Symplectic manifold

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 19. září 2022; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Symplektická varieta je varieta s definovanou symplektickou formou , tj. uzavřená nedegenerovaná diferenciální 2-forma .

Nejdůležitějším příkladem symplektické variety je svazek kotangens . Symplektická struktura umožňuje představit hamiltonovskou mechaniku přirozeným geometrickým způsobem a poskytuje vizuální výklad mnoha jejích vlastností: jestliže je konfigurační prostor mechanického systému, pak mu odpovídá fázový prostor . $T^{*}M$ $M$ $T^{*}M$

Definice

Diferenciální 2-forma se nazývá symplektická struktura , pokud je nedegenerovaná a uzavřená , to znamená, že její vnější derivace je rovna nule, $\omega$

d\omega =0,

a pro jakýkoli nenulový tečný vektor existuje vektor takový, že $v\in T_{x}M$ $w\in T_{x}M$

\omega (v,w)\neq 0.

Varianta s symplektickým tvarem daným na něm se nazývá symplektická varieta . $M$

Poznámky

Z definice vyplývá, že symplektická varieta má sudý rozměr.
Pokud je dimenze , pak je nedegenerace formuláře ekvivalentní podmínce . $M$ $2n$ $\omega$ $\omega ^{\wedge n}\neq 0$

Související definice

Difeomorfismus symplektických variet se nazývá symplektomorfismus , pokud zachovává symplektickou strukturu. $f\dvojtečka M\to N$

Nechť je libovolná hladká funkce na symplektické varietě. Symplektická forma spojuje funkci s vektorovým polem definovaným následující identitou: $H\colon M\to \mathbb {R}$ $H$ $V_{H}$ $dH(X)=\omega (V_{H},X).$
- Tato definice je analogická s definicí gradientu a někdy se nazývá symplektický gradient funkce . $V_{H}$ $H$
- Pole , které lze tímto způsobem získat, se nazývá hamiltonián . $V_{H}$
- Protože forma je nedegenerovaná, vektorové pole je jednoznačně definováno. V Darbouxových souřadnicích má tato mapa tvar $\omega$ $V_{H}$
${\dot {{\mathbf q}}}={\frac {\partial H}{\partial {\mathbf p}}},\quad {\dot {{\mathbf p}}}=-{\frac { \partial H}{\partial {\mathbf q}}},$

odpovídající Hamiltonovým rovnicím a nazývá se Hamiltonián (Hamiltonova funkce).

H

Poissonovy závorky zapnou množinu Hamiltoniánů na Lieovu algebru a jsou definovány pravidlem $M$

[F,G]=\omega (V_{F},V_{G}).

Vlastnosti

Darbouxův teorém : Všechny symplektické variety jsou lokálně symplektomorfní. V okolí libovolného bodu manifoldu lze tedy zvolit souřadnice, nazývané Darbouxovy souřadnice , ve kterých má symplektická forma tvar $\omega =d{\mathbf p}\wedge d{\mathbf q}$

V tomto případě se v tečném prostoru každého bodu v uvažovaném okolí zvolí Darbouxova báze .

Hamiltonovský fázový tok zachovává symplektickou strukturu (vyplývá z Cartanova vzorce): ${\mathcal {L}}_{V_{H}}\,\omega =0$

Zde je Lieova derivace s ohledem na vektorové pole . Hamiltonovský fázový tok je tedy symplektomorfismus.

{\mathcal {L}}_{V_{H}}

V_{H}

Konkrétně, protože je objemová forma na , získáme Liouvilleovu větu o zachování fázového objemu : $\omega ^{{\wedge n}}$ $M$ ${\mathcal {L}}_{V_{H}}\omega ^{\wedge n}=0.$

Struktura kontaktu

Každá symplekticko -dimenzionální varieta je kanonicky spojena s -dimenzionální kontaktní varietou , nazývanou její kontaktování . Naopak, pro jakoukoli -dimenzionální varietu kontaktu existuje její symplektizace , která je -dimenzionální varieta. $2n$ $(2n+1)$ $(2n+1)$ $(2n+2)$

Variace a zobecnění

Varieta se nazývá multisymplektika stupně , je-li na ní uveden uzavřený nedegenerovaný diferenciální k -forma . $k$

Viz také

Sympletický prostor

Odkazy

D. V. Anosov . „O vývoji teorie dynamických systémů“. Sympletická geometrie.
Přednáška 5: Poissonovy závorky, diferenciální formy a polyvektory 2013

Literatura

Arnold VI . Matematické metody klasické mechaniky. - 5. vyd., stereotypní. - M. : Editorial URSS, 2003. - 416 s. - 1500 výtisků. — ISBN 5-354-00341-5 .
Arnold V. I., Givental A. B. Symplectic geometry. 2. vyd. - Iževsk: RHD, 2000. - 168s.
Thirring V. Kurz matematické a teoretické fyziky. - K .: TIMPANI, 2004. - 1040 s.
Fomenko A. T. Symplectic geometrie. Metody a aplikace. - M .: Ed. Moskevská státní univerzita, 1988. - 414s.