Jednoduchý objem

Simpliciální objem je topologický invariant definovaný pro uzavřené manifoldy . Nejprve zvažoval Gromov . Jednoduchý objem rozdělovače se obvykle označuje . $M$ $\|M\|$

Definice

Nechť je tedy uzavřený rozdělovač $M$

\|M\|=\inf \sum _{i}|r_{i}|

,

kde jsou racionální koeficienty v reprezentaci jeho základní třídy z hlediska součtu singulárních simplliců. $r_{i}$ $[M]$

[M]=\sum _{i}r_{i}\Delta _{i}.

Vlastnosti

Gromovova věta: Simpliciální objem variety konstantní negativní křivosti je roven poměru jejího objemu k objemu pravidelného nekonečného simplexu v Lobačevského prostoru stejné křivosti.
- Navíc, jednoduchý objem asférické (a dokonce racionálně esenciální ) manifoldy s hyperbolickou fundamentální grupou je pozitivní. [jeden]

Pro jakékoli rozdělovače a stejný rozměr $M$ $N$ $\|M\#N\|=\|M\|+\|N\|$ ,

kde označuje připojený součet .

\#

Existují kladná čísla a taková, že pokud je součet dimenzí , pak $a(m)$ $b(m)$ $\dim M+\dim N\leqslant m$ $a(m)\cdot \|M\|\cdot \|N\|\leqslant \|M\times N\|\leqslant b(m)\cdot \|M\|\cdot \|N\ |$ ,

kde označuje přímý produkt .

\krát

Pro jakýkoli displej $f\colon M\to N$ $\|M\|\geqslant |\deg f|\cdot \|N\|,$

kde označuje stupeň zobrazení . Zejména:

\deg f

F

Pokud manifold připouští mapování stupňů , pak . $M$ $M\to M$ $>1$ $\|M\|=0$
Pro jakýkoli jednoduchý objem -rozměrné koule je . $n\geqslant 1$ $n$ $0$

Bessonova-Courtois-Halo věta. [2] Následující nerovnost $n!\cdot \mathop {\rm {vol)) M>\|M\|$

platí pro libovolný uzavřený Riemannův prostor s Ricciho zakřivením ne menším než .

n

M

-{\tfrac {1}{n-1))

Poznámky

↑ Důsledek 5.3, Löh, Clara. Simplicial volume (anglicky) // Bulletin of the Manifold Atlas. - 2011. Archivováno 25. února 2021.
↑ Théorème D, G. Besson, G. Courtois, S. Gallot. Volume et entropie minimale des espaces localementsymétriques // Invent. Matematika.. - 1991. - V. 103 , č. 2 . - S. 417-445 .

Literatura

Prasolov , Viktor Vasilievič Základy teorie homologie . - MTSNMO, 2006. - 448 s. — (Klasické trendy v matematice).