Konjugované proměnné

Adjoint proměnné jsou páry proměnných, které jsou matematicky příbuzné k sobě navzájem prostřednictvím Fourierovy transformace . [1] [2] nebo, obecně řečeno, prostřednictvím Pontrjaginské duality . Vztah duality mezi nimi přirozeně vede ke vztahu neurčitosti – nazývanému Heisenbergův princip neurčitosti – ve fyzice . V matematických termínech jsou konjugované proměnné součástí symplektické báze a vztah neurčitosti odpovídá symplektické formě . Navíc jsou přidružené proměnné propojeny pomocí Noetherova teorému , který říká, že pokud jsou vlastnosti uzavřeného fyzikálního systému invariantní při změně jedné z přidružených proměnných, pak je druhá přidružená proměnná v tomto fyzickém systému v průběhu času zachována.

Příklady

Existuje mnoho typů kanonicky konjugovaných proměnných:

Čas a frekvence : Čím déle hudební tón přetrvává, tím přesněji známe jeho frekvenci, ale trvá déle, a je proto více distribuovanou událostí. Naopak velmi krátká nota je více lokalizována v čase, ale její frekvenci nelze příliš přesně určit (stane se pouhým kliknutím). [3]
Dopplerův efekt : čím přesněji známe vzdálenost k cíli, tím méně přesně známe rychlost jeho přiblížení nebo odstranění a naopak. V tomto případě je dvourozměrná funkce času a frekvence známá jako funkce radarové nejistoty nebo „diagram radarové nejistoty“.
Povrchová energie: γ d A ( γ = povrchové napětí ; A = plocha povrchu).
Elastické prodloužení: F d L ( F = elastická síla; L délka prodloužení).

Odvozovací akce

V klasické fyzice jsou derivační akce konjugované proměnné s hodnotou, podle které se provádí diferenciace. V kvantové mechanice jsou tyto stejné páry proměnných spojeny Heisenbergovým principem neurčitosti .

„ Energie “ částice při určité události je negativní derivací akce podél trajektorie této částice, která končí v této události, s ohledem na „ čas “ události.
" Hybnost " částice je odvozena od jejího působení s ohledem na její " polohu ".
" Moment hybnosti " částice je derivací jejího působení s ohledem na její "úhlovou polohu".
"Hmotný moment" ( ) částice je záporná derivace jejího působení s ohledem na její " rychlost ". $\mathbf {N} =t\mathbf {p} -E\mathbf {r}$
" Elektrický potenciál " ( , elektrické napětí ) při události je negativní derivace působení elektromagnetického pole s ohledem na hustotu (volného) " elektrického náboje " při této události. $\varphi$
" Vektorový potenciál elektromagnetického pole " ("'A"') při události je derivací působení elektromagnetického pole s ohledem na hustotu (volného) " elektrického proudu " při této události.
" Elektrické pole " ("'E"') při události je derivací působení elektromagnetického pole s ohledem na " polarizaci " dielektrika při této události.
" Magnetická indukce " ("B"') události je derivací působení elektromagnetického pole s ohledem na " magnetizaci " této události.
Newtonovský „ gravitační potenciál “ při události je záporná hodnota derivace působení newtonského gravitačního pole s ohledem na „ hustotu hmoty “ při této události.

Kvantová mechanika

V kvantové mechanice se konjugované proměnné realizují jako páry pozorovatelných veličin, jejichž operátoři nedojíždět. V konvenční terminologii se nazývají "nekompatibilní pozorovatelné". Uvažujme jako příklad měřitelné veličiny dané souřadnicí a hybností . V kvantově mechanickém formalismu dvě pozorovatelné a odpovídají operátorům a , které nutně splňují vztah kanonické komutace : $\left(x\right)$ $\left(p\right)$ $X$ $p$ ${\widehat {x))$ ${\widehat {p\,))$

[ X ^ , p ^ ] = X ^ p ^ − p ^ X ^ = i ℏ {\displaystyle [{\widehat {x}},{\widehat {p\,}}]={\widehat {x}}{\widehat {p\,}}-{\widehat {p\,}}{ \widehat {x}}=i\hbar } $[{\widehat {x}},{\widehat {p\,}}]={\widehat {x}}{\widehat {p\,}}-{\widehat {p\,}}{ \widehat {x}}=i\hbar$

Pro každý nenulový komutátor dvou operátorů existuje „princip nejistoty“, který lze v našem příkladu vyjádřit jako:

Δ X Δ p ≥ ℏ / 2 {\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq \hbar /2} $\Delta x\,\Delta p\geq \hbar /2$

V tomto fuzzy zápisu , a označují "nejistotu" v současné specifikaci a . Přesnější a statisticky úplnější výpis, včetně směrodatné odchylky , zní: $\Delta x$ $\Delta str$ $X$ $p$ $\sigma$

σ X σ p ≥ ℏ / 2 {\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq \hbar /2} $\sigma _{x}\sigma _{p}\geq \hbar /2$

Obecněji platí, že pro kterékoli dvě pozorovatelné a odpovídající operátorům a , je princip zobecněné nejistoty dán takto: $A$ $B$ ${\widehat {A}}$ ${\widehat {B}}$

σ A 2 σ B 2 ≥ ( jeden 2 i ⟨ [ A ^ , B ^ ] ⟩ ) 2 {\displaystyle {\sigma _{A}}^{2}{\sigma _{B}}^{2}\geq \left({\frac {1}{2i}}\left\langle \left[{ \widehat {A)),{\widehat {B}}\right]\right\rangle \right)^{2}} ${\sigma _{A}}^{2}{\sigma _{B}}^{2}\geq \left({\frac {1}{2i}}\left\langle \left[{ \widehat {A)),{\widehat {B}}\right]\right\rangle \right)^{2}$

V souladu s tím lze zvolit dva operátory, přičemž každému přiřadíme matematický tvar tak, aby jej dvojice vyhovovala. Tento výběr operátorů odráží jednu z mnoha ekvivalentních (izomorfních) reprezentací běžné základní algebraické struktury, která popisuje kvantovou mechaniku (Heisenbergova Lieova algebra , odpovídající grupa se nazývá Heisenbergova grupa ). ${\mathfrak {h}}_{3}$ $H_3$

Mechanika tekutin

V Hamiltonovské mechanice tekutin a kvantové hydrodynamice je " akce " sama o sobě (nebo "rychlostní potenciál") konjugovanou proměnnou " hustoty " (nebo " hustoty pravděpodobnosti " ).

Viz také

Kanonické souřadnice

Poznámky

↑ Heisenberg - Kvantová mechanika, 1925-1927: Vztahy nejistoty . Získáno 10. května 2022. Archivováno z originálu dne 22. prosince 2015. (neurčitý)
↑ Některé poznámky o čase a energii jako konjugovaných proměnných
↑ "The Chirplet Transform", IEEE Transactions on Signal Processing, 43(11), listopad 1995, str. 2745–2761 . Získáno 10. května 2022. Archivováno z originálu dne 1. dubna 2022. (neurčitý)