Solenoid Smale-Williams

Solenoid Smale-Williams je příkladem reverzibilního dynamického systému , podobného chování trajektorií jako zdvojení mapování na kružnici. Přesněji, tento dynamický systém je definován na pevném torusu a pro jednu jeho iteraci se úhlová souřadnice zdvojnásobí; odkud automaticky vznikají exponenciální divergence trajektorií a chaotická dynamika. Maximální atraktor tohoto systému se také nazývá solenoid (odkud ve skutečnosti název pochází): je uspořádán jako (nespočetné) spojení „nití“ navinutých podél pevného torusu.

Definice

Mapování solenoidu se nazývá mapování

F:S^{1}\times D\to S^{1}\times D

pevný torus do sebe, daný jako

F(\varphi ,z)=(2\varphi ,{\frac {1}{2}}e^{i\varphi }+{\frac {1}{10}}z).

Zde je pro pohodlí disk považován za jeden disk v komplexní rovině: . $D$ ${\displaystyle D=\{|z|\leq 1\))$

Maximální atraktor tohoto mapování (stejně jako celý odpovídající dynamický systém) se nazývá Smale-Williamsův solenoid . $A_{max}(F)$

Vlastnosti

Mapování solenoidu je hyperbolické .
Solenoid sám se ukáže být homeomorfní k množině získané implementací procedury nadstavby přes počítadlo kilometrů - mapování sčítání jednoho z 2-adic celých čísel . $\mathbb{Z } _{2}$
Dynamika na elektromagnetu umožňuje symbolické kódování : solenoidový bod může být (téměř jedna ku jedné) spojen s oboustrannými nekonečnými sekvencemi nul a jedniček a aplikace mapování bude odpovídat posunu doleva v prostoru sekvencí a část posloupnosti s kladnými indexy bude binární reprezentací úhlové souřadnice.

Odkazy

Smale-Williamsův atraktor na stránkách Saratovské skupiny nelineární dynamiky.

Literatura

Sinai Ya.G., Vershik A.M., Dobrushin R.L., Dynamic Systems-2, VINITI.
Katok A. B. , Hasselblat B. Úvod do moderní teorie dynamických systémů s přehledem posledních úspěchů / Per. z angličtiny. vyd. A. S. Gorodetsky. — M .: MTSNMO , 2005. — 464 s. — ISBN 5-94057-063-1 .