrické) kategorii.

Stejně jako je definována 2-kategorie malých kategorií, lze definovat 2-kategorie malých monoidních kategorií a malých symetrických monoidních kategorií s vhodnými funktory a přirozenými transformacemi.

Poznámky a odkazy

Kelly, GM "Basic Concepts of Enriched Category Theory" , London Mathematical Society Lecture Note Series No.64 (CUP, 1982)
Joyal, Andre ; Street, Ross (1993). Pletené kategorie tenzorů. Pokroky v matematice 102 , 20-78.
John C. Baez , [ http://math.ucr.edu/home/baez/qg-fall2004/definitions.pdf Některé definice, které by měl každý znát]
Symetrické monoidální kategorie na nLab