Maticová stopa

Stopa matice je operace, která mapuje prostor čtvercových matic do pole , nad kterým je matice definována (pro reálné matice do pole reálných čísel, pro komplexní matice, do pole komplexních čísel ). Stopa matice je součtem prvků hlavní úhlopříčky matice, to znamená, že pokud jsou prvky matice , pak její stopa je . Matice s nulovou stopou se nazývají traceless (z angličtiny traceless nebo tracefree ) [1] . $a_{{ij}}$ $A$ ${\mathop {{\rm {tr}}}}\;A=\sum _{i}a_{{ii}}$

V matematických textech se pro operaci snímání stopy vyskytují dvě označení: (z anglického trace - stopa), a (z něm. Spur - stopa). $\mathop {\rm {tr))\;A$ ${\mathop {{\rm {Sp))))\;A$

V tensor kalkulu je stopa tenzoru druhé řady (jednou kovariantní a jednou kontravariantní) součtem jeho diagonálních prvků. Bez ohledu na kovarianci a kontravarianci se stopa tenzoru druhé řady vypočítá jako dvojitý skalární součin tenzoru s metrickým tenzorem a je prvním invariantem : . ${\rm {tr}}A=I_{1}(A)=g\cdot \cdot A$

Definice

Stopa matice čtvercové velikosti je chápána jako: $A$ $n\krát n$

$\mathrm {tr} \;A=\sum _{i=1}^{n}a_{i,i}=a_{1,1}+a_{2,2}+\cdots +a_{ n,n},$

kde jsou prvky hlavní diagonály : ${\displaystyle a_{i,i))$

$\mathrm {tr} \;{\begin{pmatrix}\color {red}{a_{1,1}}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\color {red}{\ ddots }&\vdots \\a_{n,1}&\cdots &\color {červená}{a_{n,n}}\end{pmatrix}}=\sum _{i=1}^{n}\ barva {červená}{a_{i,i}}$ .

Vlastnosti

Linearita . ${\mathop {{\rm {tr))))\;(\alpha A+\beta B)=\alpha {\mathop ({\rm {tr))))\;A+\beta {\mathop ({\ rm {tr}}}}\;B$
${\mathop {{\rm {tr))))\;(AB)={\mathop {{\rm {tr))))\;(BA)$ . Důsledek: průběh je stejný pro všechny podobné matice: . $\mathop {\rm {tr)) \;(C^{-1}AC)=\mathop {\rm {tr)) \;A$
${\mathop {{\rm {tr}}}}\;A={\mathop {{\rm {tr}}}}\;A^{{\mathrm {T}}}$ , kde označuje transpoziční operaci . $\mathrm{T}$
$\ln \det A={\mathop {{\rm {tr))))\;\ln A$ .
Jestliže tenzorový součin matic A a B , pak . $Někdy B$ ${\mathop {{\rm {tr))))\;A\otimes B=({\mathop {{\rm {tr)))))\;A)({\mathop {{\rm {tr)) }}\;B)$
Stopa matice se rovná součtu jejích vlastních hodnot .
Determinant čtvercové matice lze vyjádřit pomocí stop mocnin této matice, které nepřesahují . Například . $n\krát n$ $n$ $\det A_{{3\times 3}}={\frac {1}{6}}\left(({\mathop {{\rm {tr}}}}A)^{3}-3{\mathop {{\rm {tr}}}}A\cdot {\mathop {{\rm {tr}}}}A^{2}+2{\mathop {{\rm {tr}}}}A^{3 }\že jo)$

Geometrická vlastnost

${\mathop {{\rm {det))))(E+G\varepsilon )=1+{\mathop ({\rm {tr))))G\ \varepsilon \ +o(\varepsilon )$ ,

kde E je matice identity, ε je nekonečně malé číslo. To znamená, že infinitezimální lineární transformace mění objem o množství úměrné stopě generátoru této transformace v prvním řádu ve svém malém parametru. Jinými slovy, rychlost změny objemu během takové transformace se rovná stopě jejího generátoru.

Důsledky:
- ${\mathop {{\rm {det}}}}\ {\mathop {{\rm {exp}}}}(G\alpha )=1+{\mathop {{\rm {tr}}}}G\ \alpha\$ pro malé α
- Aby transformace neměnily objem, stačí, aby jejich generátory byly bez stopy.

Viz také

Trace (teorie pole)

Poznámky

↑ Lisovský, Fedor Viktorovič. Nový anglicko-ruský slovník elektroniky: ve dvou svazcích, asi 100 000 termínů a 7 000 zkratek . - Moskva: ABBYY Press, 2009. - 2 svazky s. ISBN 9785391000051 , 539100005X, 9785391000068, 5391000068, 9785391000075, 5391000076.

Odkazy

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Stopa čtvercové matice , Encyklopedie matematiky , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4