Matice hustoty

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 1. května 2020; kontroly vyžadují 4 úpravy .

Matice hustoty (operátor hustoty, operátor matice hustoty, statistický operátor) je jedním ze způsobů, jak popsat stav kvantově mechanického systému. Na rozdíl od vlnové funkce , která je vhodná pouze pro popis čistých stavů , může operátor hustoty stejně definovat čisté i smíšené stavy . Formalismus založený na konceptu operátoru hustoty navrhli nezávisle L. D. Landau [1] a J. von Neumann [2] v roce 1927 [3] a F. Bloch [4] v roce 1946 .

Definice

Operátor hustoty je nezáporný samoadjungovaný operátor s jednotkovou stopou působící na oddělitelný Hilbertův prostor . Rovnost stopy k jednotě odpovídá jednotkové normalizaci celkové pravděpodobnosti na daném stavovém prostoru.

Standardní zápis operátoru hustoty je písmeno . Operátor hustoty odpovídající čistému stavu je ortogonální projektor $\rho$ $|\psi \rangle ,$

\rho ^{2}=\rho ,

což umožňuje, aby byl reprezentován jako

\rho =|\psi \rangle \langle \psi |

Smíšený stav, odpovídající případu, kdy je systém v každém ze vzájemně ortogonálních stavů s pravděpodobností , je popsán operátorem hustoty ve tvaru $|\psi _{j}\rangle$ $p_{j}$

\rho =\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|,

kde

\sum _{j}p_{j}=1.

Průměrná hodnota pozorovatelného pro stav daný maticí hustoty je stopa součinu operátorů a : $A$ $\rho$ $A$ $\rho$

\langle A\rangle =\operatorname {Tr} (A\rho )

Není těžké to vidět[ zjednodušený výraz ] , že obvyklé pravidlo pro nalezení střední hodnoty pozorovatelné pro čisté stavy je speciálním případem tohoto vzorce.

Vlastnosti

Časová derivace operátoru hustoty hamiltonovského kvantového systému je vyjádřena pomocí komutátoru s hamiltoniánem jako rovnicí ${\frac {\partial \rho }{\partial t))={\frac {1}{i\hbar ))[{\mathcal {H)),\rho ]$

Tato rovnice je často nazývána kvantovou Liouvilleovou rovnicí a von Neumannovou rovnicí .

Stopa matice hustoty je rovna jedné kvůli normalizaci celkové pravděpodobnosti: $\operatorname {Tr} (\rho )=1$
Stopa druhé mocniny matice hustoty je rovna jedné pro čisté stavy a je vždy menší než jedna pro smíšené stavy: $\operatorname {Tr} (\rho ^{2})\leq 1$ a $\operatorname {Tr} (\rho ^{2})=1\iff \exists |\psi \rangle :\rho =|\psi \rangle \langle \psi |$

Aplikace

Použití operátoru hustoty se stává nezbytným, pokud stav kvantově mechanického systému z toho či onoho důvodu nelze považovat za čistý. Tato situace nastává zejména v kvantové statistice . V tomto případě se operátor hustoty ukazuje jako přirozená analogie funkce distribuce hustoty ve fázovém prostoru, která se objevuje v klasické statistické mechanice . Kromě toho existuje interpretace postupu kvantově mechanického měření jako přechod z výchozího čistého stavu do stavu smíšeného $|\psi \rangle$

\rho =\sum _{j}|e_{j}\rangle |\langle e_{j}|\psi \rangle |^{2}\langle e_{j}|

kde jsou základní vektory odpovídající zvolené úplné množině měřených veličin. $|e_{j}\rangle$

Posledně jmenovaný je zvláštní případ popisu otevřených kvantových systémů , mezi které patří mimo jiné systémy podléhající vnějšímu pozorování. Obecně řečeno, formalismus popisu otevřených systémů interagujících s prostředím pomocí matice hustoty je užitečný při studiu fenoménu dekoherence , kdy stav systému nelze považovat za čistý a jev sám vede k rozpadu prvky mimodiagonální matice operátoru hustoty (na základě vlastních hodnot operátoru interakce) a v souladu s tím k přechodu systému do smíšeného stavu .

Čisté a smíšené stavy

V kvantové mechanice lze stav kvantového systému popsat stavovým vektorem . V tomto případě se mluví o čistém stavu . Je však také možné pro systém ve statistickém souboru různých stavových vektorů: například může existovat 50% šance, že stavový vektor je , a 50% šance, že stavový vektor je . Tento systém bude ve smíšeném stavu. Matrice hustoty jsou zvláště užitečné pro smíšené stavy, protože jakýkoli stav, čistý nebo smíšený, lze charakterizovat maticí hustoty. $|\psi \rangle$ $|\psi _{1}\rangle$ $|\psi _{2}\rangle$

Smíšený stav se liší od kvantové superpozice. Ve skutečnosti je kvantová superpozice čistého stavu dalším čistým stavem, například . Na druhou stranu, příklad smíšeného stavu by byl , kde je reálné číslo, které se náhodně mění mezi různými fotony. $|\psi \rangle =(|\psi _{1}\rangle +|\psi _{2}\rangle )/{\sqrt {2))$ $A$ $A=(|\psi _{1}\rangle +e^{i\theta }|\psi _{2}\rangle )/{\sqrt {2))$ $\theta$

Viz také

Teorie funkcionálu hustoty

Poznámky

↑ Landau L. D. , Ztshr. Phys. bd. 45. S. 430 (1927) // Landau L. D. "Problém tlumení ve vlnové mechanice" v knize "Landau L. D. Collection of works." Svazek 1. M.: Nauka, 1969. s. 18-31.
↑ J. von Neumann , Göttingen Nachr., 247 (1927). Viz také J. von Neumann . Matematické základy kvantové mechaniky, - M .: Nauka 1964.
↑ Landau zavedl koncept matice hustoty do kvantové mechaniky o několik měsíců dříve než von Neumann, ale formalismus byl vyvinut systematičtěji von Neumannem.
↑ F. Bloch , Nukleární indukce. Phys. Rev. 70, 460 (1946).

Literatura

Belousov Yu.M., Man'ko V.I. Matice hustoty. Reprezentace a aplikace ve statistické mechanice. - M. : MIPT, 2004. - 163 s.
Bloom K. Teorie matic hustoty a její aplikace. — M .: Mir, 1983. — 248 s.
Bondarev BV Metoda matice hustoty v kvantové teorii kooperativních jevů. - M. : Sputnik +, 2001. - 250 s.
Boum A. Kvantová mechanika: základy a aplikace. — M .: Mir, 1990. — 720 s.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Kvantová mechanika (nerelativistická teorie). — Vydání 4. — M .: Nauka , 1989. — 768 s. - (" Teoretická fyzika ", svazek III). - ISBN 5-02-014421-5 . - § čtrnáct.
Mestechkin MM Metoda matice hustoty v teorii molekul. - K . : Naukova Dumka, 1977. - 352 s.
von Neumann J. Matematické základy kvantové mechaniky. - M. : Nauka, 1964. - 368 s.